高中數(shù)學(xué)不等式恒成立問(wèn)題解題思路探究

摘?要：隨著我國(guó)教育事業(yè)的不斷發(fā)展，對(duì)高中生的數(shù)學(xué)素質(zhì)要求進(jìn)一步的提升，不等式的恒成立問(wèn)題在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中占據(jù)重要的地位，也是實(shí)際學(xué)習(xí)的重難點(diǎn)，不僅是對(duì)學(xué)生“不等式計(jì)算”思維的一種培養(yǎng)，還能將其運(yùn)用到實(shí)際生活當(dāng)中。教師要充分研究解題思路，使學(xué)生掌握的解題方法，讓學(xué)生能夠又準(zhǔn)又快的解決實(shí)際問(wèn)題。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);不等式恒成立;解題思路;探究

一、 前言

不等式的恒成立問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，也是高考的重要考點(diǎn)，它不僅可以對(duì)學(xué)生進(jìn)行單獨(dú)的知識(shí)點(diǎn)考查，還可與函數(shù)、方程等部分重點(diǎn)內(nèi)容進(jìn)行綜合的考查，學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中存在難度。因此在解題思路上教師和學(xué)生要善于總結(jié)，將之前學(xué)習(xí)過(guò)的知識(shí)與本節(jié)課的學(xué)習(xí)進(jìn)行充分的聯(lián)系，從而找出適合自己的解題方式。不等式的解題具有一定的規(guī)律和技巧，只要學(xué)生扎實(shí)地掌握不等式恒成立的相關(guān)知識(shí)和概念，并且將與之有關(guān)系的數(shù)學(xué)知識(shí)靈活地運(yùn)用，就能夠有效地提升學(xué)生的解題速度和準(zhǔn)確率。

二、 不等式恒成立問(wèn)題教學(xué)的意義

（一）能夠利用不等式恒成立問(wèn)題求解函數(shù)的最值問(wèn)題

運(yùn)用不等式的恒成立問(wèn)題來(lái)求解函數(shù)的最值問(wèn)題，是高中生普遍愿意采用的一種方式，在實(shí)際的解題過(guò)程當(dāng)中，不僅能夠幫助學(xué)生理清解題的思路，還可以提高學(xué)生的解題技巧和能力，讓學(xué)生的正確率有所提高。

【例1】?已知函數(shù)f（x）=12ax2+（1-a）x-lnx，a∈R，（1）討論f（x）的單調(diào)性（2）若a∈（-∞，-1），設(shè)g（x）=xex-x-lnx+a，證明：x1∈（0，2]。存在x2∈（0，+∞），使f（x1）-g（x2）>2-ln2，第一問(wèn)答案略，第二問(wèn)解題步驟如下：

由題意得f（x）min-g（x）min>2-ln2

由（1）可知，當(dāng)a<-1，x∈（0，2]時(shí)，f（x）min{f（-1/a），f（2）}

f（-1/a）-f（2）=-ln（-1/a）-1/2a-1+ln2

令h（x）=-lnx+12x-1+ln2，x∈（0，1），h′（x）=x-22x<0，故h（x）在（0，1）上是減函數(shù)，有h（x）>h（1）=ln2-1/2=ln4/e>0，所以f（-1/a）>f（2），從而 f（x）min=2-ln2。

g（x）=xex-x-lnx+a，x∈（0，+∞），則g′（x）=（x+1）（ex-1/x）

令G（x）=ex-1/x，顯然G（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)

且G（1/2）=e-2<0，g（1）=e-1>0，

所以存在x0∈（1/2，1）使G（x0）=ex0-1/x0=0，且g（x）在（0，x0）上是減函數(shù)，在（0，+∞）上是增函數(shù)，

g（x）min=g（x0）=x0ex0-x0-lnx0+a=1+a<0

所以g（x）min+2-ln2=1+a+2-ln2<2-ln2

所以f（x）min>g（x）min+2-ln2，命題成立

（二）能夠利用不等式恒成立問(wèn)題解決參數(shù)取值的問(wèn)題

參數(shù)范圍問(wèn)題是高考的必考題，這類(lèi)問(wèn)題涉及的知識(shí)點(diǎn)多，思考轉(zhuǎn)化比較困難，在具體的解題過(guò)程中，學(xué)生會(huì)運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)等方法來(lái)求參數(shù)的取值范圍，很多時(shí)候，也可運(yùn)用不等式恒成立的方式能夠?qū)?wèn)題簡(jiǎn)單化，提高學(xué)生的解題效率。

【例2】?已知函數(shù)f（x）=e-x-ax（a∈R）（1）當(dāng)a=-2時(shí)，求函數(shù)f（x）的極值;（2）若ln[e（x+1）]≥2-f（-x）對(duì)任意的x∈[0，+∞）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。第一問(wèn)答案略，第二問(wèn)解題過(guò)程如下，

（2）因?yàn)閒（x）=e-x-ax，

所以f（-x）=ex+ax，

又因?yàn)閘n[e（x+1）]≥2-f（-x）對(duì)任意的x∈[0，+∞）成立。

所以ln[e（x+1）]≥2-ex-ax對(duì)任意的x∈[0，+∞）成立。

即ex+ax+ln（x+1）-1≥0對(duì)任意的x∈[0，+∞）成立。

引入函數(shù)g（x）=ex+ax+ln（x+1）-1（x≥0），

所以g′（x）=ex+a+1/（x+1），

令g′（x）=0，則ex+a+1/（x+1）=0

引入函數(shù)p（x）=ex+1/（x+1），則p′（x）=ex-1/（x+1）2。

所以當(dāng)x≥0的時(shí)候，p′（x）≥0，

所以函數(shù)p（x）在區(qū)間[0，+∞）上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)x=0時(shí)，p（x）min=p（0）=2。

討論：當(dāng)-a≤2，即a≥-2時(shí)，g′（x）≥0，此時(shí) g（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增。

所以ex+a×0+ln（0+1）-1≥0。

所以a≥-2。滿(mǎn)足題設(shè)：

當(dāng)-a>2，即a<-2時(shí)，存在唯一實(shí)數(shù)x0，使g′（x0）=0。且分析知，當(dāng)0≤x

又因?yàn)椋篻（0）=0。

當(dāng)0

綜上，所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-2，+∞）。

三、 高中數(shù)學(xué)不等式恒成立問(wèn)題解決和教學(xué)中出現(xiàn)的問(wèn)題

（一）學(xué)生對(duì)之前所學(xué)的知識(shí)回憶不起來(lái)，影響解題思路

在解決不等式恒成立問(wèn)題時(shí)，要求學(xué)生不僅要熟練掌握不等式的相關(guān)知識(shí)，還要對(duì)之前的知識(shí)能夠及時(shí)地提取。在實(shí)際解題過(guò)程中，很多學(xué)生由于之前所學(xué)知識(shí)不扎實(shí)，導(dǎo)致學(xué)生浪費(fèi)了大量的時(shí)間去思考解題思路，不知道如何下手，往往都是做到一半就不知道該怎么去做了，導(dǎo)致做題時(shí)間大大增加，效率低下。

（二）學(xué)生不愿意動(dòng)腦

不等式恒成立問(wèn)題，需要學(xué)生有很清晰的解題思路，但是大多數(shù)學(xué)生普遍認(rèn)為這一類(lèi)問(wèn)題比較煩瑣，很多時(shí)候做成“爛尾樓”，效益不高，浪費(fèi)時(shí)間，導(dǎo)致很多學(xué)生不愿意主動(dòng)去思考，更不愿意主動(dòng)去解決這類(lèi)問(wèn)題，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力得不到有效的提升。

（三）教師的教學(xué)觀念比較落后

不等式恒成立問(wèn)題的教學(xué)，要求教師有扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)和創(chuàng)新能力，才能夠給學(xué)生講解清楚，但是在實(shí)際的教學(xué)過(guò)程中，很多教師的教學(xué)觀念比較落后，所使用的教學(xué)方法無(wú)法滿(mǎn)足學(xué)生的需要，也無(wú)法順應(yīng)教育改革的要求。受傳統(tǒng)觀念的影響，教師在教學(xué)中通常采用灌輸式，教師講的津津有味，學(xué)生聽(tīng)得一頭霧水，這樣傳統(tǒng)的教學(xué)模式很難激發(fā)學(xué)生解決問(wèn)題的興趣。另外，學(xué)生對(duì)這部分知識(shí)掌握的程度，教師沒(méi)有明確，在課堂上面對(duì)學(xué)生突如其來(lái)的問(wèn)題，容易出現(xiàn)手忙腳亂，極大降低了課堂教學(xué)的效率和效果。

（四）教師的教學(xué)能力有待提升

不等式恒成立問(wèn)題，要求教師有比較強(qiáng)的理解能力和邏輯思維能力，能夠?qū)⑴c本節(jié)課知識(shí)有關(guān)的知識(shí)進(jìn)行充分的整理，才能夠最大限度地讓學(xué)生理清解題思路。另一個(gè)方面，很多高中教師是剛來(lái)的畢業(yè)生，雖然他們有豐富的理論和專(zhuān)業(yè)知識(shí)，也能夠又快又準(zhǔn)地做出類(lèi)似的題目，但教學(xué)經(jīng)驗(yàn)不足，導(dǎo)致教師在講解的時(shí)抓不住重點(diǎn)，往往自己能夠做出來(lái)但卻講不出來(lái)，數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)不到位，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)知識(shí)理解不透把握不準(zhǔn)，解題思路也無(wú)法整理清晰，影響成績(jī)提升和綜合素質(zhì)的培養(yǎng)。

四、 高中數(shù)學(xué)不等式恒成立問(wèn)題的學(xué)習(xí)策略

（一）利用不等式恒成立的推理過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維

在課堂上，教師要給學(xué)生演示不等式恒成立問(wèn)題的推理過(guò)程，每個(gè)步驟都應(yīng)該詳細(xì)且準(zhǔn)確，教師所塑造的推理氛圍，使學(xué)生對(duì)下一步的計(jì)算有一定的想象，充分地體會(huì)教師思維方式，能夠根據(jù)教師的解題思路，自己進(jìn)行分析和適當(dāng)?shù)耐评?，形成自己?dú)特的抽象思維，并在解題過(guò)程中得以體現(xiàn)和表達(dá)，教師在引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考和分析的過(guò)程中，學(xué)生也能夠得到潛移默化的提升，不斷地促進(jìn)學(xué)生抽象思維能力的培養(yǎng)。

（二）利用已知條件，逐步進(jìn)行解題

除了上述的情況之外，還會(huì)遇到問(wèn)題比較復(fù)雜或者是不等式的形式很煩瑣的情況，學(xué)生很容易出現(xiàn)煩躁、焦慮情緒，影響學(xué)生的正常解題思路。通常來(lái)說(shuō)，不管是多復(fù)雜煩瑣的不等式，都是由幾個(gè)比較簡(jiǎn)單的不等式和一些數(shù)學(xué)關(guān)系組成，只要學(xué)生熟練地掌握不等式的相關(guān)知識(shí)，保持良好的心態(tài)，逐步進(jìn)行求解就能夠發(fā)現(xiàn)其中的內(nèi)在聯(lián)系，將已知條件進(jìn)行細(xì)分，一步一步地進(jìn)行求解，就能夠更好地對(duì)這一煩瑣復(fù)雜的不等式進(jìn)行科學(xué)的處理，同時(shí)，需要注意的是，應(yīng)用分解復(fù)雜不等式的方式來(lái)進(jìn)行解題，能夠?qū)?fù)雜的問(wèn)題分解成幾個(gè)簡(jiǎn)單的小問(wèn)題，能夠有效地降低試題的難度，提高解題的速度和正確率。

五、 不等式恒成立的幾種解題策略

（一）數(shù)形結(jié)合法

數(shù)形結(jié)合法在高中數(shù)學(xué)的應(yīng)用比較廣泛，可以將不等式兩邊的式子看成兩個(gè)函數(shù)，作出兩個(gè)函數(shù)的圖像，通過(guò)圖像上兩個(gè)函數(shù)的位置關(guān)系，在結(jié)合最初的不等式，就能夠列出相應(yīng)的關(guān)系式，為解題提供了極大的幫助，并且準(zhǔn)確性還比較高。例題3：a>0，a≠1，f（x）=x2-ax，當(dāng)x∈（-1，1）時(shí)，有f（x）<1/2恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍，根據(jù)這道題我們不難發(fā)現(xiàn)，可以求出x2-1/2

（二）分類(lèi)討論法

分類(lèi)討論是針對(duì)已知條件存在多種情況，在給出的不等式中，如果兩個(gè)變量不能夠通過(guò)恒等變形的方式進(jìn)行變形，就可以采用分類(lèi)討論的方式，需要注意的是，要充分考慮到可能出現(xiàn)的各種情況，保證討論的完整性和全面性，不重不漏。

（三）逆向思維求解法

逆向思維在不等式的恒成立問(wèn)題中運(yùn)用的也比較多，有些問(wèn)題通過(guò)常規(guī)的正向思維雖然也能夠得到最終的結(jié)果，但是問(wèn)題的分析過(guò)程和實(shí)際的求解過(guò)程卻是非常的煩瑣，不僅速度慢，還容易出現(xiàn)錯(cuò)誤，降低解題的正確率和效率，有些問(wèn)題可以使用逆向思維，能夠快速找到解題的關(guān)鍵點(diǎn)，提高解題的速度。例如在已知丨x2-4x+p丨+丨x-3丨≤5，xmax=3，求p=？根據(jù)平常思維，在解題時(shí)，先去絕對(duì)值，然后再對(duì)不等式進(jìn)行求解，最后根據(jù)條件求出p的值。我們不難發(fā)現(xiàn)，解題的步驟非常的麻煩，并且容易出現(xiàn)錯(cuò)誤，仔細(xì)觀察可以看出，題目中已經(jīng)給出了x的最大值，xmax=3，說(shuō)明3就是不等式的一個(gè)解，將x=3代入，就可以得出p=8。采用逆向思維的方式，讓學(xué)生從另一個(gè)角度思考問(wèn)題，進(jìn)一步深化對(duì)題目的理解，找出正確的解題方法，從而提高解題的速度和正確率。

六、 總結(jié)

綜上所述，不等式作為高中數(shù)學(xué)的重要組成部分之一，在學(xué)習(xí)中占據(jù)非常重要的地位，這就要求教師在平常的教學(xué)中，注重學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)，不僅要讓學(xué)生學(xué)會(huì)教材的知識(shí)點(diǎn)，還要讓學(xué)生對(duì)相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行整合，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，找到解題的思路，注重解題策略的利用，用簡(jiǎn)單的方式解決問(wèn)題，提高解題的速度和準(zhǔn)確性，促進(jìn)自我綜合能力的提升。

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作者簡(jiǎn)介：

鄭建，湖北省咸寧市，湖北省咸寧高中。