二階區(qū)間值積分微分方程初值問題解的存在唯一性

郭雅婷,葉國菊,劉 尉,趙大方

(河海大學(xué)理學(xué)院, 中國 南京 210098)

區(qū)間分析是一門用區(qū)間變量代替點(diǎn)變量進(jìn)行運(yùn)算的數(shù)學(xué)分支, 是一種解決不確定性問題的有效方法。起源于計(jì)算數(shù)學(xué)的誤差理論。自Moore 系統(tǒng)地提出區(qū)間分析理論以來, 該理論被廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)[1]、計(jì)算機(jī)[2]、控制理論[3, 4]等領(lǐng)域。近年來,Viegas[5]，Chen[6]和Li[7]等學(xué)者又在航空、機(jī)械工程領(lǐng)域獲得了新的研究成果。

在經(jīng)典的實(shí)分析中, 最重要的概念之一是實(shí)值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。相應(yīng)地, 在區(qū)間分析中, 為進(jìn)一步建立區(qū)間值函數(shù)微分理論, 各種導(dǎo)數(shù)概念相繼出現(xiàn)。其中，文獻(xiàn)[8]提出的Hukuhara 導(dǎo)數(shù)引起廣泛關(guān)注。然而，運(yùn)用Hukuhara 導(dǎo)數(shù)會(huì)導(dǎo)致解的區(qū)間寬度隨時(shí)間的增加而增加,因此，區(qū)間值微分方程也尚未被很好地理解和應(yīng)用。直到2009年, Stefanini和Bede提出的廣義Hukuhara 導(dǎo)數(shù)有力地解決了這個(gè)問題[9], 對(duì)研究區(qū)間值微分方程提供了很大幫助。

區(qū)間值微分方程作為描述不確定性系統(tǒng)的一種重要方式, 在區(qū)間分析理論中的重要性日益凸顯。隨著廣義Hukuhara 導(dǎo)數(shù)的建立, 區(qū)間值微分方程理論得到進(jìn)一步發(fā)展。為探討區(qū)間值微分方程解的存在性及唯一性, Villamizar, Long和An 等學(xué)者利用經(jīng)典Banach 不動(dòng)點(diǎn)定理和弱壓縮映射原理研究偏序空間的方程[10-16]。但弱壓縮映射原理尚未應(yīng)用于二階區(qū)間值積分微分方程。受文獻(xiàn)[10-16]啟發(fā), 本文利用廣義Hukuhara 導(dǎo)數(shù)以及弱壓縮映射原理研究二階區(qū)間值函數(shù)積分微分方程初值問題, 并給出例子驗(yàn)證結(jié)果的正確性。方程形式如下：

(1)

式中X(t)，K(t)：J→Kc()是區(qū)間值函數(shù)，G(s,X(s)):J×Kc()→Kc()也是區(qū)間值函數(shù)，Kc()是由上的閉區(qū)間構(gòu)成的空間, 即Kc() = {[a,b] |a,b∈且是X的二階廣義Hukuhara導(dǎo)數(shù)，I1,I2∈Kc()。

1 預(yù)備知識(shí)

任取Kc()中的元素A，B, 其中對(duì)任意λ∈,Kc()空間中的區(qū)間運(yùn)算規(guī)定如下：

(2)

同時(shí),Kc()中的Kulisch-Miranker 偏序關(guān)系”? ” 定義為: 對(duì)任意的()，

(3)

實(shí)數(shù)是區(qū)間的特殊形式, 稱為退化區(qū)間。例：2=[2,2]。設(shè)A，B∈Kc(),它們之間的Hausdorff 距離定義為空間(Kc(),H)是一個(gè)完備的, 局部緊的, 可分的度量空間。

設(shè)A，B∈Kc(),如果存在C∈Kc(),使得A=B+C, 則稱C為A和B的差, 記為C=A?B,注意A?B≠A+(-B)。只有當(dāng)w(A)≥w(B)時(shí),A?B有意義。因?yàn)?有很大局限性, 文獻(xiàn)[12]中提出了?g使得：

定義1[17]設(shè)X:[a,b] →Kc()是區(qū)間值函數(shù), 若對(duì)任給的ε> 0,總存在某一個(gè)δ=δ(t,ε)>0，使得對(duì)所有的s∈[a,b], 當(dāng)|t-s| <δ時(shí), 都有

H(X(t),X(s))<ε

成立, 則稱X在t∈[a,b]上連續(xù)。

定義2[10]若對(duì)區(qū)間值函數(shù)F(t):[a,b] →Kc(),對(duì)任意t∈[a,b], 存在實(shí)數(shù)M,有H(F(t),{0})≤M,則稱區(qū)間值函數(shù)F(t) 在[a,b]上有界。

引理1.[18]設(shè)F,G∈C([a,b],Kc())是兩個(gè)區(qū)間值函數(shù), 若F,G滿足偏序關(guān)系F≤G,則對(duì)任意的A∈Kc()有

根據(jù)以上引理可以得到

定義3[10]設(shè)X：[a,b]→Kc()是區(qū)間值函數(shù), 如果存在一個(gè)(),使得下列任一條件成立, 則稱X在t0∈[a,b] 處是一階強(qiáng)廣義可微的。

a.設(shè)h> 0足夠小,X(t0+h)?X(t0),X(t0)?(t0-h) 存在且有

b. 設(shè)h> 0足夠小,X(t0)?X(t0+h),X(t0-h)?X(t0) 存在且有

c. 設(shè)h> 0足夠小,X(t0+h)?X(t0),X(t0-h)?(t0) 存在且有

d. 設(shè)h> 0足夠小,X(t0)?X(t0+h),X(t0)?(t0-h) 存在且有

注1.在文獻(xiàn)[10]定義3 中, 當(dāng)X(t) 滿足條件a時(shí),X(t) 稱為(i)型可微; 當(dāng)X(t) 滿足條件b時(shí),X(t) 稱為(ii)型可微。

定義4[15]設(shè)(X,d)是一偏序空間,F:X→X,對(duì)任意的x,y∈X, 若x?y時(shí)有F(x)?F(y), 則稱函數(shù)F為非減函數(shù)。

定義5[19]設(shè)函數(shù)Ψ:[0,∞) → [0,∞) 滿足(a)Ψ連續(xù)且非減;(b)Ψ(t)=0當(dāng)且僅當(dāng)t=0,則稱Ψ為變更距離函數(shù)。

定義6[19]設(shè)(X,d)是一度量空間, 若存在變更距離函數(shù)Ψ和Φ, 使得函數(shù)F:X→X滿足

Ψ(d(F(X),F(Y))≤Ψ(d(X,Y))-Φ(d(X,Y)),

則稱函數(shù)F是弱壓縮的。

定理1[19]設(shè)(X,?) 是一偏序空間且存在度量d, 使得(X,d) 是一完備度量空間。若非減函數(shù)F:X→X滿足：(1)存在變更距離函數(shù)Ψ,Φ，對(duì)任意XY有Ψ(d(F(X),F(Y))≤Ψ(d(X,Y))-Φ(d(X,Y))；(2)X中存在非減序列(Xk)k∈N→X或F連續(xù)；(3)存在X0∈X, 有X0?F(X0) 或X0F(X0)。則F有唯一的不動(dòng)點(diǎn)。

2 主要結(jié)果

定理2a.當(dāng)X(t):J→Kc()連續(xù)且X和是(i)型可微時(shí), 方程(1) 等價(jià)于

(4)

b.當(dāng)X(t):J→Kc()連續(xù)且X是(ii)型可微，是(i)型可微時(shí)，方程(1)等價(jià)于

(5)

c.當(dāng)X(t):J→Kc()連續(xù)且X是(i)型可微，是(ii)型可微時(shí)，方程(1)等價(jià)于

(6)

d.當(dāng)X(t):J→Kc()連續(xù)且X和是(ii)型可微時(shí)，方程(1)等價(jià)于

(7)

進(jìn)而有

以上僅給出了式(7) 的證明, 剩余3種情況類似可得。

定義7若區(qū)間值函數(shù)X(t):J→Kc()滿足方程

則稱X(t)是方程(1)的(i)-(i)型解；

注2.由定理6 中方程的4種形式及定義7 和定義8 得方程(1) 的解和下解均有4種形式, 分別為(i)-(i)，(i)-(ii)，(ii)-(i)和(ii)-(ii) 型, 本文將其簡記為(a)-(b)型解。

K(t)G(t,X(t))?K(t)G(t,Y(t)),

(8)

H(K(t)G(t,X(t)),K(t)G(t,Y(t)))≤MH(G(t,X(t)),G(t,Y(t)))。

(9)

證明:由式(2)和(3)得

成立, 故式(8)成立。由K(t)有界, 存在M使得

H(K(t)G(t,X(t))),K(t)G(t,Y(t)))≤H(MG(t,X(t)),MG(t,Y(t)))≤MH(G(t,X(t)),G(t,Y(t)))。所以式(9)成立。

定理3若方程(1) 存在(a)-(b) 型下解μ∈C1(J,Kc()),區(qū)間值函數(shù)F(t),K(t),G(t,X(t))連續(xù)且滿足：

a.G(t,X(t))關(guān)于X(t)為非減函數(shù), 即，若XY,則G(t,X(t))G(t,Y(t));

b.K(t)為界區(qū)間值函數(shù)，且K(t)0;

c.G(t,X(t))是弱壓縮的，即，存在變更距離函數(shù)Ψ,Φ,使得對(duì)任意XY,有

Ψ(H(G(t,X(t)),G(t,Y(t)))) ≤Ψ(H(X(t),Y(t))) -Φ(H(X(t),Y(t))),

則方程(1)存在唯一的(a)-(b) 型解。

證明:由定理2 知解有4種類型：(i)-(i) 型解, (i)-(ii) 型解, (ii)-(i) 型解, (ii)-(ii) 型解。不失一般性, 以下討論(ii)-(ii) 型解的存在性, 其他3種解的存在類似可證。定義算子A:C(J,Kc()) →C(J×Kc(),Kc()) 如下:

若X∈C(J,Kc()) 是A的不動(dòng)點(diǎn), 則X是方程的(ii)-(ii)型解。下證算子A有唯一不動(dòng)點(diǎn)。

根據(jù)條件a及引理1, 對(duì)任意XY,

所以A非減。

在C(J,Kc())中考慮k足夠大使得以及度量定理中條件c成立, 則對(duì)所有XY有Ψ(H(G(t,X(t)),G(t,Y(t)))) ≤Ψ(H(X(t),Y(t))), 由變更距離函數(shù)的非減性得H(G(t,X(t)),G(t,Y(t))) ≤H(X(t),Y(t))。(C(J,Kc()),Hk)是一完備度量空間[10]。

根據(jù)定理中條件b 及引理2中式(8)和(9)可得

所以有

則存在變更距離函數(shù)γ,使得

γ(Hk(AX,AY))≤γ(Hk(X,Y))-Φ(Hk(X,Y))。

因?yàn)棣淌欠匠?1) 的(ii)-(ii)型下解, 所以有

由定理1得A有唯一的(ii)-(ii) 型不動(dòng)點(diǎn), 即方程有唯一的(ii)-(ii) 型解。

注3.若將定理3 條件中的下解存在改為上解存在, 由定理1 得結(jié)論仍成立。

3 例子

例1.考慮區(qū)間值積分微分方程：

(10)

證明:令X(t) =[t,et], 則有

所以X(t)是方程(10) 的一個(gè)(i)-(i)型上解。下面驗(yàn)證方程(10) 滿足定理3 的條件。

a. 當(dāng)X(t)?Y(t)時(shí),

b. 0?K(t)=[t,t+1]?3;

則

根據(jù)定義5可知存在變更距離函數(shù)Ψ,Φ,使得,

經(jīng)驗(yàn)證方程(10)滿足定理3 及注3 中條件, 方程(10)存在唯一的(i)-(i) 型解。