帶有臨界項的薛定諤-泊松系統基態(tài)解的存在性

楊 霞，馮曉晶

(山西大學 數學科學學院,山西 太原 030006)

0 引言

本文研究一類帶有臨界非局部項的薛定諤-泊松系統[1]：

(1)

近幾年，越來越多的數學家們研究了下列薛定諤-泊松系統[2]：

(2)

特別地，對帶有臨界非局部項的薛定諤-泊松系統：

(3)

其中：2

系統(1)可以化為Choquard方程：

注：本文中，用C>0表示不同的正常數。

1 預備知識

(4)

對任意的u∈Π，有：

(5)

引理1[12](Ⅰ)對任意的u∈D，有φu≥0。

(Ⅱ)對任意的t>0和u∈D，有φtu=t5φu。

(Ⅳ)若un在D中弱收斂于u，則存在子列，使得φun在D中弱收斂于φu。

定義能量泛函為：

顯然，J∈C1(D，R)。容易證明系統(1)的弱解等價于J的臨界點。為了得到基態(tài)解(也就是最小能量解)，定義Nehari流形N={u∈D{0}:I(u)=0}，其中

2 定理1的證明

為了證明主要結果，首先給出一些引理。

引理2假設定理1的條件成立，對任意的w∈Π，存在唯一的tu>0，使得tuu∈N，且有J(tuu)=maxt>0J(tu)。

證明對任意的u∈D，根據H?lder不等式和式(4)得：

(6)

取定u∈D{0}，對t>0，定義f(t)∶=J(tu)，注意到f′(t)=〈J′(tu)，u〉=0當且僅當tu∈N，通過計算有：

顯然，t>0時，h是不增函數，由式(6)可知：

因此，存在唯一的tu>0，使得f′(tu)=0，即有tuu∈N。從而J(tuu)=maxt>0J(tu)。

引理2證畢。

對任意的u∈N，結合式(4)及式(6)，有：

從而不難推得，存在α>0，使得：

(7)

根據式(6)，對任意的u∈N，有：

(8)

知J有下界，則可令m=infu∈NJ(u)且m>0。

引理3假設定理1的條件成立，對任意的u∈N，I′(u)≠0。

證明對任意的u∈N，根據式(6)和式(7)，有：

(9)

則對任意的u∈N，I′(u)≠0。

引理3證畢。

引理4假設定理1的條件成立，則存在有界序列{un}?N，滿足J(un)→m，且在D-1中J′(un)→0。

證明利用Ekeland’s變分原理[16]，存在有界序列{un}?N，{λn}?R，使得J(un)→m，并且在D-1中J′(un)-λnI′(un)→0。由式(8)可得：

故{un}在D中有界。又知0=〈J′(un)，un〉=λn〈I′(un)，un〉+ο(1)，結合式(9)可得：λn→0。利用H?lder不等式和{un}的有界性得：

從而有：

引理4證畢。

引理5假設定理1的條件成立，則下面不等式成立：

證明對任意的u∈Π，當t>0時，定義

結合式(5)，上式可以化為：

故有：

根據引理2，對任意的w∈Π，存在唯一的tw>0，使得tww∈N，從而有：

因此，m<Λ。

引理5證畢。

引理6假設定理1的條件成立，J有非平凡的臨界點。

(10)

利用文獻[16]中的引理2.13，有：

(11)

再由式(10)及式(11)，有：

(12)

由引理1，φun在D中弱收斂于φu，則在L6(R3)中有φun弱收斂于φu。從而有：

(13)

(14)

又顯然有：

(15)

由式(11)、式(14)、式(15)及J′(un)→0得：

〈J′(u)，φ〉=limn→∞〈J′(un)，φ〉=0，

由此可得J存在一個非平凡的臨界點。

引理6證畢。

定理1的證明由引理6可知：J有一個(PS)m序列{un}?N且存在u∈D，使得un在D中弱收斂于u，此外，u∈N有J(u)≥m。通過式(11)及范數的弱下半連續(xù)，知：

定理1證畢。