三維實(shí)李代數(shù)的分類

胡建華， 栗菲菲， 劉 靜

（上海理工大學(xué) 理學(xué)院，上海 200093）

李代數(shù)的分類問題是李代數(shù)結(jié)構(gòu)理論的核心內(nèi)容。經(jīng)典的李代數(shù)理論[1-3]利用根系理論完整地給出了特征為0的代數(shù)閉域上的有限維半單李代數(shù)分類。但對(duì)于特征為或非代數(shù)閉域上的李代數(shù)分類還有許多未解決的問題。而對(duì)于這些李代數(shù)的研究，總是從低維開始的。文獻(xiàn)[4-7]利用同構(gòu)定理研究了低維的可解李代數(shù)和冪零李代數(shù)分類問題。實(shí)數(shù)域是特征為0的數(shù)域，但它是非代數(shù)閉域，因此，實(shí)李代數(shù)的結(jié)構(gòu)與復(fù)李代數(shù)的完全不同。本文研究三維實(shí)李代數(shù)的分類問題，利用同構(gòu)定理，根據(jù)導(dǎo)代數(shù)的維數(shù)[8-10]給出三維實(shí)李代數(shù)的完整分類。

1 基礎(chǔ)知識(shí)

定理1[1]令和是2個(gè)維 李代數(shù)，，若它們存在一組對(duì)應(yīng)基，其對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)常數(shù)相等，則和同構(gòu)。

同構(gòu)的2個(gè)李代數(shù)，它們的導(dǎo)代數(shù)的維數(shù)相同。

文獻(xiàn)[1,3]在同構(gòu)意義下給出了一維、二維實(shí)李代數(shù)的分類。一維實(shí)李代數(shù)只有一類，，是交換李代數(shù)，滿足，記為。二維實(shí)李代數(shù)有兩類。一類是交換的，滿足，記為；另一類是非交換的，滿足，記為。

現(xiàn)根據(jù)導(dǎo)代數(shù)的維數(shù)分別討論三維實(shí)李代數(shù)在同構(gòu)意義下的分類。

2 三維實(shí)李代數(shù)的分類

2.1 導(dǎo)代數(shù)維數(shù)為0和1

2.2 導(dǎo)代數(shù)維數(shù)為2

2.3 導(dǎo)代數(shù)維數(shù)為3

最后，將以上關(guān)于三維實(shí)李代數(shù)的討論總結(jié)為定理2。

定理2 在同構(gòu)意義下，3維實(shí)李代數(shù)有如下8類：