把握面積計(jì)算的本質(zhì)

胡利群

[摘要]當(dāng)前小學(xué)數(shù)學(xué)課堂在核心素養(yǎng)理念的引領(lǐng)下，正從以往更多關(guān)注學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解與掌握，轉(zhuǎn)向如今關(guān)注于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力、數(shù)學(xué)技能與思想等方面。對(duì)一次全國(guó)性觀摩活動(dòng)中“長(zhǎng)方形和正方形面積的計(jì)算”教學(xué)出現(xiàn)的問(wèn)題進(jìn)行剖析，并依托網(wǎng)絡(luò)教室，抓住面積的本質(zhì)，引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行了“擺、量、估、議”四個(gè)層次的活動(dòng)教學(xué)。

[關(guān)鍵詞]長(zhǎng)方形和正方形;面積計(jì)算;本質(zhì);案例

[中圖分類號(hào)]

G623.5

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A

[文章編號(hào)] 1007-9068（ 2020） 20-0019-03

【案例】

在一次全國(guó)性觀摩活動(dòng)中，一位教師執(zhí)教“長(zhǎng)方形和正方形面積的計(jì)算”時(shí)，以“實(shí)驗(yàn)一猜想一驗(yàn)證一概括”為探究主線，以期讓學(xué)生掌握這兩種圖形的面積計(jì)算方法的同時(shí)能獲得一種科學(xué)的研究問(wèn)題的方法。

實(shí)驗(yàn)中，學(xué)生用12個(gè)邊長(zhǎng)為1分米的正方形擺長(zhǎng)方形，三種擺法得出三組數(shù)據(jù)“4分米、3分米、12平方分米;6分米、2分米、12平方分米;12分米、1分米、12平方分米”，教師（將長(zhǎng)方形擱置一邊）引導(dǎo)學(xué)生分析這幾組數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)與寬相乘的積與長(zhǎng)方形的面積正好是相等的，由此得到一個(gè)猜想（公式），繼而舉例驗(yàn)證：先用公式計(jì)算，再用面積單位測(cè)量，發(fā)現(xiàn)兩種方法得到的答案是完全一樣的，最終概括得出長(zhǎng)方形面積計(jì)算的公式。接著給出3道練習(xí)題，都是根據(jù)圖形上標(biāo)出的長(zhǎng)與寬直接口答出圖形的面積，其中有一個(gè)是邊長(zhǎng)為6厘米的正方形（標(biāo)出了兩條鄰邊），學(xué)生出于慣性的回答沒(méi)有出現(xiàn)任何問(wèn)題，然而由此提升總結(jié)正方形面積公式時(shí)，學(xué)生卻“呼之不出”：有的說(shuō)是“邊長(zhǎng)x4”，有的說(shuō)是“邊長(zhǎng)x6”，無(wú)法實(shí)現(xiàn)由長(zhǎng)方形面積公式到正方形面積公式的遷移。

【剖析】

誠(chéng)然，個(gè)別學(xué)生誤將正方形的周長(zhǎng)公式用于此也無(wú)可厚非，因?yàn)橹荛L(zhǎng)和面積畢竟是兩個(gè)非常容易混淆的概念，但全班學(xué)生“萬(wàn)馬齊喑”就不對(duì)勁了。

仔細(xì)揣摩整個(gè)公式的探究過(guò)程，教師是在引導(dǎo)學(xué)生從純數(shù)據(jù)的角度找規(guī)律，即長(zhǎng)乘寬恰好等于面積（而面積是用面積單位測(cè)量出來(lái)的）。我以為，僅從數(shù)據(jù)分析的角度來(lái)探索長(zhǎng)方形面積的計(jì)算公式有點(diǎn)不妥，在“猜想、驗(yàn)證”的背后是否還差一個(gè)“溝通、解釋”？因?yàn)閷W(xué)生心中可能會(huì)有一個(gè)大大的問(wèn)號(hào)——為什么長(zhǎng)乘寬正好等于面積呢？教師在長(zhǎng)方形面積計(jì)算公式推導(dǎo)的過(guò)程中一直浮于數(shù)據(jù)相等的表面，沒(méi)有引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)長(zhǎng)方形面積計(jì)算的本質(zhì)，在擺、量的過(guò)程中體會(huì)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬與面積單位個(gè)數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，所以學(xué)生沒(méi)有形成一定的方法，無(wú)法遷移可能是因?yàn)闊o(wú)“法”可移。

實(shí)際上，用面積單位測(cè)量面積的方法是探究面積計(jì)算公式的基礎(chǔ)。一個(gè)圖形面積的大小本質(zhì)上是它所含相同面積單位的多少（這是在認(rèn)識(shí)面積單位時(shí)學(xué)生就已經(jīng)掌握的），所以計(jì)算圖形的面積實(shí)際上就是在計(jì)算面積單位的個(gè)數(shù)，即每排的個(gè)數(shù)乘排數(shù)（這是二年級(jí)“認(rèn)識(shí)乘法”的內(nèi)容），可以說(shuō)這兩點(diǎn)對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)都不是難點(diǎn)，難點(diǎn)在哪里呢？在于引導(dǎo)學(xué)生意識(shí)到長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬或正方形的邊長(zhǎng)與每排個(gè)數(shù)、排數(shù)之間的關(guān)系，即每排的個(gè)數(shù)和排數(shù)是由長(zhǎng)方形或正方形的兩條鄰邊決定的，這一點(diǎn)是得出長(zhǎng)方形面積計(jì)算公式的關(guān)鍵所在，也是溝通長(zhǎng)方形和正方形面積計(jì)算公式的橋梁，在教學(xué)中應(yīng)重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生打通這一“關(guān)節(jié)”。

基于以上思考，我對(duì)本課進(jìn)行了一次教學(xué)（蘇教版教材三年級(jí)下冊(cè)第82、83頁(yè)），并將課堂“搬”到了電腦教室。

【實(shí)踐】

活動(dòng)一：擺

師：請(qǐng)?jiān)陔娔X上用若干個(gè)1平方厘米的正方形擺一個(gè)長(zhǎng)方形或正方形。

展示第一個(gè)作品：

師：對(duì)于這樣一個(gè)長(zhǎng)方形，你能獲得它的哪些信息呢？

生1：它的長(zhǎng)是4厘米，寬是3厘米。

師：怎么看出來(lái)的？

生1：因?yàn)橐慌艛[了4個(gè)正方形，每個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是1厘米，所以長(zhǎng)是4厘米.擺了3排，所以寬是3厘米。

生2：它的面積是12平方厘米。

師：怎么知道的？

生2：因?yàn)橛昧?2個(gè)1平方厘米的正方形。

師：“12個(gè)”是你一個(gè)一個(gè)數(shù)出來(lái)的嗎？

生2：不是，是算出來(lái)的。每排4個(gè)，有3排，就是4x3等于12。

師：這是一道簡(jiǎn)單的乘法算式，對(duì)嗎？瞧，我們?cè)诙昙?jí)學(xué)習(xí)的幾個(gè)幾是多少在這里又用上了。

師：還有誰(shuí)想展示？在展示之前想一想，怎樣介紹讓別人還沒(méi)看到就已經(jīng)能想到它的樣子。

生3：我擺了三排，每排擺3個(gè)小正方形。

師：能想象她擺的圖形是什么樣的嗎？

生4：她擺的是一個(gè)正方形，邊長(zhǎng)是3厘米。

展示生，作品：

師：看來(lái)擺正方形時(shí)有個(gè)特點(diǎn)。

生5：邊長(zhǎng)都是一樣的。

生6：排數(shù)和每排的個(gè)數(shù)是一樣的。

師：那這個(gè)正方形的面積是多少呢？

生7：9平方厘米，3x3=9。

師：又是一道乘法算式，兩個(gè)“3”的意義一樣嗎？

（展示第三個(gè)作品;略）

師：通過(guò)剛才的擺，我們發(fā)現(xiàn)看一個(gè)圖形的面積是多少其實(shí)就是看什么？（板書：面積單位的個(gè)數(shù)）小正方形的個(gè)數(shù)是一個(gè)一個(gè)數(shù)出來(lái)的嗎？怎樣算？（板書：每排個(gè)數(shù)×排數(shù)）

活動(dòng)二：量

師：用一些1平方厘米的正方形量出長(zhǎng)方形的面積。（學(xué)生在電腦上操作，完成后交流）

展示第一種方法：

師：面積量出來(lái)了嗎？說(shuō)說(shuō)你的想法。

生1：每排5個(gè)，擺了4排，共有20個(gè)1平方厘米的小正方形，面積是20平方厘米。

師：其實(shí)他不僅量出了長(zhǎng)方形的面積，他還量出了長(zhǎng)方形的——

生2：長(zhǎng)是5厘米，寬是4厘米。

展示第二種方法：

師：這樣擺可以嗎？他都沒(méi)擺滿，為什么也可以？

生3：因?yàn)檫@樣能看出一排有幾個(gè)且有幾排。

師：這樣就可以用一道乘法算式得到一共要多少個(gè)正方形。能看出長(zhǎng)與寬嗎？比較一下，兩種量法你更欣賞哪一種？

活動(dòng)三：估

師（出示一個(gè)長(zhǎng)方形）：這里有一個(gè)長(zhǎng)方形，估計(jì)一下它的面積是多少，說(shuō)說(shuō)你是怎樣估計(jì)的，怎樣知道估得準(zhǔn)不準(zhǔn)呢？

生1：用1平方厘米的小正方形去量。

師：只能用小正方形去量嗎？還可以用什么量？

師（出示：長(zhǎng)6厘米）：你能想到什么？

生2：一排能擺6個(gè)小正方形。

師：如果長(zhǎng)是5厘米呢？7厘米呢？16厘米呢？也就是說(shuō)——

生3：長(zhǎng)是幾厘米，一排就能擺幾個(gè)小正方形。

師：看來(lái)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)決定了一排能擺幾個(gè)面積單位。只知道這一個(gè)條件就行了嗎？

生4：還要知道擺幾排。

師（出示：寬3厘米）：現(xiàn)在知道能擺幾排了嗎？（演示課件驗(yàn)證）能用一道乘法算式表示它的面積嗎？

師：這里有一個(gè)正方形，估一估它的面積是多少。這回你需要幾個(gè)條件？為什么？

活動(dòng)四：議

師：學(xué)到這里，大家可能已經(jīng)知道了這節(jié)課我們學(xué)習(xí)的內(nèi)容是什么了。（板書課題）那長(zhǎng)方形的面積和什么有關(guān)呢？怎樣求長(zhǎng)方形的面積？正方形呢？在小組內(nèi)交流自己的看法。

（教師板書兩個(gè)公式。兩個(gè)公式的得出非常輕松，一方面可能是前面的鋪墊比較到位，另一方面，即使沒(méi)學(xué)今天的課，不少學(xué)生也已經(jīng)知道這兩個(gè)公式了，所以下面這個(gè)環(huán)節(jié)很重要）

師：能具體地解釋一下這個(gè)公式嗎？長(zhǎng)指的是

生1：每排能擺幾個(gè)。

師：寬呢？

生2：能擺幾排。

師：這個(gè)“邊長(zhǎng)”指的是……那另一個(gè)“邊長(zhǎng)”呢？這兩個(gè)公式有什么相同的地方嗎？

生3：它們都是在求有多少個(gè)小正方形（面積單位）。

生4：它們都是鄰邊相乘。（這位學(xué)生的發(fā)言可謂是石破天驚）

師（將兩個(gè)公式合為一體，板書：鄰邊相乘）：可見(jiàn)長(zhǎng)方形和正方形面積的計(jì)算并不神秘，就是我們?cè)诙昙?jí)學(xué)習(xí)的“幾個(gè)幾是多少”的應(yīng)用而已。

【反思】

一、依托網(wǎng)絡(luò)教室，提高教學(xué)效率

本節(jié)課在網(wǎng)絡(luò)教室進(jìn)行絕非為了嘩眾取寵。之所以不放在教室，是因?yàn)閷W(xué)生的擺、量都不便于在全班展示;之所以不放在報(bào)告廳，是因?yàn)閳D形投影到大屏幕上之后，面積放大了若干倍，不利于學(xué)生建立面積大小的正確表象，尤其是估計(jì)長(zhǎng)方形面積環(huán)節(jié)，直接影響著學(xué)生估計(jì)的結(jié)果。實(shí)踐證明，學(xué)生在操作電腦時(shí)用鼠標(biāo)拖動(dòng)小正方形來(lái)擺、量都非常方便，速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于實(shí)物操作，并且在局域網(wǎng)中能任意展示學(xué)生的作品，這樣不僅極大提高了教學(xué)的效率，同時(shí)這種新穎的教學(xué)方式也激發(fā)了學(xué)生的參與熱情。

二、抓住一個(gè)重點(diǎn)，推進(jìn)四次活動(dòng)

這節(jié)課的重中之重是讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到長(zhǎng)方形、正方形的鄰邊與排數(shù)、每排個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，圍繞這一點(diǎn)，我引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行了“擺、量、估、議”四個(gè)層次的活動(dòng)。

“擺”，學(xué)生最容易關(guān)注到的往往是用了多少個(gè)正方形以及每排擺幾個(gè)、擺了幾排。我通過(guò)一句“對(duì)于這樣一個(gè)長(zhǎng)方形，你能獲得它的哪些信息呢？”將學(xué)生的目光從單個(gè)的正方形吸引到長(zhǎng)方形上來(lái)，學(xué)生自然也就能夠關(guān)注到長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬與面積了。

“量”，學(xué)生最關(guān)心的是量的結(jié)果，即它的面積是多少，因?yàn)椴僮鞯囊缶褪菧y(cè)量圖形的面積。算式中的兩個(gè)乘數(shù)，學(xué)生僅僅把它看作“個(gè)數(shù)”與“排數(shù)”而已。“其實(shí)他不僅量出了長(zhǎng)方形的面積，還量出了長(zhǎng)方形的——”一句啟發(fā)性的話讓學(xué)生將“個(gè)數(shù)、排數(shù)”與“長(zhǎng)、寬”聯(lián)系起來(lái)。

“估”，一方面，通過(guò)學(xué)生有沒(méi)有用估的方法可以檢驗(yàn)出“每排個(gè)數(shù)×排數(shù)”是否已深入學(xué)生的大腦，另一方面，前兩個(gè)環(huán)節(jié)是由“個(gè)數(shù)”想到“長(zhǎng)、寬”，而這時(shí)出示“長(zhǎng)”，問(wèn)學(xué)生“能想到什么”，則是引導(dǎo)學(xué)生由“長(zhǎng)”聯(lián)想到“個(gè)數(shù)”，這一恰好相反的心理活動(dòng)讓學(xué)生進(jìn)一步深入認(rèn)識(shí)了它們之間的關(guān)系。

“議”，重點(diǎn)同樣是放在了對(duì)公式的理解上。這一活動(dòng)是對(duì)前面幾個(gè)環(huán)節(jié)的總結(jié)與提升，如果說(shuō)前三個(gè)活動(dòng)是在挖渠，那么這個(gè)活動(dòng)則是渠成之后的涓涓清流。

三、淡化圖形區(qū)別，把握計(jì)算本質(zhì)

從本質(zhì)上來(lái)說(shuō)，長(zhǎng)方形和正方形的面積計(jì)算方法是完全一樣的，所以在以往的教學(xué)中，一般都是先推導(dǎo)長(zhǎng)方形面積的計(jì)算公式，再將其遷移到正方形面積的計(jì)算公式。而我在教學(xué)中有意淡化兩種圖形的區(qū)別，不分彼此，同步進(jìn)行它們面積公式的推導(dǎo)，以期能夠引導(dǎo)學(xué)生真正體會(huì)面積計(jì)算的本質(zhì)所在。在第一個(gè)環(huán)節(jié)，主要讓學(xué)生感覺(jué)到正方形擺的時(shí)候有點(diǎn)特殊，卻和長(zhǎng)方形一樣都可以用一道簡(jiǎn)單的乘法算式得到面積單位的個(gè)數(shù)，并且讓學(xué)生注意到乘法算式中的兩個(gè)數(shù)雖然相同，但意義不一樣。在估正方形的面積時(shí)讓學(xué)生說(shuō)一說(shuō)需要幾個(gè)條件，再次讓學(xué)生注意到正方形與長(zhǎng)方形的面積計(jì)算是相同的，兩個(gè)乘數(shù)的意義是不一樣的。最后的“議”著重引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注兩個(gè)計(jì)算公式有什么相同的地方，學(xué)生的那句“它們都是鄰邊相乘”可謂是字字千金，這也正是教師苦心經(jīng)營(yíng)所期望實(shí)現(xiàn)的目標(biāo)。

綜上，同樣的教學(xué)內(nèi)容之所以有不同的教學(xué)設(shè)計(jì)，絕非為了標(biāo)新立異刻意為之，而是不同的教學(xué)思考在教學(xué)形式上的具體體現(xiàn)。形式是為內(nèi)容服務(wù)的，教什么比怎么教更重要！

（責(zé)編金鈴）