兩關(guān)節(jié)壓電機(jī)械臂剛?cè)狁詈险駝?dòng)特性分析

馬天兵，陳 凱, 劉 健, 杜 菲

(1.安徽理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，安徽 淮南 232001; 2.安徽理工大學(xué)礦山智能裝備與技術(shù)安徽省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，安徽 淮南 232001)

目前，機(jī)械臂在工業(yè)、航空以及醫(yī)療等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛，但機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)時(shí)會(huì)產(chǎn)生一定的振動(dòng)，影響其定位精度，為減少機(jī)械臂振動(dòng)，需要首先了解振動(dòng)產(chǎn)生的原因和機(jī)理，并對(duì)機(jī)械臂的振動(dòng)特性進(jìn)行分析[1-2]。國(guó)內(nèi)外一些學(xué)者從動(dòng)力學(xué)模型入手，對(duì)機(jī)械臂振動(dòng)特性進(jìn)行研究，文獻(xiàn)[3]考慮關(guān)節(jié)柔性建立了雙連桿機(jī)械臂模型，并對(duì)其進(jìn)行了振動(dòng)控制，具有重要的工程價(jià)值；文獻(xiàn)[4]以絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法對(duì)柔性梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行了建模，探究了剛性、柔性坐標(biāo)共享的可能性；文獻(xiàn)[5]利用假設(shè)模態(tài)法和漢密爾頓原理建立了機(jī)械臂柔性部分動(dòng)力學(xué)模型，獲得了末端負(fù)載的殘余振動(dòng)，為主動(dòng)殘余振動(dòng)控制提供了參考。這些研究提出了多種可靠的建模方法，但是，僅對(duì)一定條件下的振動(dòng)特性進(jìn)行了分析，并沒(méi)有考慮不同因素對(duì)其振動(dòng)的影響關(guān)系，分析不夠全面。除上述研究之外，文獻(xiàn)[6]采用傳遞矩陣與機(jī)械導(dǎo)納建立了柔性機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)模型，研究了復(fù)雜柔性機(jī)械臂空間多維振動(dòng)特性；文獻(xiàn)[7]提出了一種基于變形旋量理論的動(dòng)力學(xué)建模方法，探究了機(jī)械臂空間變形耦合和扭轉(zhuǎn)變形對(duì)振動(dòng)特性的影響；上述研究雖然考慮了不同屬性因素對(duì)機(jī)械臂振動(dòng)特性的影響情況，但研究大多側(cè)重仿真，缺少實(shí)驗(yàn)的驗(yàn)證與對(duì)照，并且對(duì)實(shí)測(cè)信號(hào)的振動(dòng)特性分析不夠具體。

針對(duì)上述問(wèn)題，本文選取剛?cè)釞C(jī)械臂作為研究對(duì)象，利用拉格朗日方程以及假定模態(tài)法對(duì)其進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模，并考慮關(guān)節(jié)柔性對(duì)模型進(jìn)行優(yōu)化，仿真分析兩種模型的振動(dòng)情況；搭建壓電兩關(guān)節(jié)機(jī)械臂實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，選取轉(zhuǎn)速、電機(jī)配置等因素設(shè)計(jì)正交試驗(yàn)進(jìn)行振動(dòng)測(cè)量，并利用信號(hào)處理方式，分析振動(dòng)信號(hào)，探究不同因素對(duì)機(jī)械臂振動(dòng)特性的影響。

1 考慮關(guān)節(jié)柔性的建模及仿真

1.1 動(dòng)力學(xué)模型的建立

為提高模型精確度，減少運(yùn)算復(fù)雜度，在保證建模準(zhǔn)確性的前提下，作出如下假設(shè)[5]：

1)只考慮柔性機(jī)械臂的橫向振動(dòng)，忽略其軸向變形和剪切變形；

2)假定橫向變形為小變形；

3)機(jī)械臂的長(zhǎng)度遠(yuǎn)大于其截面面積；

4)忽略重力、阻力等因素對(duì)系統(tǒng)的影響。

剛?cè)醿申P(guān)節(jié)機(jī)械臂的簡(jiǎn)化模型如圖1所示，XOY為慣性坐標(biāo)系，X1OY1、X2O2Y2分別為固連于桿1和桿2上的動(dòng)坐標(biāo)系，桿1是長(zhǎng)度為l1的剛性臂桿，桿2是長(zhǎng)度為l2的柔性臂桿；在O處設(shè)置驅(qū)動(dòng)電機(jī)1，在其帶動(dòng)下，桿1繞著O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J1，加載力矩為τ1，轉(zhuǎn)動(dòng)角度為θ1，在桿1另一端設(shè)置驅(qū)動(dòng)電機(jī)2作為關(guān)節(jié)，并連接桿2以O(shè)2點(diǎn)為原點(diǎn)作旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J2，加載力矩為τ2，轉(zhuǎn)動(dòng)角度為θ2，關(guān)節(jié)處質(zhì)量為md。同樣的，P點(diǎn)在X2O2Y2坐標(biāo)系中的存在變形，假設(shè)撓度形變量為y，則P點(diǎn)變形前位置為(l2，0)，變形后為(l2，y)。

圖1 剛?cè)醿申P(guān)節(jié)機(jī)械臂的物理結(jié)構(gòu)模型

則P點(diǎn)在X1OY1中的位置為(l1+cosθ2l2-sinθ2y,sinθ2l2+cosθ2y)，即，在XOY中的坐標(biāo)為(Px,Px)，其中

(1)

則末端P點(diǎn)的速度的平方為

(2)

根據(jù)柔性臂桿2一側(cè)約束，另一側(cè)自由的結(jié)構(gòu)特征，可將其等效為懸臂梁進(jìn)行分析[7]，由約束條件可知其頻率方程為

coskl2coshkl2=-1

(3)

式中：l2為臂桿長(zhǎng)度，則i階的固有頻率為

(4)

式中：ki為頻率方程第i個(gè)解，E2為彈性模量；I2為材料橫截面對(duì)彎曲中性軸的慣性矩；ρ2為材料密度；A2為截面面積。

對(duì)應(yīng)i階頻率的模態(tài)振型函數(shù)為[8]

Zi(x)=cosh(kix)-cos(kix)-

(5)

關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)軸1的動(dòng)能為

(6)

關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)軸2的動(dòng)能為

(7)

桿1的動(dòng)能為

(8)

桿1末端關(guān)節(jié)處動(dòng)能為

(9)

桿2的動(dòng)能為

(10)

式中：Vx為桿2距關(guān)節(jié)x處的位置的速度，公式中兩個(gè)積分分別用a、b代替

(11)

系統(tǒng)的勢(shì)能為

(12)

(13)

其中，L=T1+T2+T3+T4+T5-V。

代入對(duì)應(yīng)公式，并化簡(jiǎn)得

(14)

利用Matlab軟件中的Simulink仿真程序?qū)ι鲜瞿Ｐ瓦M(jìn)行數(shù)值仿真。設(shè)定臂桿長(zhǎng)度l1= 0.2m、l2= 0.3m， 截面尺寸分別為A1= 9×10-5m2、A2= 1.5×10-5m2，材料密度分別為ρ1=7.8×103kg/m3、ρ2=7.9×103kg/m3，彈性模量分別為E1=2.06×1011N/m2、E2= 1.95×1011N/m2，則其對(duì)彎曲中心軸的慣性矩分別為I1= 1.69×10-9m4、I2= 1.25×10-12m4；O、O2關(guān)節(jié)處電機(jī)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為J1= 4.5×10-5kg·m2、J2= 5.5×10-6kg·m2，加載力矩分別為τ1= 2.3N·m、τ2= 0.46N·m。

圖2 剛性臂桿關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角曲線

圖3 柔性臂桿關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角曲線

圖4 末端振動(dòng)位移曲線

從仿真結(jié)果可以看出，除開始階段的輕微波動(dòng)外，剛性臂桿1的轉(zhuǎn)角曲線斜率基本不變；相對(duì)而言，柔性臂桿2的轉(zhuǎn)角曲線斜率變化較大；末端振動(dòng)位移曲線主體是幅值2mm、頻率4Hz左右的正弦曲線，但在開始階段出現(xiàn)將近3mm的整體明顯偏差，在3s左右趨于平穩(wěn)。

上述建模過(guò)程均在關(guān)節(jié)為剛性轉(zhuǎn)動(dòng)的前提之下進(jìn)行，假定了作用在機(jī)械臂上的力矩等于驅(qū)動(dòng)力臂，然而，關(guān)節(jié)柔性作為機(jī)械臂振動(dòng)的主要原因，是不可忽略的[9]。為了提高模型精度，確保仿真與實(shí)際情況相符，需要在模型的建立中考慮關(guān)節(jié)柔性的影響，為后續(xù)的振動(dòng)控制奠定更可靠的理論基礎(chǔ)。

1.2 考慮關(guān)節(jié)柔性的模型改進(jìn)

關(guān)節(jié)柔性是指柔性機(jī)械臂關(guān)節(jié)處的驅(qū)動(dòng)電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，電機(jī)轉(zhuǎn)子帶動(dòng)的電機(jī)軸會(huì)產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)振動(dòng)，而電機(jī)軸再帶動(dòng)被驅(qū)動(dòng)件，也就是機(jī)械臂臂桿，傳遞過(guò)程中存在阻尼。本文從模型精確度以及運(yùn)算復(fù)雜度出發(fā)，選擇線性轉(zhuǎn)子-扭簧系統(tǒng)模型，該模型利用扭簧表示關(guān)節(jié)處電機(jī)與驅(qū)動(dòng)件之間的傳動(dòng)關(guān)系，忽略驅(qū)動(dòng)電機(jī)內(nèi)部動(dòng)力結(jié)構(gòu)與傳動(dòng)裝置，只考慮關(guān)節(jié)的輸出運(yùn)動(dòng)參數(shù)與驅(qū)動(dòng)力矩之間的關(guān)系。

圖5 柔性關(guān)節(jié)模型示意圖

如圖5所示，分別在電機(jī)轉(zhuǎn)子與殼體上建立坐標(biāo)系qm和qs，θm為電機(jī)驅(qū)動(dòng)下臂桿的實(shí)際轉(zhuǎn)動(dòng)角度，θs為柔性機(jī)械臂關(guān)節(jié)處電機(jī)輸出角度，即電機(jī)與搭載電機(jī)的臂桿關(guān)節(jié)殼體的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)角度，而電機(jī)與關(guān)節(jié)所受力矩的關(guān)系為

(15)

式中：τm為電機(jī)受到的力矩，τ為電機(jī)產(chǎn)生的驅(qū)動(dòng)力矩，τs為關(guān)節(jié)受到的力矩，K表示扭簧的非線性扭轉(zhuǎn)剛度，可利用關(guān)節(jié)所受扭矩和轉(zhuǎn)角的實(shí)驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合求得。

考慮上述關(guān)節(jié)柔性問(wèn)題，結(jié)合已有模型對(duì)其進(jìn)行優(yōu)化。首先仿真模擬出關(guān)節(jié)柔性參數(shù)，假定關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)響應(yīng)的實(shí)際轉(zhuǎn)動(dòng)角度曲線如圖6所示。

圖6 關(guān)節(jié)實(shí)際轉(zhuǎn)角響應(yīng)

采用此屬性下的關(guān)節(jié)力矩傳動(dòng)關(guān)系，將上節(jié)模型的相關(guān)力矩變量進(jìn)行更改并仿真，其余參數(shù)、初始條件以及仿真時(shí)間均不變，得到考慮關(guān)節(jié)柔性的兩關(guān)節(jié)柔性機(jī)械臂的關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角及末端振動(dòng)曲線，如圖7～圖9所示。

圖7 考慮關(guān)節(jié)柔性的剛性臂桿轉(zhuǎn)角曲線

圖8 考慮關(guān)節(jié)柔性的柔性臂桿轉(zhuǎn)角曲線

圖9 考慮關(guān)節(jié)柔性的末端振動(dòng)位移曲線

從仿真結(jié)果可以看出，考慮關(guān)節(jié)柔性之后，兩個(gè)關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角曲線在原曲線趨勢(shì)的基礎(chǔ)上，均在開始階段出現(xiàn)了明顯的震蕩波動(dòng)，相比于柔性臂桿2，剛性臂桿1的波動(dòng)更明顯；而末端振動(dòng)曲線在關(guān)節(jié)柔性影響下的改變更大，在開始階段出現(xiàn)了將近6mm的大幅值曲線震蕩，且曲線為多頻率波形疊加狀態(tài)，然后逐漸衰減，在5s左右變?yōu)榉?mm、頻率4Hz左右的穩(wěn)定正弦曲線。

根據(jù)仿真結(jié)果并結(jié)合關(guān)節(jié)柔性模型，可分析得：由于考慮了關(guān)節(jié)柔性，在啟動(dòng)階段關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角響應(yīng)電機(jī)驅(qū)動(dòng)時(shí)，關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角會(huì)出現(xiàn)大幅度的擺動(dòng)，然后擺動(dòng)幅度逐漸衰減直至平穩(wěn)運(yùn)轉(zhuǎn)，而且此情況對(duì)剛性臂桿轉(zhuǎn)角的影響較大；末端振動(dòng)位移方面，同樣是由于啟動(dòng)階段關(guān)節(jié)處的擺動(dòng)，才出現(xiàn)了振動(dòng)，所以出現(xiàn)了開始階段波形為不同頻率波形疊加，而一段時(shí)間后恢復(fù)單一頻率波形的情況。上述結(jié)果與分析說(shuō)明了關(guān)節(jié)柔性會(huì)直接影響兩關(guān)節(jié)柔性機(jī)械臂的仿真結(jié)果，在對(duì)其模型建立時(shí)是否考慮關(guān)節(jié)柔性十分必要。

2 基于正交試驗(yàn)的柔性臂振動(dòng)測(cè)量

2.1 實(shí)驗(yàn)裝置

為了驗(yàn)證模型的準(zhǔn)確性，并進(jìn)一步探究柔性機(jī)械臂的振動(dòng)特性，設(shè)計(jì)基于壓電材料的柔性機(jī)械臂振動(dòng)測(cè)量系統(tǒng)。選定長(zhǎng)300mm，寬15mm，厚1mm的不銹鋼材料作為柔性臂桿；選定長(zhǎng)200mm，寬15mm，厚6mm的碳鋼作為剛性臂桿；考慮速度控制和系統(tǒng)成本，選擇步進(jìn)電機(jī)作為驅(qū)動(dòng)電機(jī)；根據(jù)臂桿質(zhì)量以及轉(zhuǎn)動(dòng)速度，選擇輸出力矩為2.3N·m的57步進(jìn)電機(jī)(下文簡(jiǎn)述為大電機(jī))作為連接底座與剛性臂桿關(guān)節(jié)的驅(qū)動(dòng)電機(jī)；選擇輸出力矩為0.46N·m的42步進(jìn)電機(jī)(下文簡(jiǎn)述為小電機(jī))作為連接剛性臂桿與柔性臂桿關(guān)節(jié)的驅(qū)動(dòng)電機(jī)，并為兩電機(jī)配備普菲德生產(chǎn)的DM542驅(qū)動(dòng)器及型號(hào)為KH-01的控制器。

根據(jù)柔性機(jī)械臂尺寸，選擇22mm×19.5mm的矩形PZT壓電陶瓷單晶片作為傳感片， 極板面積為18mm×18mm，壓電片兩表面極板之間的距離d=0.12mm；壓電常數(shù)d31=220×10-12C/N。為了對(duì)其一階模態(tài)情況下的振動(dòng)情況進(jìn)行準(zhǔn)確測(cè)量，在距離柔性臂桿固定處30mm的位置進(jìn)行壓電片的粘貼[10]，裝置示意圖如圖10所示。

圖10 機(jī)械臂實(shí)物圖

選擇NI公司的USB-6003數(shù)據(jù)采集卡作為采集器件，在LabVIEW平臺(tái)上編寫程序控制采集卡進(jìn)行采集。查閱相關(guān)資料可知，除特殊要求外，一般的柔性機(jī)械臂的角速度在10(°)/s～30(°)/s之間，為貼近工程實(shí)際，選擇20(°)/s作為角速度進(jìn)行研究；而步進(jìn)電機(jī)的轉(zhuǎn)速由細(xì)分、驅(qū)動(dòng)脈沖頻率以及步距角共同決定，具體關(guān)系為

ω=fqθb/nx

(16)

式中：ω為轉(zhuǎn)動(dòng)角速度，單位為(°)·s-1；fq為電機(jī)驅(qū)動(dòng)脈沖頻率，即每秒輸出的脈沖數(shù)；θb為電機(jī)步距角，nx為電機(jī)細(xì)分?jǐn)?shù)。電機(jī)細(xì)分?jǐn)?shù)一般為2的倍數(shù)，為保證基本轉(zhuǎn)動(dòng)精度要求，細(xì)分一般設(shè)定為32、64、128等高細(xì)分。

從上述參數(shù)設(shè)置可知，存在各電機(jī)轉(zhuǎn)速、各電機(jī)細(xì)分以及各電機(jī)驅(qū)動(dòng)頻率等大量變量，若一一對(duì)應(yīng)組合，會(huì)產(chǎn)生大量的實(shí)驗(yàn)組數(shù)，逐一試驗(yàn)的話，耗時(shí)巨大，且意義不大。針對(duì)上述情況，擬采用正交試驗(yàn)的方法設(shè)計(jì)試驗(yàn)方案，在進(jìn)行盡可能少的實(shí)驗(yàn)次數(shù)的前提下，探究盡可能多的影響振動(dòng)特性的參數(shù)變量，減少工作量。

2.2 正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)

正交試驗(yàn)是研究多重影響參數(shù)的一種快速、便捷且有效的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)方法。為了設(shè)計(jì)探究剛?cè)狁詈舷碌娜嵝詸C(jī)械臂振動(dòng)特性的正交試驗(yàn)方案，首先需要確定試驗(yàn)中的參數(shù)變量以及各變量可設(shè)定的參數(shù)值。根據(jù)上節(jié)機(jī)械臂設(shè)置情況可知，每次測(cè)量給定總的角速度之后，還需要設(shè)定電機(jī)速度、電機(jī)細(xì)分以及電機(jī)驅(qū)動(dòng)頻率，具體為剛性臂桿的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度ω1、大電機(jī)細(xì)分nx1、驅(qū)動(dòng)頻率fq1、柔性臂桿的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度ω2、小電機(jī)細(xì)分nx2以及驅(qū)動(dòng)頻率fq2。上述6個(gè)變量為待設(shè)定參數(shù)，但根據(jù)公式(16)可知，角速度、細(xì)分和驅(qū)動(dòng)脈沖三者中已知兩個(gè)便可確定另外一個(gè)量，所以，待定參數(shù)為4個(gè)；此外，為了保證實(shí)驗(yàn)組的對(duì)照性，并使實(shí)驗(yàn)更貼近實(shí)際，同上節(jié)，規(guī)定總的角速度為20(°)/s，此時(shí)，大小電機(jī)的角速度確定其中一個(gè)電機(jī)的角速度，便可知另一個(gè)電機(jī)的角速度，綜上所述，待定參數(shù)數(shù)量為3個(gè)，也就是3個(gè)因素。由于細(xì)分的有限種類以及總角速度的確定，在上述六個(gè)參數(shù)中，選定大小電機(jī)的細(xì)分?jǐn)?shù)nx1、nx2作為待定參數(shù)，并在大小電機(jī)角速度中，選定小電機(jī)角速度ω2為待定參數(shù)。

根據(jù)步進(jìn)電機(jī)特性可知， 過(guò)低的細(xì)分在電機(jī)運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)會(huì)產(chǎn)生過(guò)大的顫振和抖動(dòng)，所以實(shí)際應(yīng)用中不常采用過(guò)低的細(xì)分設(shè)置，據(jù)此，選取32、64、128作為nx1、nx2因素的三個(gè)水平。 根據(jù)20(°)/s的總角速度并考慮實(shí)驗(yàn)對(duì)照性， 選取5(°)/s、10(°)/s、15(°)/s作為ω2因素的三個(gè)水平，選擇L9正交試驗(yàn)表進(jìn)行試驗(yàn)方案設(shè)計(jì)，具體如表1所示。

3 基于小波變換的時(shí)頻譜分析

3.1 時(shí)域結(jié)果

測(cè)量的初始條件為：將柔性臂桿轉(zhuǎn)動(dòng)至剛性臂桿的直線延長(zhǎng)線位置，作為初始位置；設(shè)定兩步進(jìn)電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)方向一致；同時(shí)啟動(dòng)大小電機(jī)，采樣時(shí)間設(shè)為10s，采樣率設(shè)為1k；按照表1參數(shù)分別設(shè)置并進(jìn)行9組實(shí)驗(yàn)，得到9組原始時(shí)域信號(hào)；由于電機(jī)電源的干擾，需要對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行去噪，利用Matlab進(jìn)行低通濾波處理，截止頻率選擇45Hz，得到最終結(jié)果如圖11所示。

表1 正交試驗(yàn)表

(a) 第1、2、3組結(jié)果

(b) 第4、5、6組結(jié)果

(c) 第7、8、9組結(jié)果圖11 第1～9組測(cè)量結(jié)果

從圖11從可以看出，9組情況下的柔性機(jī)械臂振動(dòng)，均呈現(xiàn)出先大幅值震蕩然后逐漸衰減至穩(wěn)定小幅值振動(dòng)的趨勢(shì)，與圖9考慮關(guān)節(jié)柔性的振動(dòng)仿真曲線趨勢(shì)相同，說(shuō)明了考慮關(guān)節(jié)柔性建立的模型較為準(zhǔn)確，能夠仿真柔性機(jī)械臂的實(shí)際振動(dòng)情況。除此之外，從圖11中還可看出，三組不同設(shè)置下的振動(dòng)，雖然總體趨勢(shì)是一致的，但是振動(dòng)幅值、穩(wěn)定時(shí)間以及衰減時(shí)間等都是不同的。為探究不同參數(shù)設(shè)置下的剛?cè)狁詈蠙C(jī)械臂振動(dòng)特征，需要進(jìn)一步對(duì)信號(hào)進(jìn)行處理，去探究影響其振動(dòng)特性的參數(shù)量是哪些，以及它們之間的影響關(guān)系。

3.2 小波變換及分析

小波分析是時(shí)頻分析方法的一種，不僅能得到信號(hào)的頻率組成，還可以得到不同頻率在不同時(shí)間下的強(qiáng)度大小。小波分析的時(shí)頻分辨能力與其頻率分解尺度有關(guān)，并且，低頻信號(hào)成分的時(shí)間分辨能力較強(qiáng)，高頻信號(hào)成分的頻率分辨能力強(qiáng)[12]。根據(jù)測(cè)量信號(hào)的頻譜圖可知，測(cè)量信號(hào)屬于低頻信號(hào)，為了在保證時(shí)間分辨能力的同時(shí)提高頻率分辨能力，采用f/2048的頻率分解尺度，對(duì)信號(hào)進(jìn)行小波變換，得到的時(shí)頻譜結(jié)果如圖12所示。

(a)第1、2、3組時(shí)頻譜結(jié)果

(b)第4、5、6組時(shí)頻譜結(jié)果

(c)第7、8、9組時(shí)頻譜結(jié)果圖12 第1～9組時(shí)頻譜結(jié)果

如圖12時(shí)頻譜結(jié)果所示，其中橫坐標(biāo)為時(shí)間，縱坐標(biāo)為頻率，譜中每一點(diǎn)的顏色由該點(diǎn)對(duì)應(yīng)時(shí)刻下，對(duì)應(yīng)頻率的強(qiáng)度確定，顏色亮暗程度與信號(hào)強(qiáng)度的關(guān)系如時(shí)頻譜右側(cè)的能量條所示，信號(hào)的強(qiáng)度大小與振動(dòng)幅值相關(guān)，強(qiáng)度越大，振動(dòng)幅值就越大。從時(shí)頻譜中可以看出，每幅譜在6Hz、9Hz左右處均明顯存在兩條高強(qiáng)度區(qū)域頻帶，且在前幾秒處，存在由大強(qiáng)度逐漸衰減的衰減段；在后幾秒處，存在強(qiáng)度變化較小的平穩(wěn)段。

為更具體地對(duì)這兩種頻率信號(hào)成分進(jìn)行分析，采用類間方差確定衰減段與平穩(wěn)段的分界點(diǎn)。設(shè)每條頻帶區(qū)域內(nèi)t時(shí)刻fHz信號(hào)的強(qiáng)度為B(t,f)，其中，0s

(17)

衰減段、平穩(wěn)段內(nèi)的強(qiáng)度均值為

(18)

分界時(shí)間為t0時(shí)的類間方差為

(19)

將t0遍歷0～10，定義得到最大類間方差的t0為最終分界時(shí)間T，即

(20)

確定分界時(shí)間之后，定義衰減段中的最大強(qiáng)度B1、平穩(wěn)段的強(qiáng)度平均值B2為振動(dòng)特征、最大強(qiáng)度B1對(duì)應(yīng)的頻率F為頻帶頻率。

按照上述定義，提取每幅譜中每條頻帶的衰減段最大強(qiáng)度、平穩(wěn)段強(qiáng)度以及兩階段的轉(zhuǎn)換時(shí)間點(diǎn)作為振動(dòng)特征，具體值如表2所示，結(jié)果保留兩位小數(shù)。

表2 第1～9組振動(dòng)特征值

從表2可以看出，頻帶的頻率基本固定在5.86Hz和9.03Hz，并且，除第3組外，5.86Hz頻帶的衰減段最大強(qiáng)度均大于9.03Hz的強(qiáng)度，由此說(shuō)明振動(dòng)信號(hào)由5.86Hz、9.03Hz成分組成，且5.86Hz為主成分；觀察分界時(shí)間，可看出5.86Hz、9.03Hz頻帶衰減段基本在4～5s、2～3s結(jié)束，且1～9組整體趨勢(shì)從高逐漸減小，結(jié)合表1可判斷電機(jī)轉(zhuǎn)速對(duì)進(jìn)入平穩(wěn)階段的時(shí)間有一定影響，并且小電機(jī)的轉(zhuǎn)速越大、或者大電機(jī)的轉(zhuǎn)速越小，振動(dòng)進(jìn)入平穩(wěn)階段的時(shí)間越早。

此外，兩頻帶的衰減段最大強(qiáng)度變化與平穩(wěn)段最大強(qiáng)度變化基本同步，說(shuō)明細(xì)分和轉(zhuǎn)速對(duì)其作用影響規(guī)律基本相同，結(jié)合表1對(duì)其影響進(jìn)行分析。對(duì)比1、2、3組結(jié)果可看出，兩電機(jī)細(xì)分相同時(shí)，隨著電機(jī)細(xì)分的增大，兩頻帶衰減段、平穩(wěn)段的強(qiáng)度均有所下降；而大電機(jī)為128細(xì)分的3、5、7組結(jié)果，相對(duì)于小電機(jī)為128細(xì)分的3、6、9組結(jié)果，其衰減段最大強(qiáng)度較??；說(shuō)明電機(jī)細(xì)分越小，引起的振動(dòng)強(qiáng)度就越大，并且大電機(jī)細(xì)分的影響較大。對(duì)比1～3、4～6、7～9組結(jié)果可看出，小電機(jī)轉(zhuǎn)速越小，也就是大電機(jī)轉(zhuǎn)速越大，引起的振動(dòng)強(qiáng)度越大。觀察表2，振動(dòng)強(qiáng)度最小的為第3組，其細(xì)分最小，但大電機(jī)轉(zhuǎn)速較大；強(qiáng)度最大為第1組，其細(xì)分最大，但大電機(jī)轉(zhuǎn)速同樣較大，說(shuō)明相比于轉(zhuǎn)速的影響，電機(jī)細(xì)分對(duì)振動(dòng)強(qiáng)度的影響較大。

4 總結(jié)

本文采用拉格朗日方程及假定模態(tài)法對(duì)剛?cè)醿申P(guān)節(jié)機(jī)械臂進(jìn)行了建模，并考慮關(guān)節(jié)柔性對(duì)模型進(jìn)行了優(yōu)化，利用實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了考慮關(guān)節(jié)柔性的必要性。選取臂桿轉(zhuǎn)速以及電機(jī)細(xì)分配置作為因素設(shè)計(jì)正交試驗(yàn)，并對(duì)測(cè)量結(jié)果進(jìn)行小波變換，探究了其振動(dòng)特性；定義了衰減段強(qiáng)度等多個(gè)信號(hào)特征，通過(guò)對(duì)比多組結(jié)果，得到了不同因素對(duì)振動(dòng)特性的影響關(guān)系，為機(jī)械臂配置提供了可靠的參考。