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    市場細(xì)分下定價與交貨延遲批量的聯(lián)合決策

    2012-09-28 04:57:02戴道明
    關(guān)鍵詞:需求量定價向量

    戴道明

    (安徽財經(jīng)大學(xué) 管理科學(xué)與工程學(xué)院,安徽 蚌埠 233030)

    由于互聯(lián)網(wǎng)的迅猛發(fā)展,以及直接面向顧客(Direct-to-Customer,簡稱 DTC)訂貨方式的廣泛采用,制造商可以從互聯(lián)網(wǎng)上獲得大量有關(guān)顧客偏好和需求方面的信息,且價格變動所產(chǎn)生的費用非常低。因此,動態(tài)定價策略在零售業(yè)和制造業(yè)中掀起了一場重要的變革。

    大多數(shù)定價與生產(chǎn)/庫存的聯(lián)合決策問題致力于單周期情形[1-3]。在這些模型中,價格是決策變量,需求是關(guān)于價格的單調(diào)減函數(shù)。研究的焦點在于設(shè)計算法(如微分法、求導(dǎo)或迭代法等),以便求得最優(yōu)價格和最優(yōu)訂貨量。

    也有不少文獻(xiàn)研究多周期定價與生產(chǎn)/庫存的聯(lián)合決策問題。文獻(xiàn)[4]提出了逐期評審(s,S,p)策略;文獻(xiàn)[5]探討了政府和 WEEE回收法規(guī)對兩周期新制造產(chǎn)品與再制造產(chǎn)品差異定價策略和利潤的影響;文獻(xiàn)[6]研究了新制造產(chǎn)品和再制造產(chǎn)品差異銷售情形,結(jié)果表明2種產(chǎn)品的數(shù)量在相鄰周期間交替占優(yōu)。

    在以上提及的文獻(xiàn)中,周期的跨度預(yù)先未知,在企業(yè)生產(chǎn)管理實際應(yīng)用中帶來諸多不便?;贛RP的定價與生產(chǎn)/庫存的聯(lián)合決策問題[7-10],預(yù)先把計劃期劃分成若干個周期(周期為月、旬或自然周等),在實際生產(chǎn)管理活動中易于操作。其模型和方法可以作為常用管理軟件(如MRPII、ERP等)的模型庫和方法庫。這類聯(lián)合決策問題一般運用組合技術(shù)進(jìn)行求解,涉及價格和生產(chǎn)量2類決策變量,求解方法比較復(fù)雜。

    文獻(xiàn)[7]研究了考慮價格折扣的訂貨批量問題;文獻(xiàn)[8]研究了訂貨費用和庫存費用是動態(tài)情形的定價和批量的聯(lián)合決策問題;文獻(xiàn)[9]研究生產(chǎn)能力受限情形下制造/再制造混合批量問題,設(shè)計了一種啟發(fā)式蟻群優(yōu)化算法;文獻(xiàn)[10]研究了隨機提前期的批量問題,提出了動態(tài)規(guī)劃算法。

    面對激烈的市場競爭,企業(yè)常常按照一定的標(biāo)準(zhǔn)將市場劃分成若干個子市場,針對每個子市場的特點分別采取不同的定價策略和生產(chǎn)策略,以便獲得最佳效益。本文針對市場細(xì)分情形,研究基于MRP的動態(tài)定價與允許交貨延遲批量的聯(lián)合決策問題,提出基于動態(tài)規(guī)劃的精確算法。

    1 數(shù)學(xué)模型

    設(shè)T為計劃期內(nèi)的周期數(shù);Mt為第t周期的子市場數(shù);Kt為第t周期的生產(chǎn)啟動費用;vt為第t周期的單位產(chǎn)品變動生產(chǎn)費用;為第t周期的單位產(chǎn)品存貯費用為第t周期的單位產(chǎn)品延遲費用;γ為允許交貨延遲的最大周期數(shù);dmt為第t周期第m 子市場的需求量;pmt(dmt)=αmt-βmtdmt,為第t周期第m 子市場的價格函數(shù);dt為第t周期的所有子市場的需求之和;xt為第t周期的生產(chǎn)量;為第t周期末的庫存量;為第t周期的交貨延遲量;第t周期如果生產(chǎn)則yt取1,否則取0。問題的數(shù)學(xué)模型如下:

    模型Ⅰ:

    目標(biāo)函數(shù)(1)是制造商的利潤;約束條件(2)是相鄰周期間的物料平衡方程;約束條件(3)要求每個周期所有子市場的需求量之和等于該周期的總需求量;約束條件(4)規(guī)定了生產(chǎn)量的上限;約束條件(5)表示某周期是否生產(chǎn);約束條件(6)要求未被滿足的交貨延遲的期限不能超過γ個周期;約束條件(7)要求相關(guān)變量的非負(fù)性;約束條件(8)要求每個周期各個子市場的需求量和價格是非負(fù)的。目標(biāo)函數(shù)(1)中是第t周期的收益。當(dāng)?shù)趖周期的各子市場需求量之和為dt時,考慮下面的模型。

    模型Ⅱ:

    令Rmt(dmt)表示第t周期第m 子市場的收益,即Rmt(dmt)=dmtpmt(dmt)。由pmt(dmt)定義可知,Rmt(dmt)處處可微,且是凹函數(shù)。模型Ⅱ的庫恩-塔克條件為:

    通過(10)式和(11)式可以分別求解出d1t,…,dMtt關(guān)于dt的函數(shù)表達(dá)式,令

    令Rt(dt)表示周期t的需求量為dt時,周期t的最大收益。由于d1t,d2t,…,dMtt僅僅通過dt與批量決策相關(guān)聯(lián),因此模型Ⅱ和下面的模型Ⅲ聯(lián)合起來等價于模型Ⅰ。

    模型Ⅲ:

    2 最優(yōu)解性質(zhì)分析

    令D={d1,…,dT}表示從周期1到周期T的需求向量,X(D)表示需求向量為D時的可行生產(chǎn)計劃。

    定義2 如果Sab(1≤a<b≤T)表示生產(chǎn)計劃X(D)的一個子集,且Sab={xi,a≤i<b|a-1和b是再生點>0或>0,a≤j<b},則稱Sab是生產(chǎn)計劃X(D)的子生產(chǎn)計劃,相應(yīng)的問題稱為子問題(a,b)。特別地,如果a-1和a都是再生點,則Saa也是生產(chǎn)計劃X(D)的子生產(chǎn)計劃。

    定理1 給定需求向量D={d1,…,dT},存在某個最優(yōu)生產(chǎn)計劃,具有以下性質(zhì):在任意2個連續(xù)的生產(chǎn)點t0、t1(1≤t0<t1≤T)間,至少存在1個再生點j,t0≤j<t1;也就是說,在任意2個連續(xù)的再生點間,至多存在1個生產(chǎn)點。

    證明 反證法。假設(shè)最優(yōu)生產(chǎn)計劃X(D)存在連續(xù)生產(chǎn)點t0、t1,它們之間沒有再生點,即>0或>0(t0≤i<t1)。分3類:①>0(t0≤i<t1);②>0(t0≤i<t1);③ 存在某個周期j0(t0<j0<t1)>0且>0。以第3類為例進(jìn)行證明,分2種情形討論。

    這時,周期j0的需求既可以全部由生產(chǎn)點t0來滿足(此時,Ij0=0),也可以全部由生產(chǎn)點t1來滿足(此時,Ij0-1=0),總費用不變。因此,存在某個最優(yōu)解X′(D),具有定理1的性質(zhì)。

    第1類取j0=t1-1;第2類取j0=t0,可以類似地證明。證畢。

    由定理1可知,存在某個最優(yōu)生產(chǎn)計劃,任意2個連續(xù)的再生點,至多有1個生產(chǎn)點。因此,很容易得到下面的推論。

    推論1 存在某個最優(yōu)生產(chǎn)計劃,對于任意周期t,要么不生產(chǎn),要么生產(chǎn)量是幾個連續(xù)周期的需求量之和。

    設(shè)周期t0是生產(chǎn)點,令周期r(t0)表示不超過周期t0的最遲的再生點。

    證明 存在最優(yōu)解X(D**),其中D**=,…,}。t0和t1(t0<t1)是 X(D**)的任意2個連續(xù)的生產(chǎn)點。由于從周期r(t0)+1到r(t1)只有1個生產(chǎn)點t0,故對于周期t,其中r(t0)+1≤t≤(t0-1),需求量分別為和時,利潤之差為:

    綜上所述,需求向量D*=,…,}也是原問題的一個最優(yōu)需求向量。證畢。

    3 算法及計算復(fù)雜度

    3.1 模型Ⅱ的求解方法

    Rt(dt)是關(guān)于dt的二次函數(shù)。不妨設(shè)Rt(dt)=At+Btdt+。把(14)式代入到模型Ⅱ目標(biāo)函數(shù)(9)式中,得到:

    3.2 模型Ⅲ的子問題求解方法

    根據(jù)定理1,可以把模型Ⅲ分解成若干子問題,分別對子問題進(jìn)行求解。不失一般性,以子問題(1,n)(1≤n≤T)為例。根據(jù)定理1及推論1可知,子問題(1,n)只有1個生產(chǎn)點t(1≤t≤γ+1)且生產(chǎn)量為子問題所有周期的需求總和。對于給定的生產(chǎn)點,運用定理2可以求解子問題的每個周期的價格。遍歷所有可能的生產(chǎn)點,利潤最大者所對應(yīng)的生產(chǎn)計劃和需求向量為子問題的最優(yōu)生產(chǎn)計劃和最優(yōu)需求向量。

    令Φ是所有可行D 的集合。E(1,n,t0)表示子問題(1,n)生產(chǎn)點為t0時的最大利潤,即

    子問題(1,n)的最優(yōu)需求策略:

    把(24)式和(25)式分別代入(14)式,得到周期t時各子市場的需求量dmt。如果dmt<0,則令dmt=0,(12)式和(13)式中不考慮市場m,重新計算需求量為非負(fù)的子市場的需求量。直至各子市場需求量非負(fù)為止。

    子問題(1,n)的最優(yōu)生產(chǎn)策略:

    3.3 模型Ⅲ的求解方法

    用動態(tài)規(guī)劃法求解模型Ⅲ。F(k)表示從計劃期初到周期k末的總利潤。令δ=min{i+γ,k}。

    由定理1,得到動態(tài)規(guī)劃順序遞推公式:

    其中,(28)式為初始條件,E(i,k,t)可以根據(jù)3.2節(jié)中的算法進(jìn)行求解。F(T)就是模型Ⅲ的最大利潤,對應(yīng)的需求向量(或生產(chǎn)計劃)就是模型Ⅲ的最優(yōu)需求向量(或最優(yōu)生產(chǎn)計劃)。

    3.4 計算復(fù)雜度分析

    模型Ⅱ的時間復(fù)雜度為O(T)。對于模型Ⅲ,子問題的時間復(fù)雜度為O(T)。模型Ⅲ包含的子問題數(shù)是0.5T(T-1),因此,模型Ⅲ的時間復(fù)雜度為O(T3)。綜上所述,模型Ⅰ的時間復(fù)雜度為O(T3)。

    3.5 算法的具體步驟

    算法的主要步驟如下:

    (1)給定周期t,根據(jù)(14)式,求得周期t各子市場的需求函數(shù)表達(dá)式;利用(21)~(23)式求得收益Rt(dt)的函數(shù)表達(dá)式。

    (2)按照步驟(1),求得所有周期收益函數(shù)表達(dá)式和各子市場的需求函數(shù)表達(dá)式。

    (3)對于i,k,1≤i≤k≤T,運用3.2中的方法求解子問題(i,k)的最優(yōu)需求量和生產(chǎn)計劃。

    (4)按照步驟(3),求解所有可能的子問題(i,k)的最優(yōu)需求向量和最優(yōu)生產(chǎn)計劃。

    (5)運用(27)式和(28)式,用動態(tài)規(guī)劃順推解法求解出模型Ⅲ的最大利潤、最優(yōu)價格向量和最優(yōu)生產(chǎn)計劃。

    (6)對于步驟(5)中求得的各周期最優(yōu)需求量,利用步驟(1)得到的每周期各子市場的需求函數(shù)表達(dá)式,求得每周期各子市場的最優(yōu)需求量。

    4 實驗結(jié)果與參數(shù)分析

    交貨延遲的最大周期數(shù)γ=3,每周期的子市場數(shù)Mt=3。根據(jù)αjt和βjt的取值特征,把問題分為4種類型。類型Ⅰ:所有子市場的價格函數(shù)相同,αjt(j=1,2,3)的值都等于表1中的α3t,βjt(j=1,2,3)的值都等于表1中的β1t,其余參數(shù)值見表1所列。類型Ⅱ:βjt(j=1,2,3)的值都等于表1中的β1t,其余參數(shù)值見表1所列。類型Ⅲ:αjt(j=1,2,3)的值都等于表1中的α3t,其余參數(shù)值見表1所列。周期t(t=1,…,T)時,如果每個子市場的價格函數(shù)相同,則該周期內(nèi)各子市場的最優(yōu)需求量和最優(yōu)價格是相同的,見表2和表3中的Ⅰ行。如果所有子市場價格函數(shù)的βjt(j=1,2,3)取值相同,αjt(j=1,2,3)減少,那么子市場的需求量隨之降低且價格也隨之降低,見表2和表3的Ⅱ行。如果所有子市場價格函數(shù)中的αjt(j=1,2,3)取值相同,βjt(j=1,2,3)增加,那么子市場的需求量反而隨之降低且價格保持不變,見表2和表3的Ⅲ行。如果αjt(j=1,2,3)減少且βjt(j=1,2,3)增加,那么子市場需求量下降的幅度更大,見表2和表3的Ⅳ行。綜上所述,αjt與子市場需求量(或價格)是正相關(guān)的,βjt與子市場需求量是負(fù)相關(guān)的且與價格不相關(guān)。

    表1 類型Ⅳ的主要參數(shù)值

    表2 4種類型的各子市場的最優(yōu)需求 件

    表3 4種類型的各子市場的最優(yōu)價格 千元

    圖1分析了不同生產(chǎn)啟動費用下,不允許延遲情形下和允許延遲情形下聯(lián)合決策的利潤變化。圖1的參數(shù)值見表1所列。從圖1可以看出,2條曲線呈張開的剪刀形,說明允許交貨延遲情形下的聯(lián)合決策對生產(chǎn)啟動費用的變化較為“遲鈍”。從管理角度來說,當(dāng)生產(chǎn)啟動費用較大時,采用允許交貨延遲的聯(lián)合決策可以給企業(yè)增加更多的利潤;當(dāng)固定費用較小時,2種情形下的利潤差別不大??梢詮睦碚摻嵌冉忉屵@個現(xiàn)象,當(dāng)生產(chǎn)啟動費用較大時,采用允許交貨延遲的聯(lián)合決策模型可以減少生產(chǎn)啟動的次數(shù),如果減少的生產(chǎn)啟動費用大于由于生產(chǎn)點的數(shù)目減少而增加的延遲費用和庫存費用,則利潤就會增加。

    圖1 不許延遲與允許延遲的利潤比較

    一般來說,聯(lián)合策略優(yōu)于分散策略,如圖2所示。

    圖2 分散策略與聯(lián)合策略的利潤比較

    圖2的參數(shù)值見表1所列。分散策略下,選擇了13種定價方案。為方便起見,分散策略下的每周期各子問題的價格取值分別是聯(lián)合決策下最優(yōu)價格的92%、93%、94%、95%、96%、97%、98%、99%、101%、102%、103%、104%、105%。當(dāng)倍數(shù)大于等于106%時,子市場3周期1的需求量為負(fù),定價方案不可行。從管理角度來看,如果分散策略下價格過低,雖然提高市場占有率,但降低了邊際利潤率;如果價格過高,雖然提高了邊際利潤率,但降低了市場占有率。聯(lián)合決策模型在邊際利潤率和市場占有率之間找到了平衡點,為每周期各子市場制定了合理的價格水平,使得企業(yè)利潤最大化。

    5 結(jié)束語

    本文研究了在市場細(xì)分情形下,允許交貨延遲的批量與定價的協(xié)調(diào)決策問題,提出了基于動態(tài)規(guī)劃的精確算法,可以在多項式時間O(T3)內(nèi)求解出每周期各個子市場的最優(yōu)價格和最優(yōu)生產(chǎn)計劃,獲得最大的利潤。定價時不僅注重公司的外部因素(通過產(chǎn)品成本、需求函數(shù)中的系數(shù)αjt和βjt體現(xiàn)),同時也考慮公司的內(nèi)部因素(生產(chǎn)費用及庫存費用等)。模型不僅可以有效解決成熟產(chǎn)品的定價決策與批量決策的協(xié)調(diào)問題,而且對制造商的新產(chǎn)品定價具有指導(dǎo)意義。

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