L-矩陣的預(yù)條件Jacobi迭代法

許云霞，雷學(xué)紅

（凱里學(xué)院，貴州凱里 556011）

1 引言

考慮線性方程組：

其中A=(aij)∈Rn×n為非奇異矩陣，x,b∈Rn.不失一般性，設(shè)A=I-L-U,-L和-U分別是A的嚴(yán)格下三角和嚴(yán)格上三角部分.求解線性方程組（1）的Jacobi迭代法的迭代矩陣為

對線性方程組（1）兩端左乘P使其轉(zhuǎn)化為等價的線性方程組

近年來學(xué)者提出了不同的預(yù)條件因子［1-4］，為改善迭代法的收斂性和收斂速度，本文提出一種新的預(yù)條件因子，P=I+S,

2 預(yù)備知識

定義1［5］設(shè)A=(aij)∈Rn×n，如果aij≤0,i≠j，且aii≥0,0≤i,j≤n則矩陣A為L-矩陣.

定義2［6］設(shè)A=(aij)∈Rn×n，若M是非奇異矩陣，稱A=M-N為A的一個分裂.若ρ(M-1N)＜1，稱該分裂收斂；若M是非奇異M-矩陣且，N≥0稱A=M-N為M-分裂.

引理1［6］若A為非負(fù)不可約矩陣，則

（1）矩陣A有一個正的是實特征值恰等于它的譜半徑；

（2）存在對應(yīng)于ρ(A)的特征向量x＞0；

（3）ρ(A)是矩陣A的單根；

（4）當(dāng)矩陣A的任何元素增加時，譜半徑ρ(A)也增加.

引理2［5］若A是非負(fù)矩陣，則

（1）如果存在正向量x≥0且x≠0，滿足αx≤Ax，則α≤ρ(A)；

（2）如果存在正向量x，滿足Ax≤βx，則ρ(A)≤β.進(jìn)而，若A是不可約矩陣，如果存在向量x≥0滿足0≠αx≤Ax≤βx，則α＜ρ(A)＜β，且x＞0.

引理3［6］若A=M-N是A的M-分裂，則ρ(M-1N)＜1當(dāng)且僅當(dāng)A是非奇異M-矩陣.

引 理4［7］設(shè)λ∈(0,1]，y∈(-∞,0)，且z∈(-∞,0)，Q=(-z)?(0,-z)，則集合Q非空.

3 主要結(jié)論

定理1設(shè)是方程（1）和（3）的Jacobi方法的迭代矩陣，若A是不可約L-矩陣ankakn＞0,βk∈(,-ank)?(0,-ank),-αk∈(0,1](k=1,2,…,n-1),≤1,則是非負(fù)不可約矩陣.

證明因為A是不可約L-矩陣，由方程（2）得

所以J是非負(fù)的.由于A不可約，得L+U是不可約的，因此J也是不可約的.下面證明

由定理1，得下面的比較定理：

證明由定理1知J是非負(fù)不可約矩陣，因此存在正向量x，使得

4 數(shù)值例子

設(shè)方程組（1）的系數(shù)矩陣：

經(jīng)驗證知A是不可約L-矩陣，當(dāng)α1=α2=α3=β1=β2=β3=0時ρ(J)=0.5157；當(dāng)α1=0.98，α2=α3=0.001,，β1=β2=β3=0.001時，=0.4557，知本文提出的預(yù)條件Jacobi迭代法的收斂速度比經(jīng)典的Jacobi迭代法的收斂速度更快.