劉徽《九章算術(shù)注》中的數(shù)學(xué)思想方法及其貢獻(xiàn)

吳維煊, 章秋香

(宿遷經(jīng)貿(mào)高等職業(yè)技術(shù)學(xué)校， 江蘇 宿遷 223600)

0 引言

劉徽生活在三國時(shí)代的魏國，他從事過野外測(cè)量，研究過天文歷法，但他最主要的工作是數(shù)學(xué)研究. 他自幼攻讀《九章算術(shù)》，在攻讀的過程中發(fā)現(xiàn)很多問題的表達(dá)方式不佳，問題的解決方式較為零散，缺乏系統(tǒng)性，于是開始為《九章算術(shù)》全書做注釋,成書《九章算術(shù)注》. 劉徽在《九章算術(shù)注》中處處閃爍著先進(jìn)數(shù)學(xué)思想的光輝，不僅讓中國古代數(shù)學(xué)體系趨于系統(tǒng)化，而且為完善古算理論做出了突出貢獻(xiàn). 目前，關(guān)于劉徽《九章算術(shù)注》的研究論文較多，主要涉及某一思想方法的研究，如科學(xué)思想的來源[1]、形象思維中的幾何理論[2]及演繹邏輯思維[3]等方面,系統(tǒng)研究劉徽的數(shù)學(xué)思想方法，特別是劉徽的辯證法思維，在現(xiàn)有文獻(xiàn)中尚未見到. 本文深入探索劉徽《九章算術(shù)注》中的辯證法、復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化、邏輯推理、敢于創(chuàng)新等思想方法及其貢獻(xiàn)。

1 《九章算術(shù)注》中的數(shù)學(xué)思想方法

1.1 樸素的辯證法思想

劉徽在為《九章算術(shù)》做注釋過程中，遵循樸素的辯證法思想，突破了《九章算術(shù)》一題一解的局限性，主張具體問題具體分析，解決數(shù)學(xué)問題不應(yīng)拘于一法，應(yīng)思考多種解決問題的方法，及各種方法中的聯(lián)系. 在多種解法中，到底用哪個(gè)方法，劉徽認(rèn)為“可隨率宜也”，用現(xiàn)代人的說法，就是“要辯證地看問題”.

例如 《九章算術(shù)》“方程”章最后一題，“今有麻九斗、麥七斗、菽三斗、荅二斗、黍五斗，直錢一百四十；麻七斗、麥六斗、菽四斗、荅五斗、黍三斗，直錢一百二十八；麻三斗、麥五斗、菽七斗、荅六斗、黍四斗，直錢一百一十六；麻二斗、麥五斗、菽三斗、荅九斗、黍四斗，直錢一百一十二；麻一斗、麥三斗、菽二斗、荅八斗、黍五斗，直錢九十五，問一斗值幾何”.

該問題的解決相當(dāng)于解下面的五元線性方程組:

求解這個(gè)方程組比較麻煩，劉徽寫了一篇叫《方程新術(shù)》的文章，文章中提出了3種解法.

解法1該解法的中心思想是消去常數(shù)項(xiàng)，然后再把每行(方程)的項(xiàng)數(shù)減到只剩兩項(xiàng)，最后再用比例表示5個(gè)未知數(shù)之間的關(guān)系. 求出一個(gè)未知數(shù)的解之后，其余未知數(shù)也可求出. 在求解的過程中，劉徽有一段精彩的敘述：“令左右相減，先去下實(shí)，又轉(zhuǎn)去物位，求其一行二物正負(fù)相借者，易其相當(dāng)之率. 又令二物與他行互相去取，轉(zhuǎn)其二物相借之?dāng)?shù)，即皆相當(dāng)之率也……”他用此法求得5個(gè)未知數(shù)中任意兩個(gè)未知數(shù)之間兩兩“相當(dāng)之率”[4]：

4x=7y、3y=4z、5z=3u、6u=5v.

如何由這個(gè)比例式求解5個(gè)未知數(shù)？由(3)-(4)得

x+4z-3u=4.

(6)

解法2該解法的中心思想是由各式連續(xù)減式(6)，消去首項(xiàng). 因?yàn)槭?6)首項(xiàng)系數(shù)為1，可以不必互乘. 利用這種方法，先求出未知數(shù)u=6，再依次求出其余4個(gè)未知數(shù).

解法3該解法的中心思想是運(yùn)用連比例這一方式，劉徽將這種解法概括為“置群物通率為列衰，更置減行群物之?dāng)?shù)，各依其率乘之，并以為法”. “群物通率”就是根據(jù)解法1中的比例有

x∶y∶z∶u∶v=7∶4∶3∶5∶6，

再通過式(6)(“減行”)即可求得.

這3種解法雖然使用方法不同，但各種方法之間有一定的聯(lián)系，各種方法的結(jié)果可以互用. 用何種方法解決這一問題，需要用辯證的思維，根據(jù)所要求解的問題及個(gè)人解決問題的習(xí)慣及方式，做到如劉徽所言“可隨率宜也”. 劉徽樸素的辯證法思維，為后人學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、解決數(shù)學(xué)問題提供了很好的范本. 辯證法思想的應(yīng)用，也是數(shù)學(xué)教學(xué)中具體問題具體分析的重要思想方法.

1.2 在不同的數(shù)學(xué)問題中挖掘一般規(guī)律

劉徽在《九章算術(shù)注》的序文中說“事類相推，各有攸歸，故條枝雖分而同本榦者，知發(fā)其一端而已”. 這段描述的意思是有許多數(shù)學(xué)問題，表面上看問題表述方式各不相同，但在數(shù)學(xué)理論上卻是一致的，他們是有共同根源的相同問題. 劉徽善于尋求不同數(shù)學(xué)問題內(nèi)部的一般規(guī)律，如在“勾股”章16題注中說：“言雖異矣，及其所以成法，實(shí)則同歸矣”[5].

“齊同術(shù)”理論的完善及推廣，充分彰顯了劉徽在不同數(shù)學(xué)問題中挖掘一般規(guī)律的數(shù)學(xué)思想. 劉徽把趙君卿關(guān)于“齊同”的定義進(jìn)一步加以解釋，在“衰分”章“返衰”下注稱“母同則子齊，齊即衰也”，即：將一組分?jǐn)?shù)通分后，根據(jù)分子的大小關(guān)系，就可得到分?jǐn)?shù)間的大小關(guān)系.

劉徽進(jìn)一步完善“齊同術(shù)”理論后，指出其他數(shù)學(xué)問題，諸如求幾個(gè)分?jǐn)?shù)的平均值、解釋衰分術(shù)、均輸、盈不足和方程等問題，都有“齊同術(shù)”的一般規(guī)律，因而“齊同術(shù)”是解決該類問題的方法之一. 在數(shù)學(xué)教學(xué)中，很多老師受劉徽思想方法的影響，很注重培養(yǎng)學(xué)生一題多變，在多種問題中探討一般規(guī)律的思維.

1.3 用不同的方法解決相同問題

《海島算經(jīng)》第1題，今有望海島(AB)，立兩表(DE和D1E1)齊高三丈，前后相去(EE1)千步. 令后表與前表相直. 從前表(DE)卻行123步，人目著地(F)取望島峰(A)，與表末(D)參合，從后表(D1E1)卻行(E1F1)127步，人目著地(F1)取望島峰(A)，亦與表末(D1)參合，問島高AB及去表(BE)各幾何(圖1)？

劉徽以“術(shù)”的形式給出了計(jì)算公式. 若用現(xiàn)代符號(hào)表示，該公式為

(7)

(8)

這一問題是對(duì)同一目標(biāo)在不同地點(diǎn)兩次立表進(jìn)行測(cè)量，其解法是利用兩次測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，所以叫“重差”. 式(7)～式(8)可由“出入相補(bǔ)”原理推出.

ACBHH1DD1EFE1F1

圖1 望海島示意圖

如圖1，D1是矩形AF1的對(duì)角線上的一點(diǎn)，所以，矩形D1H1的面積=矩形D1B的面積，即

AC·E1F1=BE1·DE.

(9)

又D是矩形AF的對(duì)角線上的一點(diǎn)，所以矩形DH的面積=矩形DB的面積,即

EF·AC=BE·DE.

(10)

(9)-(10) 得AC·(E1F1-EF)=DE·EE1，所以

(11)

式(11)的兩邊同加DE，即得公式(7).

由此可見，劉徽《海島算經(jīng)》解測(cè)望問題的主要工具是“出入相補(bǔ)”原理，不涉及角和三角函數(shù)概念，這與西方的三角測(cè)量有明顯的區(qū)別. 他還運(yùn)用“類推衍化”的方法，使重差術(shù)由兩次測(cè)望，發(fā)展為“三望”“四望”. 而印度在7世紀(jì)，歐洲在15～16世紀(jì)才開始研究?jī)纱螠y(cè)望的問題. 在數(shù)學(xué)教學(xué)中，一題多解是拓展數(shù)學(xué)思維、培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力的重要學(xué)習(xí)方法，該方法在數(shù)學(xué)教學(xué)中的普遍應(yīng)用，是劉徽在注釋中為后人留下的寶貴財(cái)富.

1.4 將難以解決的復(fù)雜問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化

劉徽將難以解決的復(fù)雜問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的影響是深遠(yuǎn)的. 當(dāng)某一數(shù)學(xué)問題無法解決時(shí)，對(duì)問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，將一個(gè)問題分解成若干問題，將顯性問題轉(zhuǎn)化成隱性問題，將代數(shù)(或幾何)問題轉(zhuǎn)化成幾何(或代數(shù))問題，是求解數(shù)學(xué)問題的重要方法.

1.5 嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评?/h3>

劉徽對(duì)《九章算術(shù)》中的所有數(shù)學(xué)概念都做了解釋或邏輯定義，在解釋和定義中，他非常注意數(shù)學(xué)推理的邏輯性，充分考慮各問題之間的邏輯關(guān)系. 在“勾股”章的注釋中，明確指出：這一章之所以一開頭就提出了勾股定理，是因?yàn)椤皩⒁允┯谥T率，故先具此術(shù)，以見其源也”. 劉徽用這一精彩的論述，從“邏輯”角度注釋了勾股定理出現(xiàn)在“勾股”章開頭的必要性. 劉徽認(rèn)為有些問題不能只限于感性認(rèn)識(shí)，必須在感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上提升到理性認(rèn)識(shí)的層面，并在理性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上形成數(shù)學(xué)理論. 因而，他從邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性出發(fā)，對(duì)于那些能從邏輯上證明的法則都進(jìn)行了論證.

劉徽創(chuàng)造的十進(jìn)小數(shù)，就是邏輯推理的最好實(shí)證. 在劉徽提出十進(jìn)小數(shù)以前，計(jì)算中遇到奇零小數(shù)時(shí)，或是化為分?jǐn)?shù)，或是用地位制命名法，或是四舍五入. 當(dāng)小數(shù)位數(shù)少時(shí)，這樣處理固然可以，位數(shù)多了，就很不方便. 劉徽從長度記法入手，在長度的記法中用到單位名，丈、尺、寸、分、厘、毫、秒、忽，“忽”是最小的單位. 當(dāng)現(xiàn)實(shí)中遇到精確到“忽”以下數(shù)位時(shí)，劉徽用十進(jìn)分?jǐn)?shù)形式表達(dá)，創(chuàng)造了具有非凡意義的十進(jìn)小數(shù).

劉徽在《九章算術(shù)注》中有3個(gè)地方用十進(jìn)小數(shù)注釋.

有了十進(jìn)小數(shù)，無論有多少小數(shù)位，都能給出精確的表達(dá). 而創(chuàng)造十進(jìn)小數(shù)的過程，在小數(shù)部分的數(shù)位以100、101、102、…、10n為分母，就是邏輯推理思想的具體應(yīng)用. 在開方術(shù)的注釋中，他從開方不盡的意義出發(fā)，論述了無理方根的存在，并引進(jìn)了新數(shù)，創(chuàng)造了用十進(jìn)分?jǐn)?shù)無限逼近無理根的方法.

嚴(yán)密的邏輯性，是數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn). 以幾何教學(xué)為例，幾何學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)，遵循圖形的認(rèn)識(shí)、圖形與變換、圖形與證明、圖形與坐標(biāo)這一邏輯進(jìn)行，以邏輯推理為依托構(gòu)建了幾何學(xué)習(xí)的知識(shí)體系.

1.6 敢于挑戰(zhàn)權(quán)威的創(chuàng)新思想

劉徽在“方程”章的注釋中指出，有些人“拙于精理”,只知按前人的方法，亦步亦趨地去做，不懂得改變解題的方法和步驟，有的甚至于“或用算而布?xì)?，方好煩而喜誤，曾不知是非，反欲以多為貴”. 劉徽這一論述，尖銳地批評(píng)了當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)上的“踵古”思想. 劉徽認(rèn)為：“學(xué)者踵古，習(xí)其謬失”. 沒有創(chuàng)新的思想，就沒有學(xué)術(shù)的發(fā)展，就沒有人類的進(jìn)步. 劉徽敢于質(zhì)疑，敢于提出新觀點(diǎn)的優(yōu)秀品質(zhì)，是他為數(shù)學(xué)作出巨大貢獻(xiàn)的內(nèi)生動(dòng)力.

例如在“方田”章“圓田術(shù)”的注釋中，他指出圓周率“非周三徑一之率也，周三者從其六觚之環(huán)耳”. 這句注釋闡明，“周三”只是圓內(nèi)接正六邊形的周長，而不是圓的周長. 可是很多人還亦步亦趨地守著“周三徑一”這個(gè)陳腐的概念，不敢超越.

劉徽的“割圓術(shù)”對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)體系的進(jìn)一步完善具有重大意義. 不僅求得“徽率”，提高了圓周率的精度. 而且在將圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)逐次加倍，以使多邊形面積逼近圓面積時(shí)，劉徽的“割之彌細(xì)，所失彌少. 割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣”，是劉徽極限思想的萌芽[6].

劉徽在《九章算術(shù)注》中提出了很多創(chuàng)新性算法及觀點(diǎn)，雖然有些算法及觀點(diǎn)還需要進(jìn)一步的完善，甚至存在錯(cuò)誤，卻為后人的創(chuàng)造性探索積累了經(jīng)驗(yàn)、留下了課題.

1.7 注重“直觀性”在感性認(rèn)識(shí)中的作用

劉徽注意到直觀性在感性認(rèn)識(shí)形成中的重要作用，他主張“析理以辭，解體用圖”，理論的形成需要建立在直觀的感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，只有這樣，才能更好地形成數(shù)學(xué)知識(shí)體系. 因而，他在《九章算術(shù)注》中很注意使用圖形、立體模型、剪紙和涂抹顏色等技巧.

例如對(duì)“正負(fù)術(shù)”的注釋“今兩算得失相反，要令正負(fù)以名之. 正算赤，負(fù)算黑”注釋的意思是：現(xiàn)在要用算籌代表得失相反的兩種量，就把表示“得”的算籌所代表的數(shù)叫正數(shù)，把表示“失”的算籌所代表的數(shù)叫作負(fù)數(shù)，并且把代表正數(shù)的算籌涂上紅色，把代表負(fù)數(shù)的算籌涂上黑色. 劉徽在這句注釋里不僅用“得”與“失”給正負(fù)數(shù)下了一個(gè)很好的定義，并且還從視覺上給正、負(fù)數(shù)算籌涂上不同顏色，便于人們直觀地辨認(rèn)和使用. 劉徽還認(rèn)為“言負(fù)者未必負(fù)于少，言正者未必正于多”，這是說正負(fù)數(shù)的絕對(duì)值，前一句話是指負(fù)數(shù)的絕對(duì)值未必小，后一句話是指正數(shù)的絕對(duì)值也不一定很大. 在計(jì)算中，籌的總數(shù)不變，即籌的個(gè)數(shù)不變.

對(duì)于《九章算術(shù)》中的幾何命題，劉徽常以“解體用圖”的方法予以詮釋和證明. 所謂“解體用圖”就是利用圖形的分解、合成、割補(bǔ)或移動(dòng)位置等方法進(jìn)行等積變換，從而證明原著的命題或計(jì)算公式是成立的.

數(shù)學(xué)教學(xué)中常用的圖示法、列表法、模型制作法等，是劉徽“直觀性感性認(rèn)識(shí)”數(shù)學(xué)思想的具體應(yīng)用.

2 為完善數(shù)學(xué)知識(shí)體系做出卓越貢獻(xiàn)

在中國數(shù)學(xué)史上，劉徽第一次提出運(yùn)用辯證法思維解不是唯一的一類方程，即“不定方程問題”的概念，并從辯證的角度提出并定義了許多數(shù)學(xué)概念：如冪(面積)、方程(線性方程組)、正負(fù)數(shù)等；在線性方程組解法中，他正確地提出了正負(fù)數(shù)的概念及其加減運(yùn)算的法則，改進(jìn)了線性方程組的解法；劉徽創(chuàng)造了比直除法更簡(jiǎn)便的互乘相消法，與現(xiàn)今解法基本一致；他推導(dǎo)出等差級(jí)數(shù)前n項(xiàng)和公式；在“勾股”章的注釋中，劉徽不僅論證了有關(guān)勾股定理與解勾股形的計(jì)算原理，發(fā)展了勾股測(cè)量術(shù)，還提出了相似勾股形理論，通過對(duì)“勾中容橫”與“股中容直”之類的典型圖形的論析，形成了中國特色的相似理論. 他用比率理論建立了數(shù)與式的統(tǒng)一的理論基礎(chǔ)，應(yīng)用出入相補(bǔ)原理和極限方法解決了許多面積和體積問題，為中國數(shù)學(xué)發(fā)展做出了卓越的貢獻(xiàn).

劉徽的數(shù)學(xué)成就，不僅對(duì)中國古代數(shù)學(xué)發(fā)展產(chǎn)生了深遠(yuǎn)影響，而且在世界數(shù)學(xué)史上也被很多外國學(xué)者稱作“中國數(shù)學(xué)史上的牛頓”. 在世界數(shù)學(xué)史上，他最早提出十進(jìn)小數(shù)概念，并用十進(jìn)小數(shù)來表示無理數(shù)的立方根；在開方不盡的問題中提出“求徽數(shù)”的思想，這種方法與后來求無理根的近似值的方法一致；他還用“率”來定義中國古代數(shù)學(xué)中的“方程”，即現(xiàn)代數(shù)學(xué)中線性方程組的增廣矩陣.

《九章算術(shù)》雖然體系不甚完整，一些算法還存在問題，但仍然是中國古代數(shù)學(xué)的瑰寶，并為世界數(shù)學(xué)的發(fā)展做出了重要的貢獻(xiàn). 劉徽的《九章算術(shù)注》讓中國古代數(shù)學(xué)體系走向規(guī)范，不僅給人類留下開創(chuàng)性的數(shù)學(xué)定義、命題與原理，他在注釋過程中彰顯的辯證法、在不同的數(shù)學(xué)問題中挖掘一般規(guī)律、用不同的方法解決相同問題、復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化、邏輯推理、敢于創(chuàng)新等思想方法，成為激勵(lì)人們不斷探索未知的精神財(cái)富.