反證法在數(shù)學(xué)分析解題中的應(yīng)用

林佳佳

【摘要】反證法是公認(rèn)的巧妙的證明方法之一，在數(shù)學(xué)專業(yè)基礎(chǔ)課程數(shù)學(xué)分析解題方面的應(yīng)用廣泛，本文結(jié)合自身學(xué)習(xí)經(jīng)歷，總結(jié)出幾類反證法在數(shù)學(xué)分析解題方面的應(yīng)用，并提出運(yùn)用反證法所需要注意的事項(xiàng)。

【關(guān)鍵詞】反證法? 數(shù)學(xué)分析

【中圖分類號(hào)】G642 ? 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2020）20-0139-01

數(shù)學(xué)分析作為大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)的基礎(chǔ)專業(yè)課程，有著非常重要的地位。對(duì)于數(shù)學(xué)分析的解題方法眾多，而反證法作為最巧妙高效的解題方法之一，在其中的應(yīng)用非常廣泛。由于反證法本身高效易懂的特點(diǎn)，已經(jīng)成為數(shù)學(xué)解題中最重要的方法之一。筆者結(jié)合自身數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，在總結(jié)出一般反證法在數(shù)學(xué)分析解題方面的應(yīng)用同時(shí)，進(jìn)一步歸納出解題過(guò)程中運(yùn)用反證法過(guò)程中的問(wèn)題與注意事項(xiàng)。

一、反證法的定義與依據(jù)

反證法所依據(jù)的是邏輯思維規(guī)律中的“矛盾律”和“排中律”。在同一思維過(guò)程中，兩個(gè)互相矛盾的判斷不能同時(shí)都為真，至少有一個(gè)是假的，這就是邏輯思維中的“矛盾律”;兩個(gè)互相矛盾的判斷不能同時(shí)都假，簡(jiǎn)單地說(shuō)“A或者非A”，這就是邏輯思維中的“排中律”。

二、反證法在數(shù)學(xué)分析解題中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)分析是大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)的基礎(chǔ)課程，其相關(guān)問(wèn)題的解決有大量的方法。其中，作為巧妙方法之一的反證法在一些題型的解決中有一定的應(yīng)用。本文歸納出以下幾種常見(jiàn)的類型。

（四）證明“唯一性”，宜采用反證法

該類題型并不難證明。如欲證明數(shù)列極限的唯一性，只需采用反證法，假設(shè)其極限不唯一，進(jìn)一步利用極限的定義，最后結(jié)合ε的任意性即可得到結(jié)論。

三、運(yùn)用反證法應(yīng)注意的問(wèn)題

（一）采用反證法時(shí)一定要對(duì)結(jié)論做出全方面準(zhǔn)確的否定

“假定命題的結(jié)論不成立”作為使用反證法的第一個(gè)步驟，若第一步便出錯(cuò)，未能對(duì)結(jié)論做出全面準(zhǔn)確的否定，那么即使后續(xù)的解答再完美也無(wú)任何用處。

（二）采用合理邏輯以及題目信息推出矛盾

如何推出矛盾是采用反證法解題的關(guān)鍵。推出矛盾的過(guò)程雖然是沒(méi)有確定模式，沒(méi)有既定標(biāo)準(zhǔn)的，但可以肯定的一點(diǎn)是，做題時(shí)一定要準(zhǔn)確利用題干信息，并結(jié)合使用合理的邏輯與推理規(guī)則，切記不可生搬硬套，更應(yīng)該避免陷入邏輯陷阱。

（三）采用反證法對(duì)于解題多數(shù)會(huì)起到簡(jiǎn)化求解過(guò)程的目的

采用反證法對(duì)于解題多數(shù)會(huì)起到簡(jiǎn)化求解過(guò)程的目的，但注意不可一味的使用反證法求解問(wèn)題，如此可能使得求解過(guò)程略顯累贅，至于如何合理使用，對(duì)于初學(xué)者而言，需要通過(guò)平時(shí)學(xué)習(xí)的大量積累，反復(fù)推敲直至明白其深刻內(nèi)涵，最終投入使用時(shí)仍需要靠自身經(jīng)驗(yàn)把握火候。

四、思考與總結(jié)

反證法是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一把利器，在數(shù)學(xué)各個(gè)領(lǐng)域均有體現(xiàn)。值得一提的是，反證法在數(shù)學(xué)分析解題方面的應(yīng)用非常普遍，尤其是在證明題與一些概念理解上的應(yīng)用不可小覷，如果能合理恰當(dāng)使用反證法解題，可以使得解題過(guò)程簡(jiǎn)潔明了，給人以思維上的震撼，如果能借助反證法對(duì)一些難懂的概念加以理解，可以大大提高理解的深度。

參考文獻(xiàn)：

[1]https：//baike.baidu.com/item/%E5%8F%8D%E8%AF%81%E6%B3%95/5017739？fr=aladdin

[2]李傅山著.數(shù)學(xué)分析中的問(wèn)題與方法.北京：科學(xué)出版社， 2016.07.

[3]歐陽(yáng)光中等編.數(shù)學(xué)分析（上）第3版.北京：高等教育出版社，2007.04.