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    蝴蝶定理對(duì)合對(duì)應(yīng)關(guān)系的統(tǒng)一形式及其應(yīng)用

    2020-07-04 02:54:24趙臨龍朱亮衛(wèi)
    河南科學(xué) 2020年5期
    關(guān)鍵詞:二次曲線中點(diǎn)線段

    趙臨龍, 朱亮衛(wèi), 于 婷

    (1.安康學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,陜西安康 725000; 2.陜西理工大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,陜西漢中 723000)

    1 問題背景

    2018 年,張峻銘、劉利益在《蝴蝶定理的一個(gè)推廣》[1]中,給出蝴蝶定理的推廣結(jié)論.

    命題1(蝴蝶定理) 如圖1,過圓的弦EF中點(diǎn)P引兩弦AD、BC,連接AB、CD分別交EF于X、Y,則PX=PY.

    圖1 蝴蝶定理Fig.1 Butterfly theorem

    命題3(Klamkin 蝴蝶定理) 過圓的弦EF任意點(diǎn)P,取EF上關(guān)于P的兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)M、N,分別過M、N作兩弦AD、BC,連接AB、CD分別交EF于X、Y,則PX=PY.(注:在相關(guān)文獻(xiàn)中,多有Klamkin不等式,而文獻(xiàn)[1]提到Klamkin蝴蝶定理).

    文獻(xiàn)[1]指出:命題2和命題3分別舍棄了P的中點(diǎn)性和交點(diǎn)性,得到了看起來(lái)不太兼容的兩個(gè)結(jié)論. 是否存在一個(gè)定理可將二者整合起來(lái),文獻(xiàn)[1]給出“圓內(nèi)蝴蝶定理”和“圓外蝴蝶定理”結(jié)論.

    命題5 對(duì)⊙O外一條直線l 作垂線OP,過點(diǎn)P作⊙O弦AD、BC,連接AB、CD分別交EF于X、Y,則PX=PY.

    2 問題討論

    文獻(xiàn)[1]所討論的問題涉及內(nèi)容廣泛,對(duì)研究蝴蝶定理變形命題有一定意義,但文中也出現(xiàn)錯(cuò)誤的結(jié)論.

    2002年,單壿在《平面幾何中的小花》[2]給出命題5的證明. 2007年,蔣紅瑛在《蝴蝶定理的一個(gè)推廣及應(yīng)用》[3]給出命題3的證明.

    在命題4中,當(dāng)點(diǎn)M、N合于弦EF上點(diǎn)P時(shí),此時(shí)結(jié)論:

    顯然,等式不成立. 即命題4并非是蝴蝶定理的統(tǒng)一形式.

    3 理論建立

    現(xiàn)將圓推廣為一般的二次曲線,用射影幾何對(duì)合對(duì)應(yīng)方法給出統(tǒng)一的結(jié)論.

    命題6 如圖2、圖3,過二次曲線弦AB外一點(diǎn)M引二次曲線的兩弦CD,EF分別交弦AB于G、H,CF、ED分別交AB于P、Q,設(shè)點(diǎn)N為GH的中點(diǎn),記AN=a,BN=b,GN=NH=d,PN=x,QN=y,其中小寫字母均表示有向線段值,則

    圖2 內(nèi)型蝴蝶定理Fig.2 Inner butterfly theorem

    圖3 外型蝴蝶定理Fig.3 Exterior butterfly theorem

    證明 如圖2、圖3,將點(diǎn)C、E看成二次曲線上的兩個(gè)對(duì)應(yīng)線束,則由線束與點(diǎn)列透視對(duì)應(yīng)關(guān)系[4]得到:

    即有對(duì)合對(duì)應(yīng)關(guān)系:A→B、B→A、P→Q、G→H. 此時(shí),設(shè)GH 中點(diǎn)為N,記NA=a,NB=b,GN=NH=d,NP=x,NQ=y,則由對(duì)合對(duì)應(yīng)關(guān)系[4]:

    顯然,命題6將蝴蝶定理的二次曲線內(nèi)型形式和外型形式統(tǒng)一起來(lái),其結(jié)構(gòu)與文獻(xiàn)[5]基本一致.

    值得注意的是:在命題6中,二次曲線弦AB可以是二次曲線外的線段AB. 故有結(jié)論.

    推論1 過二次曲線外的線段AB外一點(diǎn)M引二次曲線的兩弦CD、EF分別交線段AB于G、H,CF、ED分別交線段AB 于P、Q,設(shè)點(diǎn)N 為GH 的中點(diǎn),記AN=a,BN=b,GN=NH=d,PN=x,QN=y,其中線段均表示有向線段,則

    在命題5中,由于點(diǎn)A、B為關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱的共軛虛點(diǎn),即仍然有MA=MB,因此有結(jié)論MP=MQ. 即命題5是推論1的特殊情況,而且這里證法是文獻(xiàn)[6]的另外一種射影幾何證明方法.

    另外,由于(2)式對(duì)不同的對(duì)應(yīng)元素,確定一個(gè)對(duì)合對(duì)應(yīng)關(guān)系式,則有結(jié)論.

    推論2 如圖2、圖3,過四點(diǎn)C、D、E、F的二次曲線交直線l 于A、B兩點(diǎn),過直線AB外一點(diǎn)M引該二次曲線的兩弦CD,EF分別交線段AB于G、H,CF、ED分別交線段AB于P、Q,設(shè)點(diǎn)N為GH上一點(diǎn),記AN=a,BN=b,GN=c,NH=d,PN=x,QN=y,其中線段均表示有向線段,則

    推論3 過四點(diǎn)C、D、E、F的二次曲線束Γi(i=1,2,…)交直線l 于Ai、Bi(i=1,2,…)兩點(diǎn),對(duì)于直線l 上一點(diǎn)N,記NAi=xi、Bi=yi(i=1,2,…),其中線段均表示有向線段,則二次曲線束Γi(i=1,2,…)中的任意3條,滿足關(guān)系:

    由于Γi(i=1,2,…)都經(jīng)過四點(diǎn)C、D、E、F,則每一條Γi(i=1,2,…)關(guān)于直線l 的兩點(diǎn)Ai、Bi(i=1,2,…)的有向線段坐標(biāo)都滿足(6)式,而由對(duì)合對(duì)應(yīng)關(guān)系(6)式的唯一性,取二次曲線束Γi(i=1,2,…)中的任意3條,其關(guān)于直線l 的兩點(diǎn)Ai、Bi(i=1,2,3)的有向線段坐標(biāo)都滿足(6)式,即(7)式成立.

    4 理論應(yīng)用

    例1 如圖4,PQ 是非退化的二階曲線Γ1的弦,M、E、F 是PQ上的點(diǎn),M是PQ的中點(diǎn),同時(shí)也是EF的中點(diǎn). 過點(diǎn)F的弦交Γ1于A、B,過點(diǎn)E 的弦交Γ1于C、D. 令過B、C、A、D 四點(diǎn)的任一二階曲線Γ2與直線PQ的交點(diǎn)為S、T,則點(diǎn)M亦為TS的中點(diǎn)[7].

    證明 如圖4,將直線對(duì)AD、BC 看作退化的二次曲線,則三對(duì)二次曲線在直線PQ的有向線段坐標(biāo)滿足:

    圖4 兩條蝴蝶定理形式Fig.4 The form of two butterfly theorems

    例2 如圖5,如果直線l 與二次曲線c1相交于點(diǎn)A1、B1,與二次曲線c2相交于點(diǎn)A2、B2. 那么對(duì)由c1、c2所形成的二次曲線束中的任一條二次曲線c3,設(shè)它與l 的交點(diǎn)為A3、B3,探討二次曲線在直線l 上交點(diǎn)的關(guān)系.

    圖5 三條蝴蝶定理形式Fig.5 The form of three butterfly theorems

    證明 如圖5,在直線l 取點(diǎn)O,記有向線段OAi=ai,OBi=bi(i=1,2,3),則有:

    同理,有

    即有結(jié)論:

    其幾何意義:二次曲線中的任意兩條與直線l 上交點(diǎn)坐標(biāo)的有向線段滿足不變量關(guān)系:

    推論4 過四點(diǎn)C、D、E、F的二次曲線束Γi(i=1,2,…)交直線l 于Ai、Bi(i=1,2,…)兩點(diǎn),對(duì)于直線l 上一點(diǎn)N,記NAi=xi、Bi=yi(i=1,2,…),其中線段均表示有向線段,則二次曲線束Γi(i=1,2,…)中的任意2條,滿足不變量關(guān)系:

    文獻(xiàn)[8]和[9]利用解析幾何討論了例2的代數(shù)形式,沒有給出其相應(yīng)的幾何本質(zhì)特征. 因此,我們?cè)?jīng)在文獻(xiàn)[10]和[11]中提出:模型、聯(lián)想、轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)解題創(chuàng)新的關(guān)鍵點(diǎn).

    另外文獻(xiàn)[2]所給出的關(guān)系式:

    是否成立,需要進(jìn)一步探討.

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