基于快速終端滑模方法的二階多智能體系統(tǒng)一致性跟蹤

汪 麗，徐小林，韓 濤，吳 杰

(湖北師范大學 機電與控制工程學院，湖北 黃石 435002)

0 引言

隨著智能體應用領域的不斷發(fā)展，智能體面臨的工作環(huán)境和任務越來越復雜多變，有些較為艱巨的工作任務對單個智能體來說很難甚至無法完成。而多智能體系統(tǒng)由于有更高的效率性，更低的智能體故障敏感性，更大的靈活性等特征，在執(zhí)行任務時表現(xiàn)出更大的優(yōu)勢，因而，多智能體系統(tǒng)的研究得到各個領域研究者的密切關注，比如編隊[1]、協(xié)同[2]、一致[3]等。其中，作為多智能系統(tǒng)問題的基礎，一致性一直是一個熱門問題。

多智能體的一致性是指隨著時間的變化，所有個體的狀態(tài)會收斂到一個相同的值。一致性問題的基本思想是構建一個分布式控制器，以確保智能體依賴于相鄰智能體信息就能夠達到一致。一致性問題已經(jīng)從一階多智能體[4～5]發(fā)展到二階多智能體[6]，與一階多智能體相比，二階多智能體的一致性問題更加困難和復雜。因為二階系統(tǒng)的一致性不僅包括一階多智能體的位置一致性，還有速度一致性。在文獻[7]中，針對含有干擾和未知速度的二階系統(tǒng)，首先通過高增益觀測器測定未知速度，然后介紹了基于反饋方法的控制器，使得系統(tǒng)在李雅普諾夫定理作用下實現(xiàn)了二階有限時間一致。在文獻[8]中，基于無領導者的網(wǎng)絡通信拓撲，討論了具有外部有界干擾的二階多智能體的有限時間一致跟蹤。根據(jù)相鄰智能體的狀態(tài)及速度信息，構造了一種新穎的一致控制器以實現(xiàn)有限時間一致性。在文獻[9]中，介紹了基于EID估計器和Smith預測的控制器設計的輸入時滯多智能體系統(tǒng)的魯棒一致性問題，利用李雅普諾夫方法實現(xiàn)了系統(tǒng)的漸進一致。在文獻[10]中，針對二階多智能體，提出了與傳統(tǒng)的領導跟蹤方法不同的解決方案。傳統(tǒng)的方法都是假定每個代理都滿足利普希茨連續(xù)條件的固有動力學，而文獻[10]研究了一種更為通用的情況：不連續(xù)的固有動力學。通過非平滑方法，首先提出了一種非線性協(xié)議，然后根據(jù)穩(wěn)定性理論實現(xiàn)了一致性。在以上研究中，很少有人設計基于滑模方法的控制器來解決二階一致性，而事實上，滑?？刂茖ο到y(tǒng)更好地控制精度、更小的狀態(tài)誤差。

基于以上討論，本文研究了有向拓撲圖下基于快速終端滑模方法的有限時間一致性。本文的主要貢獻在：1)與文獻[8]中無領導者一致性相比，本文中的領導跟隨一致性可以減少系統(tǒng)的能量消耗，含有更好的容錯功能。2)與文獻[9]中的漸進一致相比較，本文采用的有限時間控制器使得系統(tǒng)收斂時間更快，而不是收斂時間趨于無窮。3)與文獻[10]中在無向圖下的多智能體系統(tǒng)有限時間一致性跟蹤相比，本文不僅采用了快速終端滑模方法，使得系統(tǒng)狀控制精度更好，收斂速度更快，同時將有限時間一致性拓展到了有向拓撲圖，使拓撲形式更有一般性與實際性。

1 預備知識

多智能體的通信拓撲由加權圖G(v,ε,A)表示，其中v=1,2,…,N和ε?v×v分別表示有限的非空頂點集和邊集。鄰接矩陣A定義為：

其中(i,j)∈ε表示第i個智能體可以接收第j個智能體的信息。另外，圖G的拉普拉斯矩陣L定義為

本文中，我們考慮一組多智能體，其中包含一個領導者(標記為0)和N個跟隨者(分別標記為1,2,…,N).另外，G表示跟隨者之間的信息交流，H表示包括跟隨者與領導者在內(nèi)的所有智能體之間的信息交流。領導者與跟隨者之間的信息交流定義為

其中(i,0)∈ε表示第i個智能體可以接收領導者的信息。

2 問題描述

考慮含有N+1個智能體的系統(tǒng)，其中含有N個跟隨者，分別標記為i=1,2,…，N.一個領導者，標記為0.每個跟隨者的動態(tài)系統(tǒng)如下所示：

(1)

其中，xi,vi,ui分別表示第i個跟隨者的位置、速度及控制輸入。

另外，領導者的動態(tài)系統(tǒng)為：

(2)

其中，x0,v0,u0分別表示領導者的位置、速度及控制輸入。

這個多智能體達到有限時間一致，也就是存在一個時刻T(x(0))，使得

t≥T(x(0)),xi(t)=x0(t),vi(t)=v0(t),i=1,2,…，N.

假設1：多智能體系統(tǒng)的通信拓撲是一個有向生成樹，并且以領導者為根節(jié)點。

3 主要成果

在本節(jié)中，我們研究多智能體系統(tǒng)(1)和(2)的二階一致性?；诮K端滑模控制策略，介紹了一種新的分布式跟蹤控制器。分布式控制器的設計過程主要包括兩個步驟。首先，我們通過測量相鄰跟隨者的狀態(tài)及速度，引入了跟蹤誤差系統(tǒng)，從而設計了滑模面。在跟蹤誤差和滑模表面的基礎上，介紹了每個跟隨者的控制器。

定義跟蹤誤差如下：

在此基礎上，我們?yōu)槊總€跟隨者設計了一個滑模矢量：

si(t)=eiv(t)+ceix(t)+d(eix(t))m/q

其中，i=1,2,…,N;c,d>0；q,m(q>m)是正奇數(shù)。由此，可設計控制器如下：

(3)

根據(jù)以上討論，下面的定理詳細介紹了主要結果。

定理 假設1成立，考慮多智能體系統(tǒng)(1)和(2)，在控制輸入(3)下，則一致性在有限時間內(nèi)可以實現(xiàn)，其中有限時間滿足

證明 為了證明這一結果，我們將使用終端滑模控制技術來解決該問題。因此，證明分為以下兩個步驟。

步驟1：為驗證所有滑模都可以在有限時間內(nèi)實現(xiàn)，我們采用滑模矢量的導數(shù)：

然后，用矩陣形式表示滑模導數(shù)和控制器：

因此，跟蹤誤差表示為

定義李雅普諾夫函數(shù)V(t)=1/2sT(t)s(t)，可得

=-sT(t)sgn(s(t))

≤-‖s(t)‖2

根據(jù)李雅普諾夫定理，得出V(t)在有限時間內(nèi)達到零的結論，則s(t)=0將在有限時間內(nèi)保持。

步驟2：在以上詳細分析的基礎上，如果s=0，則顯然

si(t)=eiv(t)+ceix(t)+d(eix(t))m/q=0,i=1,2,…,N.

顯然根據(jù)快速終端滑模定理，可知狀態(tài)誤差與速度誤差在有限時間內(nèi)達到(0,0).假設1成立，則矩陣H=L+B是可逆的，則

t≥T,xi(t)=x0t,vi(t)=v0(t)

這意味著二階多智能體在有限時間內(nèi)實現(xiàn)了一致跟蹤。證明結束。

4 數(shù)值仿真

本部分將通過一個仿真例子來證明理論結果的正確性和有效性。我們考慮一組多智能體，其中包含一個領導者(標記為0)和三個跟隨者(分別標記為1,2,3)，它們之間的拓撲關系如圖1所示。顯然，系統(tǒng)間的通信拓撲是一個有向生成樹，并且以領導者為根節(jié)點，即滿足假設1.

圖1 通信拓撲圖

設置跟隨者,跟隨者的初始值，領導者的控制輸入分別為

x=(-7,7,9),v=(3,8,-10),x0(0)=4,v0(0)=-8,u0(t)=cos(0.1t)

參數(shù)為c=0.2,d=0.5,q=5,m=3，此外，跟隨者的控制輸入如(3)所示。

圖2表示跟隨者與領導者的位置軌跡；圖3表示跟隨者與領導者的速度軌跡。由圖2和圖3，顯然可得系統(tǒng)實現(xiàn)了二階有限時間一致。

圖2 位置軌跡圖

圖3 速度軌跡圖

5 結論

在本文中，我們研究了二階多智能體一致跟蹤問題。為了解決這個問題，我們引入了快速終端滑模方法并且在此基礎上，設計了分布式一致跟蹤控制器。根據(jù)李雅普諾夫定理和有限時間一致穩(wěn)定理論，可以證明系統(tǒng)在給定的控制器下可達到一致跟蹤。仿真也證實了理論結果的有效性。未來的工作將考慮帶有輸入飽和的二階多智能體固定時間一致性。