一道選擇題引發(fā)的思考

方婷

清明時節(jié)雨紛紛。在這個不一樣的節(jié)日里，沉淀自己的心情，反思上次數(shù)學(xué)練習(xí)的錯誤。

3月底進(jìn)行了一次數(shù)學(xué)練習(xí)，是根據(jù)高考的難度要求，與《2013浙江理、文樣卷10》的類似題型：

如右圖，函數(shù)y=f（x）的圖像為折線OAB，設(shè)g（x）=f[f（x）]，則滿足方程g（x）=x的根的個數(shù)為（）

A.2個? ? ? ? ? ? ? ? B.4個? ? ? ? ? ? ? ? C.6個? ? ? ? ? ? ? ? ?D.8個

命題背景：函數(shù)的迭代。用圖像給出一個具體的分段函數(shù)，讓學(xué)生進(jìn)行迭代得到新的函數(shù)，畫出圖像，從而數(shù)出與函數(shù)y=x的圖像的交點(diǎn)個數(shù)。主要考查學(xué)生由圖像得函數(shù)解析式的能力，對函數(shù)的代入運(yùn)算及嚴(yán)密的數(shù)學(xué)邏輯分析能力，充分運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的思想。

可是不要解析式，如何單靠圖像解決？

因?yàn)閥=f（x），所以g（x）=f[f（x）]=f（y），若g（x）=x，則f（y）=x，所以有y=f（x），x=f（y），所以有x=y，則函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=x圖像的交點(diǎn)個數(shù)為2，與正確答案相悖。

其實(shí)對照標(biāo)準(zhǔn)答案很容易發(fā)現(xiàn)，一個是y=g（x）與y=x相交，一個是y=f（x）與y=x相交，顯然后一種是錯的。那么，后一種方法的錯處在哪里？其實(shí)，y=f（x），f（y）= x，并不是簡單的得到x=y，而是一個變換，一個迭代的變換。第一個式子的圖像上的點(diǎn)可以用（x，y）表示，而第二個式子圖像上的點(diǎn)則可用（y，x）表示，即g（x）=f[f（x）]=f（y）=x的根的個數(shù)，實(shí)質(zhì)是函數(shù)y=f（x）的圖像與它關(guān)于y=x的對稱的圖像的交點(diǎn)個數(shù)。如圖所示。

這個方法很是快速，特別是對此題要進(jìn)行分段函數(shù)的迭代。那是否具有通用性呢？追溯原因，在于g（x）=x，若此題變?yōu)間（x）=2x，還可否如此簡單？答案是：方法超過考試大綱，但是也可解。因?yàn)閥=f（x），所以g（x）=f[f（x）]=f（y），若g（x）=2x，則f（y）=2x，即x=f（y），若y為橫坐標(biāo)，x為縱坐標(biāo)，則圖像橫坐標(biāo)不變縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼摹Ｒ谝粋€坐標(biāo)系中表示，則如圖示：

那么這個迭代問題有出現(xiàn)了新的變化題形式。本質(zhì)還是一樣的迭代思想考查，某模擬卷第9題：已知f（x）為偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f（x）=2a|x-1|-a （a>0），若函數(shù)y=f[f（x）]恰有10個零點(diǎn)，則a的取值范圍為（ ）

A.（0，）B.（，）C.（0，] D.[，+∞）

作為一個選擇題，此題可用排除法，選擇特殊的值，比如令a=1，從而得到f（x）的解析式，進(jìn)而解得x恰好有10個解，從而得到正確的結(jié)果。

但是，是否有別的辦法呢？畫函數(shù)f（x）的圖像，不放令f（x） =0，可得x=，。

設(shè)f（x0） =t，則f [f（x0）]= f（t）=0，得t=，時，即f（x0）= ，的解x0的個數(shù)即y= f（x）圖像與y=t圖像的交點(diǎn)，可得B選項(xiàng)。

上一題還要用解析式來的圖像，高考模擬考試數(shù)學(xué)（文科）試卷》第10題：已知函數(shù)y=f（x），y=g（x）的圖像如圖所示，則函數(shù)y=g[|f（x）|]的大致圖像是（ ）

這時，由圖像得解析式然后再進(jìn)行迭代的方法，運(yùn)算量太大且費(fèi)時，不如延續(xù)上面迭代驗(yàn)算的技巧：g（x）=0時，x=±1，則f（x0） =±1的解x0即為g[f（x）]=0的解，排除A，B選項(xiàng)，關(guān)鍵x=2時，f（2）>1，g[f（2）]>1，從而快速排除C。

其實(shí)，分段函數(shù)迭代問題無數(shù)變式不勝枚舉，但是函數(shù)問題的本質(zhì)永遠(yuǎn)是數(shù)形結(jié)合的思想，利用函數(shù)的性質(zhì)可知圖像，也可由函數(shù)圖像得性質(zhì)。華羅庚曾經(jīng)說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休?！痹谶@類題型中真是最體現(xiàn)了此思想方法的快捷簡便。

數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生注重數(shù)學(xué)知識基礎(chǔ)的同時，也要真正理解數(shù)學(xué)的思維和思想方法，在能力的培養(yǎng)過程中感悟數(shù)學(xué)。在課堂上，教師應(yīng)該以概念為基礎(chǔ)，以思想方法為主線，以知識為載體進(jìn)行教學(xué)，不斷反思、總結(jié)，才能不斷提升。