包含Smarandache LCM函數(shù)的兩個(gè)方程的正整數(shù)解

高 倩，高 麗，梁曉艷

(延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西 延安 716000)

本文基于上述文獻(xiàn)并在此啟發(fā)下，討論了數(shù)論函數(shù)方程z(n2)=φe(sl(n2)),(e=1,2)的可解性，并給出其所有的正整數(shù)解，結(jié)論豐富了有關(guān)函數(shù)的研究內(nèi)容。

1 基本定義及相關(guān)引理

定義2[10]對任意正整數(shù)n，有

sl(n)=max{piαi}(1≤i≤k)，

引理1[11]Euler函數(shù)為積性函數(shù)，即對于任意互素的正整數(shù)m，n，有φ(mn)=φ(m)φ(n)。

引理3[11]對于素?cái)?shù)p與k≥1，則有

φ(pk)=pk-pk-1。

引理4[11]對任意素?cái)?shù)p≥3,z(p)=p-1。

引理5[11]對任意素?cái)?shù)p≥3及k∈N，z(pk)=pk-1。當(dāng)p=2時(shí)，則有z(2k)=2k+1-1。

引理6[11]z(n)是不可加的，即

z(m+n)≠z(m)+z(n)；

z(n)也不是可乘的，即z(mn)≠z(m)z(n)。

2 主要結(jié)論及證明

定理1 方程z(n2)=φ(sl(n2))僅有正整數(shù)解n=1。

證明利用初等的方法給出定理的證明。

對于正整數(shù)n進(jìn)行分類討論。

(I)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，我們分以下幾種情況進(jìn)行討論：

(i)n=1,z(12)=1=φ(sl((12))，所以n=1是方程的解。

(ii)n=p，其中p為素?cái)?shù)，且p≥3，由于z(p2)=p2-1，而φ(sl(p2))=p2-p。

要使z(p2)=φ(sl(p2))，即p2-1=p2-p，顯然p2-1=(p+1)(p-1)≠p(p-1)。

所以n=p不是方程的解。

(iii)n=pk，其中p為素?cái)?shù)，且k>1,

z(p2k)=p2k-1，φ(sl(p2k))=p2k-p2k-1。

顯然p2k-1≠p2k-1(p-1)。

所以n=pk不是方程的解。

φ(sl(n2))=φ(ps2ks)=ps2ks)-ps2ks-1。

若z(n2)=φ(sl(n2))，則由z(n)的定義可得

(1)

所以n=p1k1p2k2…psks不是方程的解。

(II)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)

(i)n=2k其中k>0，顯然z(2k)=2k-1為奇數(shù)，而φ(sl(n2))=φ(sl(22k))=22k-1為偶數(shù)，所以n=2k不是方程的解。

(ii)n=2kpl其中k>0，p為奇素?cái)?shù)，l≥1。

(a)當(dāng)sl(22kp2l)=22k時(shí)，

φ(sl(22kp2l))=φ(22k)=22k-1。

若z(n2)=φ(sl(n2))，則由z(n)的定義可得

(b)當(dāng)sl(22kp2l)=p2l時(shí)，

φ(sl(22kp2l))=φ(p2l)=p2l-1(p-1)，

若z(n2)=φ(sl(n2))，則由z(n)的定義可得

而(22k,p)=1，

所以結(jié)合(a)(b)，此種情況不是方程的解。

(iii)當(dāng)n=2kp1k1p2k2…psks其中p1,p2，…ps，均為大于2的奇素?cái)?shù)，且p1k1

(a)當(dāng)sl(22kp12k1p22k2…ps2ks)=22k時(shí)，

φ(sl(22kp12k1p22k2…ps2ks))=φ(sl(22k))=

φ(22k)=22k-22k-1=22k-1。

若z(n2)=φ(sl(n2))，則由z(n)的定義可得

(b)當(dāng)sl(n2)=max{pi2ki}，(1≤i≤s)時(shí)記sl(n2)為ps2ks。

此時(shí)φ(sl(n2))=φ(ps2ks)=ps2ks-1(ps-1)。

若z(n2)=φ(sl(n2))，則由z(n)的定義可得

結(jié)合(a)(b)得n=2kp1k1p2k2…psks不是方程的解。

綜上所述，方程z(n2)=φ(sl(n2))只有n=1這一個(gè)正整數(shù)解。

定理2 方程z(n2)=φ2(sl(n2))無正整數(shù)解。

證明(Ⅰ)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，

(i)n=1，z(12)=1,φ2(sl(12))=0，0≠1，所以n=1不是方程的解。

(ii)n=p，其中p為素?cái)?shù)，且p≥3，由于

z(p2)=p2-1,

所以n=p不是方程的解。

(iii)n=pk，其中p為素?cái)?shù)且k>1,

z(p2k)=p2k-1，

所以n=pk不是方程的解。

(iiii)n=p1k1p2k2…psks，其中p1，p2，…ps，均為大于2的奇素?cái)?shù)，且p1k1

若z(n2)=φ2(sl(n2))，則由z(n)的定義可得

不成立。

即n=p1k1p2k2…psks不是方程的解。

(Ⅱ)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，

所以n=2k不是方程的解。

(ii)n=2kpl，其中k>0，p為奇素?cái)?shù)，l≥1。

(a)當(dāng)sl(22kp2l)=22k時(shí)，

若z(n2)=φ2(sl(n2))，則由z(n)的定義可得

亦即23p2l|22k-2+1，顯然不成立。

所以n=2kpl不是方程的解。

(b)當(dāng)sl(22kp2l)=p2l時(shí)，

若z(n2)=φ2(sl(n2))，則由z(n)的定義可得

結(jié)合(a)(b)兩種情況，n=2kpl不是方程的解。

(iii)當(dāng)n=2kp1k1p2k2…psks，其中p1,p2，…ps，均為大于2的奇素?cái)?shù)，且p1k1

(a)當(dāng)sl(22kp12k1p22k2…ps2ks)=22k時(shí)，

φ2(sl(22kp12k1p22k2…ps2ks))=

若z(n2)=φ2(sl(n2))，則由z(n)的定義可得

即22kp12k1p22k2…ps2ks|22k-3(22k-2+1)，

即23p12k1p22k2…ps2ks|22k-2+1，顯然不成立。

所以此種情況不是方程的解。

(b)當(dāng)sl(n2)=max{pi2ki}，(1≤i≤s)時(shí)記sl(n2)為ps2ks。此時(shí)

若z(n2)=φ2(sl(n2))，則由z(n)的定義可得

所以此種情況不是方程的解。

結(jié)合(a)(b)兩種情況，n=2kp1k1p2k2…psks不是方程的解。

綜上所述，該方程無正整數(shù)解。