研究經(jīng)典，推陳出新

鄧小卿

【內(nèi)容摘要】全國(guó)各地的中考幾何中，大部分命題都有經(jīng)典的來(lái)源，由此可見(jiàn)，幾何命題一直是在經(jīng)典的基礎(chǔ)上進(jìn)行一定的推陳出新，所以，筆者以一些較為經(jīng)典的幾何命題與近年中考中出現(xiàn)的典型性問(wèn)題為例，解析其命題思路，并總結(jié)出幾種幾何命題的改造方法。

【關(guān)鍵詞】基本圖形 傳承經(jīng)典，推陳出新 思路

我國(guó)中學(xué)現(xiàn)行的幾何教材基本沿用了歐幾里得《幾何原體》的邏輯體系，因?yàn)樗鼘?duì)于學(xué)生思維邏輯能力的發(fā)展，以及在學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)方面的培養(yǎng)具有一定的優(yōu)勢(shì)。歐氏幾何在學(xué)校門類眾多的體系中屬于較為古老的分支之一，擁有豐富的理論結(jié)論及理論經(jīng)驗(yàn)，較為系統(tǒng)化的為后人的學(xué)習(xí)提供了思路，中考的命題中，多源于此類經(jīng)典，因此，如何更好的在經(jīng)典基礎(chǔ)上進(jìn)行推陳出新，已經(jīng)成為了教學(xué)人亟待解決的問(wèn)題之一。命題的思路很多，可以對(duì)經(jīng)典題型進(jìn)行分析，交換原題中的條件和結(jié)論即通常的“互換因果”或增改條件或變化點(diǎn)線或引申結(jié)論等等，但筆者以為萬(wàn)變不離其宗，無(wú)論對(duì)題型怎樣改編，其本質(zhì)其核心都離不開(kāi)基本圖形。

一、基本圖形的概念

基本圖形指的是能夠反映出一個(gè)或幾個(gè)定理的幾何圖形，或指我們使用頻率較高的可以反映出圖形基本規(guī)律的幾何圖形。一般的，我們把它們分為兩類，其中，第一類指的是幾何圖形中的線段、角、相交線、平行線、垂線、三角形、四邊形 、圓等;第二類是指在教材相應(yīng)的例題、習(xí)題中發(fā)現(xiàn)的具有典型代表性的圖形。其中第一類可以說(shuō)是第二類基本圖形的基礎(chǔ)，同時(shí)第二類基本圖形通常又是由幾個(gè)第一類基本圖形組合形成的。

二、命制幾何題的依據(jù)

從經(jīng)典的基本圖形出發(fā)而命制作的新題型能培養(yǎng)學(xué)生的直覺(jué)思維，其理論依據(jù)（1）最近發(fā)展區(qū)理論以及建構(gòu)主義是命制新題型主要的基礎(chǔ)理論。通過(guò)建構(gòu)基本知識(shí)的基本圖形和典型的基本圖形，便于學(xué)生在自己熟悉的知識(shí)的基礎(chǔ)上逐步地建構(gòu)知識(shí)，通過(guò)分析法和綜合法形成解決幾何問(wèn)題的能力，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的直覺(jué)思維能力。（2）圖式理論：巴特利特（德國(guó)心理學(xué)家）認(rèn)為，圖式不僅僅是個(gè)體已經(jīng)擁有的知識(shí)構(gòu)成，同時(shí)也是人的心理及思維過(guò)程中經(jīng)過(guò)學(xué)習(xí)實(shí)踐形成的屬于自身的知識(shí)體系，是個(gè)人對(duì)個(gè)體事物認(rèn)知的重要基礎(chǔ)之一。

三、例談如何從基本圖形出發(fā)命制綜合性幾何題

下面的是很經(jīng)典的相似三角形的基本圖形（圖1）：由∠ABD=∠C

可得 △ABD∽△ACB，從而可得AB2=AD·AC

（一）綜合圖形中有直接的基本圖形

例1：如圖2，BD為⊙O的直徑，AB=AC，AD交BC于點(diǎn)E，ED=4，AE=2，（1）求AB的長(zhǎng);（2）延長(zhǎng)DB到F，使得BF=BO，連接FA，試判斷直線FA與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由。

分析： （1）通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)，本圖形中有一相似的基本圖形（圖3）

根據(jù)題目中所給出的條件AB=AC，

可得∠ABC=∠ACB，由同弧所對(duì)的圓周角相等，得到∠ACB=∠D

∴∠ABC=∠D，又∠BAE=∠DAB，

∴△ABE∽△ADB，

∴AB2=AE·AD=12，

AB=23

（2）略

（二）綜合圖形中有隱含的基本圖形

有些幾何圖題所對(duì)應(yīng)的幾何圖形中，圖形不夠完善，要添加輔助線就能夠發(fā)現(xiàn)對(duì)應(yīng)的基本圖形。

例題2：如圖4，△ABC中，∠BCA=90°，D為AB上一點(diǎn)，以CD為直徑的圓O交BC于點(diǎn)E，連接AE交CD于點(diǎn)P，交圓O于點(diǎn)F，連接DF，∠CAE=∠ADF.

（1）判斷AB與圓O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由;

（2）若PC=2PF，AF=5，求CP的長(zhǎng)。

分析：這是泰州市2016的一道中考題，題目的原形來(lái)自于蘇科版九年數(shù)學(xué)（下），第（2）小題，經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì)不難發(fā)現(xiàn)，這道題由于學(xué)生的思維發(fā)散過(guò)度導(dǎo)致最終的解題效率較低，解題思路偏離正確的方式，最終的得分率較低，其實(shí)根據(jù)條件和結(jié)論進(jìn)行綜合分析，發(fā)現(xiàn)連接FC，構(gòu)造基本圖形（圖5）才是解題的關(guān)鍵！

∠CAE=∠ADF，由題（1）可證得∠ADF=∠PCF，

∴∠CAE=∠PCF，又∵∠P=∠P

∴△PCF∽△PAC，

∴PC2=PF·PA，設(shè)PF=x，則PC=2x，

∴（2x）2=x·（x+5），

解得x=53，

∴CP的長(zhǎng)為103

命題的思路很多，但無(wú)論多復(fù)雜的幾何圖形都是由基本圖形組成的，所以我們命題時(shí)，首先要注重的是基本圖形與幾何知識(shí)之間的雙向關(guān)聯(lián)作用，所以建立起圖形與幾何理論之間的相互關(guān)聯(lián)是學(xué)生解決問(wèn)題的基礎(chǔ)條件，如果學(xué)生缺少這部分的關(guān)聯(lián)能力，其幾何思維能力就缺少了基本的載體，基于此，教師要在課程中加入這部分的教學(xué)，幫助學(xué)生進(jìn)行圖形與理論知識(shí)的關(guān)聯(lián)，幫助學(xué)生形成良好的幾何思維。

我們?cè)谄綍r(shí)教學(xué)時(shí)要積極引導(dǎo)學(xué)生去進(jìn)行理論概念與圖形之間的聯(lián)想，幫助學(xué)生形成即能由圖形轉(zhuǎn)換為概念，也能由概念聯(lián)想到圖形的思維，確保直觀與抽象之間的有機(jī)轉(zhuǎn)換，最終達(dá)到學(xué)生幾何思維能力的有效提升。針對(duì)較為簡(jiǎn)單的為題，學(xué)生可以嘗試根據(jù)題目給出的條件直接繪制圖形，但是當(dāng)問(wèn)題較為困難的時(shí)候，要引導(dǎo)學(xué)生首先根據(jù)題目結(jié)合已給出的條件對(duì)圖形進(jìn)行分析，對(duì)條件進(jìn)行概括和提煉，要從圖形中發(fā)現(xiàn)基本圖形;若有困難，可以先試著去找找是否存在某個(gè)基本圖形的部分，再由已知條件或結(jié)論入手，去思考如何利用添加輔助線，來(lái)構(gòu)造出一些基本的圖形，如果圖形復(fù)雜或者無(wú)法針對(duì)圖形的具體部分進(jìn)行思考，也可以引導(dǎo)學(xué)生將圖形中對(duì)問(wèn)題解決有益處的條件進(jìn)行提取和剝離，再重新畫出新的圖形，從而更方便進(jìn)行分析。再者，我們也要特別重視將基本圖形分析與數(shù)學(xué)思想方法的相融合，在基本數(shù)學(xué)思想方法指導(dǎo)下去進(jìn)行問(wèn)題的分析。如無(wú)處不在的數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化思想，分類討論思想，數(shù)學(xué)建模思想等等。重中之重，是借助基本圖形，幫助學(xué)生在最近發(fā)展區(qū)產(chǎn)生解題思路。解決一個(gè)問(wèn)題遇到困難，可考慮將它向其它問(wèn)題轉(zhuǎn)化，但轉(zhuǎn)化前、后都應(yīng)考慮基本圖形，因?yàn)橐坏谰C合性的幾何題常常都是由經(jīng)典的基本圖形轉(zhuǎn)化而來(lái)的，傳承經(jīng)典，推陳出新是命題的常用方法。

（作者單位：江蘇省泰州市第二中學(xué)附屬初中）