神奇卻不神秘
——計(jì)算教學(xué)由印度乘法談起

江蘇省南京市秦淮實(shí)驗(yàn)小學(xué) 潘 智

一、神化的國度，神奇的算法

近來一則《神奇的印度式乘法口訣：太好用了》的文章在網(wǎng)絡(luò)上迅速流傳開來。

讓家長們嘖嘖稱贊的算法是這樣的：

例如要算出13×12 ＝？

第一步：把13 跟另一個乘數(shù)的個位數(shù)2 加起來，13 ＋2 ＝15。

第二步：把第一步的答案乘10（也就是說后面加個0）。

第三步：用第一個乘數(shù)的個位數(shù)3 乘另一個乘數(shù)的個位數(shù)2，3×2 ＝6。

第四步：（13+2）×10+6=156。

就這樣，用心算就可以很快地算出11×11 到19×19 了。

事實(shí)真的如此神奇嗎？

二、神秘的算理，神似的方法

對于這樣的算法，家長網(wǎng)友們感到無比神奇。但仔細(xì)分析可以發(fā)現(xiàn)，印度算法只是在計(jì)算過程上與豎式計(jì)算有所不同，第一、二步得出150 的心算算理也可以用代數(shù)的方法解釋：（10+A）×（10+B）= 100+10×（A+B）+A×B= 10×（10+A+B）+A×B。所以，這種心算方法是正確和可行的，同時(shí)也并不是那么神秘而不可即的。

其實(shí)，和這種印度乘法相似的算法我們也遇到過，如：1494 年，意大利數(shù)學(xué)家巴切利介紹了八種乘法。第一種乘法與現(xiàn)在通用的筆算乘法完全一致，第六種乘法在我國明朝的《算法統(tǒng)宗》中被稱為“鋪地錦”，這種方法當(dāng)時(shí)也同時(shí)傳到了印度，在那兒被稱為方格乘法。

另外，還有網(wǎng)絡(luò)上流傳的會畫線、會數(shù)點(diǎn)就會算的平行線計(jì)算法，教材中出現(xiàn)的各種計(jì)算規(guī)律等，這些看似很神秘的算法，究其算理都有相通之處，只不過是把握了“乘法的本質(zhì)是加法”。同時(shí)，這些算法也只是數(shù)學(xué)精髓的“滄海一粟”， 是數(shù)學(xué)計(jì)算體系的一部分。

三、神會的思考，神往的教學(xué)

“解密”印度算法后，我們不得不進(jìn)一步思考：課改實(shí)施以來，對于學(xué)生計(jì)算能力下降的抱怨之聲從未停止過，許多問題也長期困擾著廣大教師。針對印度算法的反思恰恰是一個契機(jī)，可以讓教師更好地處理計(jì)算教學(xué)中的各種關(guān)系，不斷改進(jìn)、提高教學(xué)質(zhì)量。

1.厘清算理，以理馭法

所謂算理，就是“為什么這樣算”，而算法只是解決“怎樣算”的問題。算理是計(jì)算的原理和依據(jù)，為計(jì)算提供正確的思維方式，是合理進(jìn)行計(jì)算的前提保證；算法是計(jì)算的基本程序和方法，是顯性的操作方法。“印度算法”只是“怎樣算”中的一種，如果能弄清算理，就會舉一反三，找到更多的“神奇”方法。

在培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力的過程中，如果弱化“理解”的作用，過分重視運(yùn)算能力的“操作性”，計(jì)算技能的訓(xùn)練就會停留在機(jī)械模仿的層面。不過，在計(jì)算教學(xué)中需要注意：一是重視算理的教學(xué)并不意味著面面俱到，不是每種算法都要學(xué)生把算理說出來，對于小學(xué)生來說，有些算理是難以表達(dá)的，只要有這樣的意識就可以了。二是在教學(xué)中不用對算理專門進(jìn)行教學(xué)，而是應(yīng)該在計(jì)算過程中讓學(xué)生明確其中蘊(yùn)含的算的道理。

2.平衡多法，以引擇優(yōu)

“運(yùn)算能力”是課程標(biāo)準(zhǔn)修訂時(shí)新增加的核心概念，明確提出“提倡算法多樣化”，“多樣”這個理念正是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)走向自主和開放的必然要求。不同的需求造就了多樣的算法，算法多樣化應(yīng)該是一種差異、一種認(rèn)識、一種經(jīng)歷。

當(dāng)然，多種算法是讓學(xué)生豐富所學(xué)知識，僅僅停留于感知階段，而方法優(yōu)化才是我們運(yùn)算能力的永恒追求。這就需要平衡多種算法，優(yōu)化出最基本、最一般的，或是公認(rèn)的，或是得心應(yīng)手的，或是可遷移性強(qiáng)，有利于今后學(xué)習(xí)的算法。

在“多樣”與“優(yōu)化”的過程中，也需要注意一些細(xì)節(jié)方面。首先，“多樣”追求的是尊重學(xué)生的原生態(tài)思考，卻不是簡單的一一列舉，不必要求“多”“全”“廣”。其次，“優(yōu)化”并不是固定不變的，數(shù)學(xué)的最大魅力在于變化，方法優(yōu)化有時(shí)不是唯一的，不同形態(tài)的數(shù)字計(jì)算，要采用不同的靈活計(jì)算方式。

3.形成策略，以悟生巧

小學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算教學(xué)的重點(diǎn)應(yīng)是加強(qiáng)思維能力的培養(yǎng)，突出“巧”算，形成自己獨(dú)特的計(jì)算策略。這里的“策略”不僅限于解決問題的方法，在計(jì)算中也包括加倍、補(bǔ)償、分割、重新組合等方法。

“熟能生巧”這句最具中國特色的古訓(xùn)，很好地詮釋了新課標(biāo)中運(yùn)算能力這個核心概念。所謂“熟”，是指對算法的熟練掌握和對計(jì)算技能的熟練運(yùn)用，依賴于在算理中理解算法，在算理、算法與計(jì)算技能的來回穿梭中，學(xué)生的計(jì)算能力由不熟練走向熟練。所謂“巧”，指技能好、靈巧，它來自嫻熟的技能、突發(fā)的靈感和積淀的智慧。由此可見，“熟”離不開練，一定要建立練習(xí)計(jì)算的常規(guī)；而“巧”則需要悟，即在教師的方法指導(dǎo)下，通過學(xué)生自己的“反省抽象”，不斷體驗(yàn)以獲得領(lǐng)悟，逐漸生出“巧”來，這時(shí)學(xué)生的運(yùn)算能力就得到了進(jìn)一步的發(fā)展。

計(jì)算教學(xué)是一個老課題，也是一個新問題。我們積累了很多成功的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，也認(rèn)識到理念上的偏差和實(shí)踐上的失誤。在今后的教學(xué)中，我們唯有秉持“從學(xué)生的學(xué)習(xí)和發(fā)展的需要出發(fā)”這一教育思想，努力追求繼承與創(chuàng)新的和諧，不斷改進(jìn)教師教的策略、優(yōu)化學(xué)生學(xué)的過程，才能有效發(fā)展和提高學(xué)生運(yùn)算能力，使計(jì)算教學(xué)真正成為學(xué)生不斷探究、不斷建構(gòu)、不斷思考、不斷成長的過程。