10 的倍數(shù)分拆素?cái)?shù)和的“1-9猜想”及思考

楊孝斌，黃晚桃，楊萬鑫

（凱里學(xué)院，貴州凱里 556011）

1 問題的提出

在學(xué)習(xí)和研究哥德巴赫猜想的有關(guān)問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)了一個(gè)關(guān)于10的倍數(shù)分拆為兩個(gè)素?cái)?shù)的和一個(gè)猜想：

10的正整數(shù)倍總可以分拆為個(gè)位分別為3和7的兩個(gè)素?cái)?shù)之和，即：對(duì)任意k∈N+，總存在素?cái)?shù)p1,p2，且p1=10i+3,p2=10j+7,i∈N,j∈N，滿足10k=p1+p2，并用C語言編程，利用計(jì)算機(jī)檢驗(yàn)了20億以內(nèi)的10的倍數(shù)都滿足猜想.［1］

為了區(qū)別后面的猜想，將上述猜想稱之為10的倍數(shù)分拆素?cái)?shù)和的“3-7猜想”.經(jīng)過進(jìn)一步的研究發(fā)現(xiàn)，如果將素?cái)?shù)p1,p2令為p1=10i+1,p2=10j+9,i∈N+,j∈N+的形式，當(dāng)3≤k≤20時(shí)，得到結(jié)果如表1所示.

表1 10的倍數(shù)素?cái)?shù)分拆的一些特例表

如果需要，可以將這個(gè)表列得足夠長，在此基礎(chǔ)上，提出如下猜想：

10的正整數(shù)（≥3）倍總可以分拆為個(gè)位分別為1和9的兩個(gè)素?cái)?shù)之和，即：對(duì)任意k≥3,k∈N+，總存在素?cái)?shù)p1,p2，且p1=10i+1,p2=10j+9,i∈N+,j∈N+，滿足10k=p1+p2（以下將此猜想稱之為10的倍數(shù)分拆素?cái)?shù)和的“1-9猜想”）.

為了進(jìn)一步驗(yàn)證猜想的正確性（或找出反例），我們可以用C語言編程驗(yàn)證，程序類似于文［1］中的程序（整個(gè)程序時(shí)間復(fù)雜度為：o(n2)），只需把個(gè)位分別為3和7改為個(gè)位分別為1和9即可，在此不再贅述.

2 進(jìn)一步的思考

結(jié)合10的倍數(shù)分拆素?cái)?shù)和的“3-7”猜想和“1-9猜想”，在進(jìn)一步思考的基礎(chǔ)上，可以研究夾在10的倍數(shù)之間的那些偶數(shù)分拆素?cái)?shù)和的情況.

仍然采用不完全歸納的思想，首先將30-100的偶數(shù)列表，如表2所示.

表2 任意偶數(shù)分拆素?cái)?shù)和的一些特例

同樣地，如果需要，可以將這個(gè)表列得足夠長，在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步提出如下猜想：

對(duì)于每一個(gè)10k+d(k≥3,d=2,4,6,8)，存在10k+d=p1+p2，其中素?cái)?shù)p1、p2均在10k與10(k+1)的分拆素?cái)?shù)和中出現(xiàn).

筆者嘗試用C語言編程來驗(yàn)證，程序如下［1-2］：

注：整個(gè)程序時(shí)間復(fù)雜度為：O（n2）

3 結(jié)束語

經(jīng)過計(jì)算機(jī)運(yùn)行檢驗(yàn)，上述10的倍數(shù)分拆素?cái)?shù)和的“1-9猜想”以及“夾在10的倍數(shù)之間的偶數(shù)分拆素?cái)?shù)和的猜想”在20億以內(nèi)沒有反例.很顯然，無論驗(yàn)證到多大的數(shù)，都不足以說明上述猜想是否一定成立，這需要從數(shù)學(xué)上進(jìn)行嚴(yán)格的證明.上述猜想的證明與素?cái)?shù)的分布密切相關(guān)，而且可能與著名的哥德巴赫猜想有關(guān).筆者將進(jìn)一步對(duì)其進(jìn)行研究，也期待得到國內(nèi)外各位同仁的幫助.