一類時間分?jǐn)?shù)階耦合Boussinesq-Burger方程在不變子空間中的精確解

李林芳，舒 級，文慧霞

（四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，四川成都610066）

1 前言

近年來，非線性分?jǐn)?shù)階偏微分方程（FPDE）的研究引起了人們廣泛的關(guān)注.分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的思想起源于萊布尼茨和洛必達討論的半階導(dǎo)數(shù)，后來由文獻［1-3］把它推廣到任意階導(dǎo)數(shù)，產(chǎn)生了分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的多種定義.在現(xiàn)實中，一種自然現(xiàn)象可能不僅取決于時間，也取決于先前一段時間的歷史，這些可以通過分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)和積分來闡述.分?jǐn)?shù)階微積分也是描述具有長期記憶和長期空間交互作用的物理系統(tǒng)的有力工具，不僅用于分析分?jǐn)?shù)布朗驅(qū)動的隨機過程，也包括非隨機的分?jǐn)?shù)物理現(xiàn)象，如多孔系統(tǒng)的研究、量子力學(xué)和非Newton流體力學(xué)等.然而，由于方法的限制，F(xiàn)PDE的研究受到了阻礙，導(dǎo)致具有多種特征（如周期解、混沌、奇異吸引子、分形等）的FPDE在一般情況下不能完全獲得精確解.因此，研究分?jǐn)?shù)階偏微分方程的精確解是一個非常重要的課題.

本文研究如下時間分?jǐn)?shù)階Boussinesq-Burger方程組

其中，u（x，t）是速度場，v（x，t）是高度，α是時間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，0＜α≤1.Boussinesq-Burger方程［4］是一個重要的偏微分方程組，產(chǎn)生于動態(tài)系統(tǒng)的研究.Kuma等［4］利用剩余冪級數(shù)法研究了該方程組的解，發(fā)現(xiàn)修正的同倫分析法獲取的結(jié)果更為準(zhǔn)確.Wang等［5］應(yīng)用多參數(shù)達布變換獲得該方程組的一些顯示解，包括2N孤子解與周期解.Mostafa等［6］利用廣義Kudryashov方法獲得該方程組的精確解.

目前構(gòu)建非線性分?jǐn)?shù)階偏微分方程精確解的方法主要包括：首次積分法［7-9］、同倫分析法［10-11］、指數(shù)函數(shù)展開法［12-14］和（G′/G）-展開法［15-17］等.近年來，一種基于不變子空間的解析方法為構(gòu)建FPDE的精確解提供了一種有效工具.不變子空間方法最初由Galaktionov等［18］提出，后來經(jīng)Gazizov等［19］推廣到非線性時間分?jǐn)?shù)階標(biāo)量偏微分方程.最近，Sahadevan等［20］將不變子空間方法擴展到非線性時間分?jǐn)?shù)階耦合偏微分方程.通過該方法已經(jīng)獲得 Hunter-Saxton方程［20］、Whitman-Broer-Kaup 方程組［20］和可壓縮歐拉方程［21］等的精確解.不變子空間方法的優(yōu)勢在于：它是一種與對稱群相關(guān)的方法，通過這種方法，非線性演化方程可以被約化為有限維動力系統(tǒng)；同時它也是一個算法，可以為FPDE構(gòu)造簡單的孤子解和相似解.

下面給出分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義及性質(zhì)［1，22］.

2 預(yù)備知識

不變子空間方法是與廣義條件對稱密切相關(guān)的構(gòu)造非線性偏微分方程（組）廣義分離變量解的有效方法之一.下面介紹不變子空間方法及相關(guān)定義，分別對標(biāo)量PDE、耦合PDE、時間分?jǐn)?shù)階標(biāo)量PDE和時間分?jǐn)?shù)階耦合PDE進行闡述［20］.

3 Boussinesq-Burger方程組的精確解

下面應(yīng)用不變子空間方法求解時間分?jǐn)?shù)階Boussinesq-Burger方程組（2）.

按照第二節(jié)的方法，方程組（2）容許1個不變子空間：

4 結(jié)束語

應(yīng)用不變子空間方法求解時間分?jǐn)?shù)階耦合非線性PDE，并得到時間分?jǐn)?shù)階Boussinesq-Burger方程組的精確解.不變子空間方法對于某些方程還可以允許多個不變子空間，從而得到多個不同的精確解.從結(jié)果來看，不僅獲取了該方程在分?jǐn)?shù)階情形下的精確解，整數(shù)階情形下也一并獲得，這是其它方法所不能完成的.同時，相比其它方法，獲得的精確解的表達式也更為簡潔.因此，對于構(gòu)建非線性分?jǐn)?shù)階方程（組）的精確解，不變子空間方法是一種新的行之有效的方法，以后將用于更多非線性偏微分方程（組）的研究中.