楊氏彈性模量測(cè)量實(shí)驗(yàn)綜述

段 陽(yáng) 楊浩林 伍泓錦 賈欣燕 樊代和

(1西南交通大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，四川 成都 610031；2物理國(guó)家級(jí)實(shí)驗(yàn)教學(xué)示范中心(西南交通大學(xué))，四川 成都 611756)

1 楊氏模量及其測(cè)量概述

彈性模量是描述固體材料抵抗形變能力的物理量[1]。其只取決于固體材料本身的物理性質(zhì)，外界環(huán)境對(duì)其沒(méi)有影響。彈性模量越大，固體材料越不容易形變。各項(xiàng)同性物體的彈性模量包括拉壓彈性模量E、剪切彈性模量G、體積彈性模量K、泊松比μ以及拉梅彈性常數(shù)λ[2]等。

1727年，歐拉提出了類似彈性模量的“模高”ω和“模重”h的概念，分別定義為ω=EA和h=E/ρg，其中，E表示材料的彈性模量；A為桿件的橫截面積；ρ為材料密度；g為重力加速度。1807年，托馬斯·楊(Thomas Young)出版了《自然哲學(xué)與機(jī)械技術(shù)教程》一書，其中提到：“任一材料的彈性模量，是同一材料構(gòu)成的一個(gè)柱體，在柱體底部能夠產(chǎn)生一定的壓力，該壓力與引起柱體某一壓縮度的重量之比，等于柱體長(zhǎng)度與其縮短量之比”，這里提出的彈性模量概念與歐拉提出的“模重”類似。若將“柱體”理解為“單位底面積柱體的重量”，則他的論述就是現(xiàn)在的彈性模量定義,故而彈性模量又被稱為“楊氏彈性模量”[3]，簡(jiǎn)稱為楊氏模量。

一方面，楊氏模量是研究微機(jī)械材料[4]、石墨烯材料、金屬?gòu)?fù)合材料[5]、混凝土[6]、納米材料[7]、陶瓷[8]、橡膠[9]等材料力學(xué)性能的關(guān)鍵參數(shù)。隨著工業(yè)材料的發(fā)展，楊氏模量的應(yīng)用變得必不可少，同時(shí)對(duì)楊氏模量的測(cè)量精度要求也越來(lái)越高。另一方面，據(jù)不完全統(tǒng)計(jì)，楊氏彈性模量測(cè)量實(shí)驗(yàn)，國(guó)內(nèi)約有87.8%的高校將其作為大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)課程中的實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目之一[10]。從2019年開(kāi)始，該實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目也成為了全國(guó)高等學(xué)校物理基礎(chǔ)課程青年教師講課比賽實(shí)驗(yàn)題目規(guī)范表中的20個(gè)題目之一。因此，楊氏彈性模量測(cè)量實(shí)驗(yàn)在當(dāng)前國(guó)內(nèi)高校大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)課程中的重要性不言而喻。

目前，國(guó)內(nèi)不同高校的物理實(shí)驗(yàn)教材，采用了不同的實(shí)驗(yàn)原理來(lái)進(jìn)行固體材料楊氏模量測(cè)量實(shí)驗(yàn)，已報(bào)道的文獻(xiàn)材料中也有很多關(guān)于楊氏模量的測(cè)量及改進(jìn)方法。然而，對(duì)該實(shí)驗(yàn)測(cè)量的系統(tǒng)歸納整理還未見(jiàn)報(bào)道。因此，為了能夠?qū)@個(gè)具有重要應(yīng)用價(jià)值的、開(kāi)設(shè)范圍較廣的大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目進(jìn)行一個(gè)系統(tǒng)梳理，以期為國(guó)內(nèi)高校的物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)提供參考，并為后幾屆計(jì)劃參加全國(guó)高等學(xué)校物理基礎(chǔ)課程(實(shí)驗(yàn))講課培訓(xùn)的青年教師提供借鑒作用，本文系統(tǒng)地綜述了目前已報(bào)道的楊氏模量實(shí)驗(yàn)測(cè)量的原理和方法，分析了這些方法的測(cè)量精度及優(yōu)缺點(diǎn)等。

2 楊氏模量的測(cè)量方法

目前，楊氏模量的測(cè)量方法通常分為以下4種：靜態(tài)拉伸法、動(dòng)態(tài)共振法、梁彎曲法以及超聲波測(cè)量法。其中，靜態(tài)拉伸法又可分為光學(xué)測(cè)量和電學(xué)測(cè)量?jī)纱箢?。?dòng)態(tài)共振法又可分為普通共振法、負(fù)載動(dòng)態(tài)法、激光雙光柵法等幾類。梁彎曲法可分為激光光杠桿放大測(cè)量、單縫衍射法、霍爾傳感器測(cè)量法及光纖布拉格傳感器法等。

2.1 靜態(tài)拉伸法

靜態(tài)拉伸法主要適用于金屬絲、頭發(fā)絲等可拉伸絲狀材料，其測(cè)量原理是對(duì)被測(cè)材料施加一個(gè)使其產(chǎn)生伸長(zhǎng)形變的力，通過(guò)測(cè)量材料受力后的微小伸長(zhǎng)量，最終使用定義公式來(lái)計(jì)算楊氏模量。例如，在被測(cè)材料兩端加上與桿平行的力F，桿的長(zhǎng)度將由自然長(zhǎng)度L變?yōu)長(zhǎng)+ΔL，這種應(yīng)變以長(zhǎng)度的相對(duì)增量ΔL/L來(lái)表征。若被測(cè)材料的截面積為S，則根據(jù)胡克定律,在彈性限度內(nèi), 應(yīng)力的大小與應(yīng)變成正比，即：

(1)

式(1)中，E就是被測(cè)材料的楊氏模量值[11]。從式(1)可以看出，如果要測(cè)量得到楊氏模量E的值，只需要測(cè)量得出F、S、ΔL、L即可。其中，最難測(cè)的物理量就是ΔL，因?yàn)槠淞恐捣秶浅Ｐ?，在通常的?shí)驗(yàn)條件下，僅為微米量級(jí)。因此，當(dāng)采用靜態(tài)拉伸法測(cè)量材料的楊氏模量時(shí)，如何精確測(cè)量ΔL，就成為實(shí)驗(yàn)測(cè)量的關(guān)鍵。

2.1.1 光學(xué)測(cè)量法

目前，針對(duì)ΔL的測(cè)量，光學(xué)測(cè)量法有光杠桿法[12-16]、莫爾條紋測(cè)量法[17]、等厚干涉法[18]、邁克耳孫干涉法[19,20]、雙縫干涉法[21]、數(shù)字激光散斑法[22,23]、數(shù)字全息比較法[24]、光纖傳感器法[25]、光柵衍射法[26]等。我們首先闡述光杠桿法的測(cè)量原理。

在楊氏模量的測(cè)量實(shí)驗(yàn)中，最普遍的測(cè)量ΔL的方法是光杠桿法。該方法同時(shí)也是目前國(guó)內(nèi)高校大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中最常使用的測(cè)量方法[27]。其測(cè)量原理是通過(guò)光杠桿放大微小位移的特點(diǎn)，測(cè)出材料受力時(shí)的伸長(zhǎng)量。光杠桿的測(cè)量原理圖如圖1所示[12]，當(dāng)被測(cè)材料受力伸長(zhǎng)導(dǎo)致的α角度很小時(shí)，可以得出如下近似：

(2)

其中，b為光杠桿前后足的垂直距離；D為標(biāo)尺到光杠桿小平面鏡中心的距離；Δn為望遠(yuǎn)鏡中標(biāo)尺讀數(shù)的改變量。

圖1 光杠桿法測(cè)材料楊氏模量示意圖

從式(2)可以看出，光杠桿測(cè)量ΔL的原理，實(shí)際上就是通過(guò)D?b這一實(shí)驗(yàn)設(shè)置，將微小伸長(zhǎng)量ΔL進(jìn)行光學(xué)放大后測(cè)量得出。

根據(jù)式(1)，若被測(cè)材料為一直徑為d的圓柱體，則楊氏模量測(cè)量的理論公式可寫為

(3)

將式(2)代入式(3)中可得光杠桿法測(cè)量楊氏模量的實(shí)際公式為

(4)

例如，文獻(xiàn)[12]利用光杠桿法測(cè)得典型的鋼絲的楊氏模量值為：E=2.10×1011Pa，相對(duì)不確定度為uE/E=5.7%。光杠桿法不僅可以測(cè)量金屬絲材料，也可對(duì)其他可拉伸材料進(jìn)行測(cè)量，例如，文獻(xiàn)[13]中測(cè)得某頭發(fā)絲的典型楊氏模量值為：E=4.40×1010Pa。

但是，利用光杠桿的測(cè)量原理，進(jìn)行楊氏模量的測(cè)量時(shí)也有一些不利因素?；诖?，有文獻(xiàn)給出了如下的一些改進(jìn)方法。

首先，在實(shí)驗(yàn)裝置的調(diào)節(jié)方面，由于實(shí)驗(yàn)裝置中望遠(yuǎn)鏡的視角較小，需要調(diào)整光杠桿鏡面法線與望遠(yuǎn)鏡光軸重合，觀察由光杠桿的鏡面所反射的標(biāo)尺的像比較費(fèi)力，針對(duì)此問(wèn)題目前有以下兩種解決方案。例如，可將望遠(yuǎn)鏡換為激光器，使其發(fā)出的光束照射到光杠桿的平面反射鏡上，調(diào)節(jié)平面反射鏡鏡面使激光反射到標(biāo)尺上，直接讀取光斑在標(biāo)尺上的位置讀數(shù)即可[14]；或者，給標(biāo)尺加一個(gè)發(fā)光裝置，在標(biāo)尺背面靠近測(cè)量者的一面安裝可發(fā)某種光的光源，使其成為一個(gè)具有發(fā)光功能的LED標(biāo)尺，如發(fā)紅色的熒光管，紅光透過(guò)標(biāo)尺向外散射，使標(biāo)尺變成有別于周圍顏色的光源[15,16]。此時(shí)，在望遠(yuǎn)鏡中便可輕而易舉調(diào)節(jié)出標(biāo)尺在光杠桿鏡面里成的像，這樣就使標(biāo)尺讀數(shù)變得簡(jiǎn)單，減少了實(shí)驗(yàn)過(guò)程中調(diào)節(jié)儀器的時(shí)間。

其次，在實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的測(cè)量方面，加減砝碼時(shí)下夾頭會(huì)隨著鋼絲晃動(dòng)，導(dǎo)致下夾頭上面的光杠桿會(huì)移位，有可能從支架平臺(tái)上掉落。針對(duì)此問(wèn)題的解決方案有以下兩種。例如，在下夾頭的適當(dāng)位置處打一個(gè)大小、深度適中的小槽，讓光杠桿的后支點(diǎn)剛好放在小槽里，這樣就避免了光杠桿隨著下夾頭的晃動(dòng)而移位[15]；或者，將砝碼換為拉力測(cè)力計(jì)，并增設(shè)一個(gè)固定于底板的定滑輪，增加減震效果[16]。

由于光杠桿法在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中測(cè)量步驟繁瑣，讀數(shù)時(shí)需要“兩邊跑”，因此介紹下面幾種實(shí)驗(yàn)過(guò)程簡(jiǎn)便的測(cè)量方法。

圖2 莫爾條紋測(cè)量ΔL原理圖

第二種測(cè)量ΔL的方法是莫爾條紋法，圖2就是一個(gè)典型的原理圖[17]。其測(cè)量的原理是：莫爾條紋移動(dòng)距離與光柵移動(dòng)距離之間存在一定的線性關(guān)系，莫爾條紋的放大特性可以將物體的微小位移量轉(zhuǎn)化成莫爾條紋的移動(dòng)，從而便捷測(cè)量出材料的微小伸長(zhǎng)量ΔL，由文獻(xiàn)[17,28]知：微小伸長(zhǎng)量ΔL可表示為ΔL=NW=(Δn/B屏)W。其中，B屏為顯示屏上一個(gè)莫爾條紋對(duì)應(yīng)的寬度；W為光柵柵距；N為條紋移動(dòng)個(gè)數(shù)；Δn為被測(cè)材料受力時(shí)，莫爾條紋位移量。當(dāng)利用莫爾條紋原理測(cè)量得到ΔL的值后，最終可以得出楊氏模量的測(cè)量公式為

(5)

例如，文獻(xiàn)[17]就用這種方法測(cè)量了鋼絲的楊氏模量值，其測(cè)量值為E=1.961×1011Pa，相對(duì)不確定度uE/E=8.16%。與光杠桿測(cè)量法相比，利用莫爾條紋法測(cè)量楊氏模量的優(yōu)點(diǎn)是實(shí)驗(yàn)儀器裝置簡(jiǎn)單、結(jié)構(gòu)緊湊、占空間小 、便于觀測(cè) 、實(shí)驗(yàn)過(guò)程操作簡(jiǎn)便、安全且不會(huì)造成視覺(jué)疲勞。

第三種測(cè)量ΔL的方法是等厚干涉測(cè)量法，其實(shí)驗(yàn)裝置圖由圖3所示[18]。該實(shí)驗(yàn)裝置將干涉儀兩個(gè)反射鏡(分別為M1、M2)的其中一片垂直固定到鋁片AB上，垂直的反射鏡經(jīng)過(guò)分光鏡所成的虛像與平行的鏡片不嚴(yán)格平行時(shí)可形成空氣楔形平板。鋁片上有三枚螺絲，其中只有一枚螺絲的為動(dòng)腳，將此螺絲放在楊氏模量測(cè)量?jī)x測(cè)量鋼絲長(zhǎng)度變化的地方，當(dāng)鋼絲長(zhǎng)度發(fā)生變化時(shí)，會(huì)使鋁片角度發(fā)生改變，最終導(dǎo)致條紋的寬度也發(fā)生變化。

這種測(cè)量方法中，進(jìn)行函數(shù)關(guān)系的輔助運(yùn)算，即可得到材料受力時(shí)的微小伸長(zhǎng)量：

(6)

其中，D是動(dòng)腳到水平面的高度;l為定腳到動(dòng)腳的距離;λn為實(shí)驗(yàn)使用單色光在空氣中的波長(zhǎng);b1、b2分別為鋼絲伸長(zhǎng)前后從毛玻璃屏幕上測(cè)量到的兩相鄰明(暗)紋之間的距離。最后根據(jù)等厚條紋寬度變化，利用公式

(7)

即可求出楊氏模量。例如，文獻(xiàn)[18]中，利用等厚干涉測(cè)量法實(shí)驗(yàn)測(cè)得鋼絲的楊氏模量為E=1.8×1011Pa，相對(duì)不確定度uE/E=27.78%。盡管該測(cè)量方法的相對(duì)不確定度偏高，但其也有一定的優(yōu)點(diǎn)，如測(cè)量方法更加簡(jiǎn)單，無(wú)需用到顯微鏡，不用考慮顯微鏡的回程差等問(wèn)題，可以直接由肉眼進(jìn)行觀測(cè)。若需要更高精度的數(shù)據(jù)可選用電腦進(jìn)行圖像處理，也可作為一個(gè)綜合性實(shí)驗(yàn)納入大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)。

第四種測(cè)量ΔL的方法是利用邁克耳孫干涉原理，其測(cè)量原理圖如圖4所示[19]。

當(dāng)金屬絲在外加拉力(裝置中水杯的重力)的作用下，帶動(dòng)靈敏杠桿的一端，靈敏杠桿的另一端帶動(dòng)邁克耳孫干涉儀的動(dòng)鏡M1，產(chǎn)生微小的移動(dòng)，進(jìn)而引起干涉圓環(huán)數(shù)目的變化，利用光電傳感器捕捉光信號(hào)進(jìn)行自動(dòng)記錄干涉圓環(huán)的“冒出”與“淹沒(méi)”，即可實(shí)現(xiàn)對(duì)微小位移的測(cè)量：

ΔL=h/n=kλ/2n

(8)

其中，k為條紋的條數(shù)；n=a/b為放大倍數(shù)(支點(diǎn)O將杠桿分為長(zhǎng)度為a和b的兩部分，AO=a，BO=b)，λ為He-Ne激光的波長(zhǎng)。經(jīng)過(guò)推導(dǎo)，楊氏模量的測(cè)量公式可寫為

(9)

其中，F(xiàn)為拉力傳感器測(cè)量到的水的重力。

文獻(xiàn)[20]中對(duì)楊氏模量的測(cè)量也使用到了邁克耳孫干涉儀，不同的是其將經(jīng)過(guò)擴(kuò)束的半導(dǎo)體激光器更換為商用He-Ne激光器，使得干涉結(jié)果由同心圓環(huán)變成強(qiáng)度明暗變化的干涉，并將原本用于觀察干涉圓環(huán)的毛玻璃屏更換為強(qiáng)度探測(cè)器，該實(shí)驗(yàn)的測(cè)量公式為

圖4 邁克耳孫干涉儀法測(cè)量楊氏模量實(shí)驗(yàn)裝置圖

(10)

其中，λ為入射激光的波長(zhǎng)；K=ΔN/F為單位拉力下探測(cè)到的干涉波峰(谷)的個(gè)數(shù)。實(shí)驗(yàn)所用的材料可能是黃銅的未知材料，其楊氏模量為E=1.588×1010Pa，相對(duì)不確定度uE/E=0.57%。該測(cè)量方法相對(duì)傳統(tǒng)方法精度高、數(shù)據(jù)處理方便，同時(shí)將大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中常用的邁克耳孫干涉儀與楊氏模量的測(cè)量聯(lián)系起來(lái)，啟發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維，鍛煉學(xué)生的實(shí)驗(yàn)綜合能力。

第五種測(cè)量ΔL的方法是雙縫干涉法，其測(cè)量原理圖如圖5所示[21]。這種方法的測(cè)量原理是將活動(dòng)雙縫裝置安裝在楊氏模量實(shí)驗(yàn)儀器的平臺(tái)上，鋼絲受力伸長(zhǎng)帶動(dòng)活動(dòng)雙縫下移，引起狹縫間寬度改變，干涉條紋發(fā)生變化。

圖5 雙縫干涉法測(cè)量楊氏模量原理圖

文獻(xiàn)[21]報(bào)道了ΔL的計(jì)算公式為

(11)

其中，s0、s1分別是加砝碼前后狹縫的寬度；Δx0為相鄰兩明(暗)紋間的距離；Δx1為加上砝碼后相鄰兩明(暗)紋間的距離；D為雙縫到屏的距離；λ為激光的波長(zhǎng)。利用如上所述的測(cè)量原理，最終得出楊氏模量的測(cè)量公式為

(12)

文獻(xiàn)[21]中，利用該原理實(shí)驗(yàn)測(cè)得鋼絲的楊氏模量為E=1.97×1011Pa，相對(duì)不確定度uE/E=0.20%，該方法相對(duì)不確定度低，精度高，克服了光杠桿法讀數(shù)困難的缺點(diǎn)，簡(jiǎn)化了實(shí)驗(yàn)過(guò)程。

第六種測(cè)量ΔL的方法為數(shù)字激光散斑法，其測(cè)量原理圖如圖6所示[22]。

圖6 數(shù)字激光散斑法測(cè)量楊氏模量原理圖

其測(cè)量ΔL的原理為：利用激光照射被測(cè)物品，激光通過(guò)樣品漫反射后在空間形成散斑圖像，利用圖像傳感器檢測(cè)散斑圖像，分析材料形變時(shí)散斑圖像的變化，從而計(jì)算出材料的楊氏模量，散斑測(cè)量系統(tǒng)被測(cè)物實(shí)際移動(dòng)位移d與圖像移動(dòng)像素n之間的關(guān)系為

d=kn

(13)

其中，k=8.38×10-3mm/pix；這里的d就是鋼絲伸長(zhǎng)量ΔL。再根據(jù)式(3)即可計(jì)算出楊氏模量。例如，文獻(xiàn)[22]利用此方法，實(shí)驗(yàn)測(cè)得鋼絲楊氏模量為E=2.13×1011Pa，相對(duì)不確定度uE/E=8.92%。

另外，文獻(xiàn)[23]也利用了散斑技術(shù)測(cè)量材料絲的楊氏模量，測(cè)量原理為：用光電成像器件記錄待測(cè)物體做微小面內(nèi)位移前后的散斑圖，通過(guò)數(shù)模轉(zhuǎn)換、Matlab疊加、傅里葉變換等過(guò)程，可觀察到楊氏干涉條紋，再進(jìn)行處理就可得到待測(cè)材料的位移信息，即數(shù)字散斑照相術(shù)。該文獻(xiàn)測(cè)量得到的金屬絲楊氏模量為E=2.1783×1011Pa，相對(duì)誤差為Er=8.915%。

利用數(shù)字激光散斑法測(cè)量楊氏模量值的優(yōu)點(diǎn)是測(cè)量精度高、光路簡(jiǎn)單、易于操作、數(shù)據(jù)處理速度快等。

第七種測(cè)量ΔL的方法是數(shù)字全息比較法，其測(cè)量原理圖如圖7所示[24]。

圖7 數(shù)字全息法測(cè)量楊氏模量實(shí)驗(yàn)原理圖

通過(guò)全息法對(duì)鋁板在微小外力作用下所發(fā)生的微小形變量進(jìn)行測(cè)量，從而計(jì)算出其楊氏模量的值。實(shí)驗(yàn)中分別拍攝鋁板發(fā)生微小位移前后的圖片，并將其干涉圖樣通過(guò)電腦再現(xiàn)出來(lái)。最終，楊氏模量的測(cè)量公式可寫為

(14)

其中，L為鋁板長(zhǎng)度；b為鋁板寬度；Fy為自由端所施加的力；x為不同級(jí)數(shù)干涉暗紋所在處沿x軸方向的位置；α為拍攝記錄時(shí)入射光和反射光與位移方向的夾角。例如，文獻(xiàn)[25]利用這種方法測(cè)量得到鋁板的楊氏模量值為：E=7.48×1010Pa，相對(duì)不確定度uE/E=4.01%，相對(duì)誤差為3.9%。該方法相對(duì)于傳統(tǒng)光學(xué)全息法，不僅毋需化學(xué)試劑處理的繁瑣過(guò)程，縮短了測(cè)量時(shí)間，而且減少了由于傳統(tǒng)全息中曝光時(shí)間過(guò)長(zhǎng)外界環(huán)境干擾因素對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響，提高了測(cè)量結(jié)果的準(zhǔn)確性。

第八種測(cè)量ΔL的方法是光纖傳感器法。其測(cè)量原理圖如圖8所示[25]。

圖8 光纖傳感器測(cè)量微小位移原理圖

由光纖傳感實(shí)驗(yàn)儀發(fā)射光纖發(fā)出的光照射到反射面上，經(jīng)反射面形成反射錐體，當(dāng)接收光纖在反射錐體內(nèi)，便能接收到反射光，因此一部分反射光由接收光纖傳回到光纖傳感實(shí)驗(yàn)儀的探測(cè)器上，經(jīng)過(guò)光電轉(zhuǎn)換元件將接收到的光信號(hào)轉(zhuǎn)化為電信號(hào)，通過(guò)檢測(cè)反射光的強(qiáng)度變化，就能測(cè)出反射體的位移。這種方法中，通過(guò)將金屬絲作為反射體，則可測(cè)量出拉伸下的微小位移量，從而通過(guò)公式

(15)

來(lái)測(cè)量得到楊氏模量值。其中，L為金屬絲長(zhǎng)度；g為重力加速度。例如，文獻(xiàn)[25]利用這種方法測(cè)量鋼絲的楊氏模量值為E=1.97×1011Pa，相對(duì)不確定度uE/E=2.03%。該方法的優(yōu)點(diǎn)是精確度高，實(shí)驗(yàn)過(guò)程簡(jiǎn)單方便，數(shù)字化儀器可使讀數(shù)更精確，進(jìn)而減小實(shí)驗(yàn)誤差。

第九種測(cè)量ΔL的方法是光柵衍射法，其實(shí)驗(yàn)原理圖如圖9所示[26]，該實(shí)驗(yàn)將待測(cè)材料與光源相連接，初始時(shí)光柵第k級(jí)衍射光與望遠(yuǎn)鏡平行，而待測(cè)材料產(chǎn)生微小伸長(zhǎng)量ΔL的同時(shí)光源發(fā)生小角度Δθ的轉(zhuǎn)動(dòng)，要使光柵第k級(jí)衍射光再次與望遠(yuǎn)鏡平行，則需要光柵轉(zhuǎn)動(dòng)α，可得到Δθ與α的關(guān)系：

圖9 光柵衍射法測(cè)量楊氏模量原理圖

(16)

其中，θ為初始入射光與水平方向的夾角。從而測(cè)出待測(cè)材料的微小伸長(zhǎng)量ΔL：

(17)

該方法設(shè)計(jì)新穎，可行性較高，而且對(duì)于微小角的放大倍數(shù)很高，大大提高實(shí)驗(yàn)精確性。

以上，即為目前報(bào)道的9種利用光學(xué)測(cè)量原理實(shí)現(xiàn)的楊氏模量測(cè)量實(shí)驗(yàn)概況。結(jié)合部分已報(bào)道了測(cè)量精度的文獻(xiàn)，表1給出了針對(duì)楊氏模量測(cè)量相對(duì)不確定度及其優(yōu)缺點(diǎn)的比較匯總，由表中可看出拉伸法測(cè)量楊氏模量的普遍缺陷是其實(shí)驗(yàn)裝置穩(wěn)定性低，鋼絲伸長(zhǎng)存在延遲導(dǎo)致誤差。

表1 光學(xué)方法測(cè)量楊氏模量的相對(duì)不確定度及優(yōu)缺點(diǎn)對(duì)比

從表1中可以看出，文獻(xiàn)[21]報(bào)道的雙縫干涉法的相對(duì)不確定度uE/E最低，可達(dá)到0.20%，其次是文獻(xiàn)[20]報(bào)道的邁克耳孫干涉法，為0.57%；文獻(xiàn)[20]報(bào)道的等厚干涉法的相對(duì)不確定度最高，達(dá)到了27.78%。

從實(shí)驗(yàn)操作方面而言，雙縫干涉法與光纖傳感器法都較為簡(jiǎn)便，實(shí)驗(yàn)步驟清晰。在實(shí)驗(yàn)構(gòu)想方面，除了光杠桿法，其他測(cè)量方法都將微小量的放大與其他光學(xué)技術(shù)(實(shí)驗(yàn))結(jié)合在一起，在簡(jiǎn)化實(shí)驗(yàn)步驟的同時(shí)，又具有綜合性，可進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力，增強(qiáng)學(xué)生綜合素質(zhì)。

2.1.2 電學(xué)測(cè)量法

電學(xué)測(cè)量法的主要原理是利用金屬的導(dǎo)電性來(lái)進(jìn)行ΔL的測(cè)量，因此電學(xué)測(cè)量法只適用于金屬絲材料，目前報(bào)道的有直流雙臂電橋法[29]、惠斯通電橋法[30]、RLC串聯(lián)交流諧振法[31]、非平行板電容法[32]等。

第一種測(cè)量方法是直流雙臂電橋法，其實(shí)驗(yàn)裝置如圖10所示[29]。

圖10 直流雙臂電橋測(cè)楊氏模量的實(shí)驗(yàn)裝置圖

將金屬絲接入雙臂電橋的一路橋臂中充當(dāng)該橋臂的電阻，其他都接入已知電阻，則可以通過(guò)公式Rx=R1Rn/R2來(lái)計(jì)算出金屬絲的電阻值，又由于“同一材料的導(dǎo)體，其電阻與導(dǎo)體的長(zhǎng)度成正比，與導(dǎo)體的橫截面積成反比”[33]，即公式ΔR=ρΔL/A， 當(dāng)金屬絲發(fā)生微小伸長(zhǎng)時(shí)，其電阻也會(huì)改變，由于金屬絲電阻已通過(guò)雙臂電橋簡(jiǎn)單測(cè)出，進(jìn)而其楊氏模量測(cè)量公式為

(18)

其中，ρ為導(dǎo)電系數(shù)；ΔR為電阻變化量。文獻(xiàn)[29]中測(cè)得碳鋼的楊氏模量值為E=2.00×1011Pa。

該測(cè)量方法的優(yōu)點(diǎn)是實(shí)驗(yàn)方法簡(jiǎn)便，測(cè)量數(shù)據(jù)符合精度要求；將金屬絲楊氏模量的測(cè)定實(shí)驗(yàn)與雙臂電橋測(cè)微小值電阻實(shí)驗(yàn)綜合成一個(gè)實(shí)驗(yàn)，保證了實(shí)驗(yàn)質(zhì)量，提高了實(shí)驗(yàn)效率,豐富了實(shí)驗(yàn)內(nèi)容，開(kāi)闊了學(xué)生的視野。但其缺點(diǎn)是，實(shí)際上金屬絲伸長(zhǎng)時(shí)其長(zhǎng)度和橫截面積均改變，而該實(shí)驗(yàn)中假設(shè)其伸長(zhǎng)前后面積不變，會(huì)造成一定誤差。

第二種測(cè)量ΔL的方法是惠斯通電橋法，其電路原理如圖11所示[30]：

圖11 惠斯通電橋示意圖

其原理是將金屬絲接入電路作為惠斯通電橋的一路橋臂，根據(jù)電阻的微小變化測(cè)得金屬絲的微小伸長(zhǎng)，該方法下的楊氏模量計(jì)算公式為

(19)

其中，KS為應(yīng)變片絲柵的靈敏系數(shù)；R10是鋼絲的初始電阻；US是電源初始電壓；R2為電橋中鋼絲的相鄰橋臂；ΔUBD為電橋兩端點(diǎn)間的電壓變化量。

該實(shí)驗(yàn)引入了應(yīng)變片，使得鋼絲的形變轉(zhuǎn)換成應(yīng)變片的電阻值，從而將電阻的變化放大，待測(cè)電壓的值變大，文獻(xiàn)[30]測(cè)出的實(shí)驗(yàn)結(jié)果為E=2.13×1011Pa。利用該原理測(cè)量楊氏模量的優(yōu)點(diǎn)是：(1)實(shí)驗(yàn)考慮到金屬絲拉長(zhǎng)后長(zhǎng)度、面積對(duì)電阻都有影響，數(shù)據(jù)精確，誤差小；(2)實(shí)驗(yàn)使用應(yīng)變片來(lái)放大電阻變化，提高精確度。

第三種測(cè)量ΔL的方法是采用RLC串聯(lián)諧振法， 其實(shí)驗(yàn)裝置如圖12所示[31]。

圖12 RLC串聯(lián)諧振法測(cè)量楊氏模量實(shí)驗(yàn)裝置圖

將RLC串聯(lián)交流諧振電路的電感替換成自制的密繞長(zhǎng)螺線管，將待測(cè)金屬絲穿過(guò)磁棒，并用夾子將磁棒固定在金屬絲適當(dāng)位置，并保持磁棒在螺線管中下部位置，且將螺線管豎直放置。當(dāng)金屬受外力時(shí)，金屬絲會(huì)產(chǎn)生細(xì)微伸長(zhǎng)，進(jìn)而帶動(dòng)磁棒在長(zhǎng)螺線管內(nèi)伸長(zhǎng)，文獻(xiàn)[34]報(bào)道了電感變化量與螺線長(zhǎng)度變化量的關(guān)系：

ΔL0=μ0n02(μr-1)SΔL

(20)

其中，ΔL0為電感變化量；ΔL為螺線長(zhǎng)度變化；Δf0為諧振頻率變化量；μ0為真空磁導(dǎo)率；μr為相對(duì)磁導(dǎo)率；n0為螺線管線圈匝數(shù)；S為磁棒的截面積。利用該原理測(cè)量楊氏模量的公式可寫為

(21)

其優(yōu)點(diǎn)是原理簡(jiǎn)單、精度高；有較強(qiáng)的抗干擾能力，穩(wěn)定性好。

第四種測(cè)量ΔL的方法為非平行板電容器法，其實(shí)驗(yàn)裝置如圖13所示[32]。

圖13 非平行板電容器法測(cè)量楊氏模量實(shí)驗(yàn)裝置圖

其原理是使用3個(gè)電容器板構(gòu)成兩個(gè)電容器，其中上下兩板平行且固定，中間板可繞中心轉(zhuǎn)動(dòng)些許角度，初始位置與上下板平行，將鋼絲下端與中間板端點(diǎn)連接，鋼絲發(fā)生微小伸長(zhǎng)時(shí)，電容板會(huì)有小角度轉(zhuǎn)動(dòng)，測(cè)量電容改變量即可計(jì)算出鋼絲的伸長(zhǎng)量：

ΔL=Dθ

(22)

其中，D為電容器轉(zhuǎn)軸到鋼絲的距離；θ為平行板轉(zhuǎn)動(dòng)角度。最終利用該原理測(cè)量楊氏模量的公式可寫為

(23)

文獻(xiàn)[32]中對(duì)鋼絲的測(cè)量結(jié)果為E=1.98×1011Pa，相對(duì)不確定度uE/E=21.72%。盡管測(cè)量得到的相對(duì)不確定度較高，但其優(yōu)點(diǎn)是測(cè)量方法新穎，結(jié)合了非平行板電容器，知識(shí)涉及廣泛，較有綜合性。

以上為目前利用電學(xué)測(cè)量原理進(jìn)行楊氏模量測(cè)量的方法概況，上述4種方法中，只有非平行板電容器法[32]給出了相對(duì)不確定度：uE/E=21.72%，其相對(duì)不確定度偏高，值得繼續(xù)研究改進(jìn)。其余3種方法都利用了常用的電橋、電感原理，適合作為教學(xué)實(shí)驗(yàn)開(kāi)展。在實(shí)驗(yàn)操作方面，電學(xué)測(cè)量法比光學(xué)測(cè)量法更加簡(jiǎn)便，尤其是在數(shù)據(jù)處理方面，不需要處理過(guò)多數(shù)據(jù)，且電學(xué)測(cè)量穩(wěn)定性更好。

2.2 動(dòng)態(tài)共振法

除了靜態(tài)拉伸法測(cè)量楊氏模量值外，動(dòng)態(tài)共振法也是一種普遍使用的楊氏模量測(cè)量法，多適用于棒狀材料等難以拉伸的脆性材料，文獻(xiàn)[35]根據(jù)固體材料的動(dòng)力學(xué)方程推導(dǎo)出動(dòng)力學(xué)下楊氏模量的測(cè)量公式：

(24)

其中，L為材料絲的長(zhǎng)度；d為材料絲的直徑；m為質(zhì)量；f為固體材料的固有頻率。

根據(jù)式(24)可知，材料的固有頻率和楊氏模量有關(guān)。由于固有頻率與共振頻率數(shù)值相等，因而利用動(dòng)態(tài)共振法測(cè)量楊氏模量的關(guān)鍵為用各種不同方法測(cè)量材料的共振頻率，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)材料楊氏模量的測(cè)量。

一般動(dòng)態(tài)共振法的實(shí)驗(yàn)裝置如圖14所示[35]。

圖14 動(dòng)態(tài)共振法測(cè)量楊氏模量實(shí)驗(yàn)裝置圖

其實(shí)驗(yàn)原理為：給試樣加機(jī)械振動(dòng)，當(dāng)信號(hào)發(fā)生器的頻率不等于試樣的共振頻率時(shí)，試樣不發(fā)生共振，示波器上幾乎沒(méi)有信號(hào)波形或波形很小。當(dāng)信號(hào)發(fā)生器的頻率等于試樣的共振頻率時(shí)，試樣發(fā)生共振，示波器上的波形突然增大，這時(shí)讀出的頻率就是試樣在該溫度下的共振頻率[35]。改變支撐點(diǎn)位置，記錄不同位置的共振頻率，用外延法或內(nèi)插法找出節(jié)點(diǎn)處共振頻率，利用式(24)便可計(jì)算出試樣的楊氏模量。

例如，文獻(xiàn)[36]利用智能手機(jī)上的Spectrum Analyzer軟件來(lái)進(jìn)行共振頻率的讀數(shù)，測(cè)得銅棒的楊氏模量E=10.45×1010Pa，相對(duì)不確定度uE/E=3.83%，該方法增加了實(shí)驗(yàn)的可操作性和趣味性，簡(jiǎn)化實(shí)驗(yàn)儀器，減小實(shí)驗(yàn)操作的難度。

除了如上所述一般的測(cè)量方法，還有幾種較為創(chuàng)新的動(dòng)態(tài)測(cè)量法。

首先是激光雙光柵法測(cè)固體材料的共振頻率，其實(shí)驗(yàn)裝置如圖15所示[37]，主要原理是使激光器與銅棒產(chǎn)生共振，激光通過(guò)一固定光柵和與銅棒相連的動(dòng)光柵，發(fā)生衍射，用示波器接收并處理衍射光，示波器的光拍數(shù)則對(duì)應(yīng)輸出頻率，一個(gè)周期內(nèi)拍頻數(shù)目最多時(shí)的頻率，即為共振頻率，再通過(guò)式(24)計(jì)算出黃銅棒的楊氏模量E=1.109×1011Pa，相對(duì)不確定度uE/E=5.6%。

圖15 激光雙光柵法測(cè)量楊氏模量實(shí)驗(yàn)裝置圖

其次是負(fù)載動(dòng)態(tài)法，其直接提出了細(xì)桿橫振動(dòng)普適的定解問(wèn)題，通過(guò)建立理想振動(dòng)模型，導(dǎo)出了楊氏模量的計(jì)算公式[38]：

E=38.32l2ρf2/h2

(25)

其中，l是細(xì)桿的長(zhǎng)度；ρ是桿的體密度；f是固有頻率；h是桿的厚度。

該方法通過(guò)在桿上不同位置加載砝碼或同一位置加載不同質(zhì)量的砝碼來(lái)改變桿的共振頻率，通過(guò)光電門輸出信號(hào)到示波器來(lái)測(cè)量共振頻率，從而根據(jù)式(25)求出桿的楊氏模量。例如，文獻(xiàn)[38]中測(cè)得鐵桿的楊氏模量E=1.75×1011Pa，相對(duì)不確定度uE/E=1.14%。

利用負(fù)載動(dòng)態(tài)法測(cè)量楊氏模量的優(yōu)點(diǎn)是測(cè)量精度較高，相比傳統(tǒng)動(dòng)態(tài)法測(cè)量楊氏模量，該方法不需要改變樣品長(zhǎng)度，只需要改變負(fù)載的位置和質(zhì)量，在測(cè)量大型桿或不易改變桿的長(zhǎng)度時(shí)具有較大的優(yōu)勢(shì)。但其也有缺點(diǎn)，例如該方法的推導(dǎo)過(guò)程比較復(fù)雜且專業(yè)性過(guò)高，不太適合大多數(shù)大學(xué)生在物理實(shí)驗(yàn)中理解使用。

以上為目前利用動(dòng)態(tài)法測(cè)量楊氏模量的方法概況，表2為數(shù)據(jù)匯總，從數(shù)據(jù)精確度方面，負(fù)載動(dòng)態(tài)法[38]精確度最高，相對(duì)不確定度為1.14%；實(shí)驗(yàn)方法上，手機(jī)軟件記錄數(shù)據(jù)[36]十分新穎，數(shù)據(jù)精確度也較高。相比于靜態(tài)拉伸法，動(dòng)態(tài)共振法可以避免載荷大、存在弛豫過(guò)程等情況，且測(cè)量穩(wěn)定性更高，實(shí)驗(yàn)儀器更簡(jiǎn)化。

2.3 梁彎曲法

對(duì)于片狀或塊狀材料，可采用梁彎曲法來(lái)進(jìn)行楊氏模量的測(cè)量。目前，已報(bào)道的彎曲法測(cè)量楊氏模量的方法主要有光纖布拉格光柵測(cè)量法[39]、激光光杠桿測(cè)量法[40]、霍爾位置傳感器法[41]、單縫衍射法[42,43]等。

光纖布拉格光柵測(cè)量法主要使用到了FBG(纖芯折射率沿光纖軸向呈周期變化的光柵)，實(shí)驗(yàn)原理如圖16所示[39]。將FBG傳感器粘到待測(cè)金屬片下面，使用三點(diǎn)彎曲法使待測(cè)材料產(chǎn)生微小形變，從而通過(guò)測(cè)量該形變進(jìn)行楊氏模量的測(cè)量：

(26)

其中，a、b為壓力施加點(diǎn)與金屬片兩端的距離，a、b可取任意值；λB為布拉格中心反射波長(zhǎng)；s為應(yīng)變片粘貼位置到左端點(diǎn)的距離；k為光柵的應(yīng)力靈敏系數(shù)。

圖16 光纖光柵傳感器測(cè)量楊氏模量實(shí)驗(yàn)裝置圖

文獻(xiàn)[39]使用該方法測(cè)得銅梁的楊氏模量E=1.10676×1011Pa，相對(duì)誤差約為Er=0.6%。采用這種方法測(cè)量楊氏模量的優(yōu)點(diǎn)是測(cè)量精度高，且具有普適性，可測(cè)量任意剛性固體材料的楊氏模量。

激光光杠桿測(cè)量法是用光杠桿的放大原理將材料的微小形變放大進(jìn)行測(cè)量，實(shí)驗(yàn)裝置可如圖17所示[40]，通過(guò)添加砝碼使測(cè)試材料發(fā)生彎曲，從而帶動(dòng)平面鏡支點(diǎn)下移，使原本與水平光束垂直的平面鏡發(fā)生傾斜，則鏡面反射到墻上的激光光斑將隨之上移，通過(guò)光斑的位置變化計(jì)算實(shí)際的微小位移量，從而推導(dǎo)出楊氏模量的測(cè)量公式為

(27)

其中，a為梁的厚度；b為梁的寬度；d為刀口間距離；k是利用y=A+kM擬合而成的，M為砝碼質(zhì)量。

圖17 激光光杠桿法測(cè)量楊氏模量實(shí)驗(yàn)裝置圖

文獻(xiàn)[40]使用該方法測(cè)得鑄鐵的楊氏模量E=1.874×1011Pa。該實(shí)驗(yàn)運(yùn)用了激光器，比傳統(tǒng)測(cè)量方法簡(jiǎn)便，操作直觀、準(zhǔn)確、實(shí)驗(yàn)率高。

圖18(a) 梁彎曲法示意圖; (b) 霍爾位置傳感器測(cè)量楊氏模量實(shí)驗(yàn)裝置圖

霍爾位置傳感器測(cè)量法運(yùn)用了霍爾位置器測(cè)量微小位移的原理，實(shí)驗(yàn)裝置如圖18(b)所示[41]，將厚為a、寬為b的金屬板放在相距為d的二刀口上(如圖18(a)所示)，在金屬板上二刀口的中點(diǎn)處掛上質(zhì)量為m的砝碼，板被壓彎，假設(shè)砝碼處下降ΔZ，即金屬板的微小形變量，使用霍爾位置傳感器來(lái)測(cè)量：

(28)

若dB/dZ為常數(shù)，ΔUH與ΔZ成正比。即當(dāng)位移量較小(<2mm)時(shí)，霍爾電勢(shì)差與位移量之間存在一一對(duì)應(yīng)的線性關(guān)系。

結(jié)合梁彎曲的力學(xué)推導(dǎo)公式，待測(cè)材料彎曲后的楊氏模量公式可寫為

(29)

文獻(xiàn)[41]使用該方法的測(cè)得鑄鐵的楊氏模量E=1.846×1011Pa，相對(duì)誤差為Er=1.7%。利用該方法測(cè)量楊氏模量的優(yōu)點(diǎn)是，精確度較高，并且將楊氏模量的測(cè)量與霍爾位置傳感器結(jié)合起來(lái)，可提高學(xué)生的知識(shí)綜合能力。

圖19 單縫衍射法測(cè)量楊氏模量實(shí)驗(yàn)裝置圖

將單縫衍射法和梁彎曲法相結(jié)合也是測(cè)量材料楊氏模量的方法之一，其實(shí)驗(yàn)裝置如圖19所示[42]，測(cè)量原理是利用自制單縫裝置將梁彎曲產(chǎn)生的微小形變轉(zhuǎn)化為狹縫的縫寬變化，通過(guò)測(cè)量衍射條紋的變化得到負(fù)載不同時(shí)的玻璃板的微小形變，進(jìn)而得出樣品的楊氏模量：

(30)

其中，a、b分別為待測(cè)材料的厚度和寬度；ΔZ為玻璃板中心的撓度；d為玻璃板兩支撐點(diǎn)之間的距離。

文獻(xiàn)[42]通過(guò)該方法測(cè)得玻璃板的楊氏模量為E=6.69×1010Pa，其相對(duì)誤差為Er=6.69%。另外，文獻(xiàn)[43]也利用該種方法測(cè)量了金屬棒的楊氏模量E=1.008×1011Pa，相對(duì)誤差Er=4.45%，實(shí)驗(yàn)較為準(zhǔn)確地測(cè)量了材料的楊氏模量，拓展豐富了測(cè)量楊氏模量的方法，培養(yǎng)學(xué)生利用所學(xué)知識(shí)自主創(chuàng)新的思維。

以上為目前利用梁彎曲法測(cè)量楊氏模量的方法概況，由于這幾篇文獻(xiàn)中都未提及相對(duì)不確定度，則用相對(duì)誤差來(lái)進(jìn)行數(shù)據(jù)精確度分析(如表3所示)，可看出光纖布拉格光柵法的相對(duì)誤差最低，僅有0.6%；在實(shí)驗(yàn)操作方面，激光光杠桿的操作最為簡(jiǎn)便。

表3 梁彎曲法測(cè)量楊氏模量的相對(duì)誤差及優(yōu)缺點(diǎn)對(duì)比

2.4 超聲波測(cè)量法

由于超聲波在軟組織中的傳播速度與軟組織的楊氏模量之間存在一定的關(guān)系，因此利用超聲波測(cè)量楊氏模量也是一種很好的方法。超聲壓縮波在試塊中的傳播速度與試塊楊氏模量之間的關(guān)系為[44]

(31)

其中，ν是被測(cè)材料的泊松比;ρ是被測(cè)材料的密度;cL是縱波波速。

例如，文獻(xiàn)[44]通過(guò)超聲波法測(cè)得到豬肌肉組織和豬肝臟組織的楊氏模量分別為1.84×107Pa和2.08×107Pa，實(shí)驗(yàn)結(jié)果與預(yù)期值接近。

對(duì)于金屬材料，超聲波法也可有效測(cè)量其楊氏模量，其測(cè)量原理如圖20所示[45]。

圖20 回振法測(cè)超聲波示意圖

這種測(cè)量方法中，利用高頻脈沖發(fā)生器通過(guò)發(fā)射換能器產(chǎn)生超聲脈沖，試樣傳播一段時(shí)間后，被接收換能器接收，經(jīng)放大、整形和鑒別后重新觸發(fā)高頻脈沖發(fā)生器，產(chǎn)生下一個(gè)超聲脈沖，使整個(gè)系統(tǒng)變成一個(gè)振蕩器。通過(guò)測(cè)量多次循環(huán)的傳播時(shí)間，用頻率計(jì)測(cè)得脈沖的重復(fù)頻率，從而計(jì)算出超聲波的傳播速度，進(jìn)一步根據(jù)公式

(32)

來(lái)測(cè)得楊氏模量的值。其中，ρ為各同向性材料的密度；VT和VL分別為橫波波速和縱波波速。例如，文獻(xiàn)[45]就利用回振法測(cè)量超聲波在試樣中的傳播時(shí)間，然后計(jì)算出傳播速度從而得出楊氏模量的值。其測(cè)量得到密度7.837×103kg/m3的鋼的楊氏模量為E=2.0996×1011Pa(縱波法)和E=2.00039×1011Pa(橫波法)，測(cè)量值十分接近理論值。

由于超聲波具有穿透性強(qiáng)、無(wú)創(chuàng)性等特點(diǎn)，使用超聲波測(cè)量楊氏模量可以簡(jiǎn)化實(shí)驗(yàn)過(guò)程，節(jié)省時(shí)間，其多應(yīng)用于醫(yī)學(xué)等專業(yè)領(lǐng)域相關(guān)楊氏模量的測(cè)量。

3 總結(jié)

本文對(duì)目前國(guó)內(nèi)報(bào)道的楊氏模量測(cè)量實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了詳細(xì)的綜述。通過(guò)調(diào)研和總結(jié)發(fā)現(xiàn)，國(guó)內(nèi)報(bào)道的楊氏模量測(cè)量原理可分為4大類，分別為靜態(tài)拉伸法、動(dòng)態(tài)共振法、梁彎曲法，以及超聲波測(cè)量法等。其中，靜態(tài)拉伸法大類里，又可分光學(xué)測(cè)量法和電學(xué)測(cè)量法兩小類。針對(duì)光學(xué)測(cè)量法，其可包含9種不同的測(cè)量楊氏模量的原理，分別為光杠桿法、莫爾條紋測(cè)量法、等厚干涉法、邁克耳孫干涉法、雙縫干涉法、數(shù)字激光散斑法、數(shù)字全息比較法、光纖傳感器法、光柵衍射法等。針對(duì)電學(xué)測(cè)量法，其可包含直流雙臂電橋法、惠斯通電橋法、RLC串聯(lián)交流諧振法、非平行板電容法等4種測(cè)量原理。動(dòng)態(tài)共振法大類里，包含了傳統(tǒng)測(cè)量法、激光雙光柵法、負(fù)載動(dòng)態(tài)法等3種測(cè)量原理。梁彎曲法大類中，包含了光纖布拉格光柵測(cè)量法、激光光杠桿測(cè)量法、霍爾位置傳感器法、單縫衍射法等4種測(cè)量原理。同時(shí)，超聲波速法也是一種通過(guò)測(cè)量超聲波在介質(zhì)中的速度進(jìn)而測(cè)量出楊氏模量值的一類方法。通過(guò)系統(tǒng)總結(jié)并詳細(xì)闡述上述提到的各種不同測(cè)量楊氏模量的原理及測(cè)量精度，本文還對(duì)部分實(shí)驗(yàn)方法的優(yōu)缺點(diǎn)進(jìn)行了總結(jié)。希望本文的綜述結(jié)果，一方面為國(guó)內(nèi)高校中學(xué)習(xí)本實(shí)驗(yàn)的學(xué)生提供一個(gè)全面的參考資料，另一方面也為國(guó)內(nèi)高校從事大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)的教師和對(duì)講課比賽感興趣的青年教師提供借鑒作用。