求解彌散峰度張量-特征值問題的自適應(yīng)信賴域法

逄 勃，張 雪，曹名圓

(北華大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，吉林 吉林 132013)

0 引 言

彌散峰度張量成像可以表示各種生物組織中隨機分子運動偏差中的非高斯成像[1-3]，其中的關(guān)鍵是利用彌散峰度張量的特征值得到空間中水分子的表觀峰度系數(shù)，進而有助于疾病診斷[4-5].因此，計算彌散峰度張量特征值具有重要的應(yīng)用價值.

則有

(1)

1 自適應(yīng)信賴域算法

由變分原理，將問題(1)轉(zhuǎn)化成如下約束優(yōu)化問題

(2)

問題(2)的拉格朗日函數(shù)

對于當前迭代點xk(k∈*)，fk=f(xk)，gk=g(xk)=▽f(xk)-λkxk，Bk=B(xk)=2f(xk)-λk分別是點(xk，λk)處的函數(shù)值、L(x，λ)的梯度和Hessian陣.求解約束優(yōu)化問題(2)的信賴域方法就是在迭代的每一步，求解如下信賴域子問題得到搜索方向

(3)

(4)

并且λk滿足

在得到子問題(3)的解，即試探步dk之后，我們可以計算實際上升量f(p(xk+dk))-f(p(xk))和預(yù)估上升量φk(dk)-φk(0)，然后利用

(5)

則

(6)

該策略中的比值利用3次迭代的比值加權(quán)求和得到，越新的迭代點處比值對應(yīng)的加權(quán)系數(shù)越大.

算法1

步1 給定x0∈3，∈S[4，3]，且λ0=計算g0，B0.令k0.

步2 解子問題(3)得到dk.

2 算法的收斂性

為方便分析，令

則h(x)的梯度和Hessian陣分別為

引理1(ⅰ)對任意滿足xTx=1，yTy=1的x和y，有

其中，M、L0和L1是正的常數(shù).

(ⅱ)存在有界閉集Ω，對任意滿足xTx∈Ω，yTy∈Ω的x和y，有

其中，L2是正的常數(shù).

由g(x)、B(x)和▽2h(x)的光滑性和有界性顯然可得引理1.

引理2考慮函數(shù)f(xk+dk)和模型φk(dk)的誤差，則

證明可參照文獻[6]中引理3.2.

引理3設(shè)dk是問題(4)的解，則

證明可參照文獻[6]中引理3.3.

(7)

證明：反證法.假設(shè)結(jié)論不成立，存在無限集Κ?，使得

(8)

(9)

根據(jù)引理1～3和式(9)，我們有

由算法1知此時Δk+1單調(diào)非減，與式(8)矛盾.因此，式(7)成立.證畢.

定理1令序列{xk}由算法1產(chǎn)生，則有

(10)

證明：反證法.假設(shè)式(10)不成立，存在一個常數(shù)ε>0，對所有k∈，有

.

(11)

由式(10)，對充分大的k有ρk≥ω0.結(jié)合式(5)、引理3和式(11)，得

f(xk+dk)-f(xk)=ρk[φk(dk)-φk(0)]≥ω0[φk(dk)-φk(0)]≥

因為f(xk)在有界閉集Ω上單調(diào)遞增且有界，有f(xk+1)-f(xk)→0(k→)，所以

這與引理4矛盾.因此，式(10)成立.證畢.

3 數(shù)值算例

本數(shù)值例子來源于福爾馬林固定大鼠脊髓標本的核磁共振成像實驗數(shù)據(jù)[7]，實驗在CPU 2.40 GHz，RAM 2.00 GB計算機的MATLAB R2013a中運行.

w1111=0.498 2，w1112=-0.058 2，w1113=-1.171 9，w1122=0.223 6，w2233=0.151 9，

w1223=0.185 2，w1133=0.459 7，w1222=0.488 0，w1123=-0.017 1，w2333=0.763 1，

w1233=-0.408 7，w1333=0.763 9，w2222=0，w2223=-0.616 2，w3333=2.631 1和

d11=0.175 5×10-3，d12=0.003 5×10-3，d13=0.013 2×10-3，d22=0.139 0×10-3，

d23=0.001 7×10-3，d33=0.400 6×10-3(單位：mm2/s).