張紹華
【摘要】在運(yùn)用教材進(jìn)行教學(xué)的過(guò)程中,筆者發(fā)現(xiàn)有一些練習(xí)題不容錯(cuò)過(guò),值得深度開(kāi)發(fā),花上一節(jié)課的時(shí)間與學(xué)生們分享。這些題目是學(xué)生們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中思維的難點(diǎn)、觸發(fā)點(diǎn)和滲透點(diǎn)。用好這“一題”,以探究問(wèn)題的策略為切入點(diǎn)進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì),開(kāi)發(fā)為“一課”,讓一道題引領(lǐng)學(xué)生的思維再往前走一步。
【關(guān)鍵詞】一題一課 探究問(wèn)題 策略
一、課程開(kāi)發(fā)的背景
自學(xué)習(xí)10以內(nèi)加減法開(kāi)始,學(xué)生就不斷接觸到這樣的組題(下稱“加減題組”):
在教師的引導(dǎo)下,學(xué)生們慢慢能夠完整地表達(dá)出:第一個(gè)加的數(shù)是1,之后加的數(shù)比前一個(gè)大1,結(jié)果也一個(gè)比一個(gè)大1。后來(lái)只要學(xué)習(xí)了新的加減法計(jì)算(包括口算和筆算),從新授到練習(xí)再到復(fù)習(xí),都會(huì)有機(jī)會(huì)接觸這樣的組題,但學(xué)生并沒(méi)有機(jī)會(huì)深入體會(huì)到加減法中的這些“規(guī)律”。
仔細(xì)翻翻教材(本文以蘇教版數(shù)學(xué)教材為例),類(lèi)似的題目還真不少,下圖是一年級(jí)上冊(cè)總復(fù)習(xí)中的一道題(下稱“復(fù)習(xí)題”),當(dāng)時(shí)講解了,人人會(huì)做,可是之后再遇到這樣的問(wèn)題或是稍有變式,很多學(xué)生便不知所措,也就是說(shuō),這道題的解答只給學(xué)生留下了答案,并沒(méi)有給學(xué)生留下方法與智慧。
于是,筆者將類(lèi)似的這些題目挑選出來(lái),開(kāi)發(fā)為一節(jié)課,以期望發(fā)揮其更大的價(jià)值,引領(lǐng)學(xué)生的思維再往前走一步。
二、“一題”的選擇
教材中的練習(xí)題,其主要價(jià)值是知識(shí)的鞏固與運(yùn)用,適合開(kāi)發(fā)為“一課”的題目畢竟是少數(shù)。那么如何將這些題目遴選出來(lái)呢?筆者主要從以下三個(gè)角度考慮:
1.學(xué)生思維的難點(diǎn)
“層次性”是練習(xí)題設(shè)計(jì)的基本特征之一,既然有層次性,那么總有習(xí)題成為一部分學(xué)生的學(xué)習(xí)難點(diǎn)。一年級(jí)的學(xué)生,解決問(wèn)題的方式基本限于將所看到的條件進(jìn)行運(yùn)算,理解了一種排隊(duì)問(wèn)題了,但以后遇到排隊(duì)問(wèn)題的變式題,又無(wú)從下手了。所以雖然題目做過(guò)了,學(xué)生依然不懂不會(huì),需要教師引導(dǎo)學(xué)生深入研究,真正獲得解決問(wèn)題的方法和策略。
2.學(xué)生思維的觸發(fā)點(diǎn)
有些題目從知識(shí)的層面看并不難。例如四年級(jí)上冊(cè)有一道思考題(下稱“思考題”),按照教材的設(shè)計(jì),學(xué)生只要畫(huà)一畫(huà),觀察比較,找到其中的規(guī)律即可。但如果我們將問(wèn)題的呈現(xiàn)改一下:平面上有50個(gè)點(diǎn) (任意3個(gè)點(diǎn)不在一條直線上) ,過(guò)其中兩點(diǎn)畫(huà)一條直線,最多可以畫(huà)多少條直線?通過(guò)對(duì)這個(gè)問(wèn)題的研究,可以觸發(fā)學(xué)生對(duì)“解決復(fù)雜問(wèn)題,可以從簡(jiǎn)單想起”這一探究問(wèn)題策略的體會(huì),而不僅僅只是做了一道題、發(fā)現(xiàn)一個(gè)規(guī)律。
有些題目的價(jià)值是多元的,如果能夠找到它對(duì)高階思維的觸發(fā)點(diǎn),當(dāng)然不容錯(cuò)過(guò)。
3.學(xué)生思維的滲透點(diǎn)
根據(jù)“學(xué)習(xí)進(jìn)階”理論,學(xué)生對(duì)某一知識(shí)特別是核心的概念、知識(shí)以及實(shí)踐的認(rèn)知是一個(gè)不斷發(fā)展、完善、加深的過(guò)程,并不是在某一節(jié)課或是階段就能一步到位的。比如長(zhǎng)方體、圓柱,從一年級(jí)開(kāi)始就有了初步認(rèn)識(shí),到后面還要進(jìn)一步認(rèn)識(shí)其特征、會(huì)計(jì)算其表面積和體積。一年級(jí)上冊(cè)有這樣一題(下稱“卷紙題”):同樣一張長(zhǎng)方形紙,可以卷出不同的柱體,然而它們的容積不同(如下圖)。容積雖是六年級(jí)的內(nèi)容,是否可以借此讓一年級(jí)的學(xué)生體會(huì)一下呢?這樣的滲透,會(huì)使學(xué)生有機(jī)會(huì)帶著對(duì)相關(guān)知識(shí)的思考期待下一階段的學(xué)習(xí)。
三、“一課”的開(kāi)發(fā)
原本幾分鐘就解決的一道題,如何開(kāi)發(fā)成一節(jié)課呢?結(jié)合現(xiàn)有的題目筆者嘗試以“探究問(wèn)題的策略”為切入點(diǎn)進(jìn)行課程開(kāi)發(fā)。下面簡(jiǎn)述幾個(gè)片段,來(lái)談?wù)劰P者的設(shè)計(jì)思路與內(nèi)容開(kāi)發(fā)。
1.四年級(jí)上冊(cè)“思考題”開(kāi)發(fā)——從簡(jiǎn)單想起
老子語(yǔ):“天下難事,必作于易;天下大事,必作于細(xì)?!碑?dāng)面對(duì)復(fù)雜的問(wèn)題無(wú)從下手時(shí),不妨從簡(jiǎn)單想起。
【案例】“從何想起”教學(xué)片段——一波三折 體會(huì)策略
初次嘗試:不知從何想起
師:算一算,積的個(gè)位數(shù)字是幾?
學(xué)生嘗試解答,并提出自己的困難:100個(gè)3相乘,乘數(shù)太多,算不完;積越乘越大,計(jì)算難度越來(lái)越大;一旦有一個(gè)積算錯(cuò),就全白算了,很難保證能得到正確答案……
二次嘗試:嘗試從“幾個(gè)3”想起
師:面對(duì)這么多困難,這個(gè)問(wèn)題到底該從何想起呢?誰(shuí)能給點(diǎn)思路?
生(討論):可以先算幾個(gè)3相乘看看,有沒(méi)有什么規(guī)律;題目只要求積的個(gè)位是幾,所以每次乘的時(shí)候,只要算積的個(gè)位就可以了……
(通過(guò)嘗試,學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律,解決問(wèn)題)
再次嘗試:大膽從簡(jiǎn)單想起
師:如果把這里的3換成任意一個(gè)自然數(shù),你都能得到答案嗎?
生:能!
師:我題目還沒(méi)出呢,你們哪來(lái)的底氣就說(shuō)能呢?
生:不管是100個(gè)幾相乘,我們都可以先算幾個(gè),找到規(guī)律就能求出答案了!
【思考:100個(gè)3相乘,課程剛開(kāi)始就把學(xué)生難住了,很多學(xué)生算了一會(huì)就沒(méi)信心繼續(xù)了。也有學(xué)生執(zhí)著地算著,但也表示越算越難,還需要很多時(shí)間,一節(jié)課肯定算不完了。學(xué)生們被復(fù)雜的問(wèn)題難倒了。當(dāng)然也有學(xué)生不甘于此,想著另辟蹊徑:先少算幾個(gè)看看能不能有什么規(guī)律。這次嘗試中,學(xué)生發(fā)現(xiàn)算到第5個(gè)3,積的個(gè)位開(kāi)始重復(fù)出現(xiàn)了,算到第8個(gè)3,兩組重復(fù)數(shù)出現(xiàn)了,據(jù)此規(guī)律,原來(lái)的難題便迎刃而解了。學(xué)生突然體會(huì)到,要解決復(fù)雜的問(wèn)題,可以先從簡(jiǎn)單的角度思考。當(dāng)教師提出“如果把這里的3換成任意一個(gè)自然數(shù),你都能得到答案嗎?”學(xué)生信心滿滿,因?yàn)樗麄冇辛恕跋葟纳贁?shù)幾個(gè)算起”的好方法。】
解決新問(wèn)題:方法遷移
平面上有50個(gè)點(diǎn) (任意3個(gè)點(diǎn)不在一條直線上),過(guò)其中兩點(diǎn)畫(huà)一條直線,最多可以畫(huà)多少條直線?
【思考:既然100個(gè)3相乘可以從“幾個(gè)3相乘”想起,那么過(guò)50個(gè)點(diǎn)畫(huà)直線也可以從“過(guò)幾個(gè)點(diǎn)畫(huà)直線”想起。學(xué)生在方法遷移的過(guò)程中,體會(huì)到 “從簡(jiǎn)單想起”的策略。在應(yīng)用策略解決問(wèn)題的過(guò)程中,不僅感嘆于“從簡(jiǎn)單想起”的奇妙,也體會(huì)到之所以從簡(jiǎn)單想起可以解決復(fù)雜問(wèn)題,在于“規(guī)律”,從簡(jiǎn)單中尋求規(guī)律,再運(yùn)用規(guī)律解決復(fù)雜的問(wèn)題?!?/p>
2. 一年級(jí)上冊(cè)“卷紙題”開(kāi)發(fā)——猜想→驗(yàn)證
就數(shù)學(xué)方法論的研究而言, 就有兩種不同的研究對(duì)象: 論證 (解決問(wèn)題)的方法和猜測(cè)(發(fā)現(xiàn)問(wèn)題)的方法?!安孪搿?yàn)證”是我們探索新知常用的方法。
【案例】“誰(shuí)裝得紅豆多”教學(xué)片段——“猜想→驗(yàn)證”之現(xiàn)場(chǎng)
現(xiàn)場(chǎng)一
當(dāng)這兩個(gè)圓柱放在學(xué)生們眼前,有的學(xué)生是憑感覺(jué)、通過(guò)觀察猜的。但更多的學(xué)生是經(jīng)歷了思考的:
生1:一樣多,因?yàn)橐粋€(gè)高,但它瘦;一個(gè)矮,但它胖。就是抵消了。
生2:我也覺(jué)得一樣多,但理由和她不一樣,我覺(jué)得把那個(gè)胖胖矮矮的往上擠一擠,就和那個(gè)高高瘦瘦的一樣了。
生3:它們都是用一樣的紙卷出來(lái)的,肯定一樣多。
……
【思考:是的,學(xué)生們的結(jié)論都是錯(cuò)的,可是他們的猜想是何等珍貴,生3的回答顯然是在進(jìn)行合情推理;“把那個(gè)胖胖矮矮的往上擠一擠”,這是等積變形的思想!當(dāng)學(xué)生用她最稚嫩、樸素的語(yǔ)言觸碰到數(shù)學(xué)的本質(zhì)、核心時(shí),難道這不是最美妙的時(shí)刻嗎?現(xiàn)場(chǎng)實(shí)驗(yàn)結(jié)果,令大多數(shù)學(xué)生不得其解。他們初嘗了一種滋味:即使已是理由充分,答案也許還是錯(cuò)的。恰恰是這樣的滋味讓學(xué)生們從對(duì)結(jié)果的期待與興奮,轉(zhuǎn)向靜靜地思考。】
現(xiàn)場(chǎng)二
當(dāng)學(xué)生們目睹了兩個(gè)圓柱的實(shí)驗(yàn)結(jié)果,再討論兩個(gè)長(zhǎng)方體時(shí):
依然有學(xué)生說(shuō)一樣多,但不少學(xué)生表示:應(yīng)該是第一個(gè)長(zhǎng)方體裝得紅豆多,因?yàn)槲覀儎偛诺哪莻€(gè)實(shí)驗(yàn),就是矮矮胖胖的圓柱裝得多,所以我想,現(xiàn)在也應(yīng)該是矮矮胖胖的長(zhǎng)方體裝得多。
【思考:學(xué)生們根據(jù)實(shí)驗(yàn)的結(jié)果對(duì)自己原先的判斷進(jìn)行審視和調(diào)整。他們重視實(shí)驗(yàn)的價(jià)值,并根據(jù)實(shí)驗(yàn)中的數(shù)據(jù)進(jìn)行類(lèi)比,這無(wú)疑又是一次理性思考的突破。】
現(xiàn)場(chǎng)三
師:這次你覺(jué)得哪個(gè)裝得紅豆多?
生1:應(yīng)該一樣多,它們一樣高,也一樣胖。
生2:我覺(jué)得長(zhǎng)方體多一些,因?yàn)樗喑鏊膫€(gè)角。
生3:我也覺(jué)得一樣多,它們一樣高,你們?cè)倏?,把它們倆對(duì)在一起,長(zhǎng)方體多出了四個(gè)角,正好補(bǔ)在缺的那個(gè)彎彎的地方。
……
【思考:現(xiàn)場(chǎng)實(shí)驗(yàn)結(jié)果再一次令多數(shù)學(xué)生大跌眼鏡:明明一樣高一樣胖了呀?在這次猜想中,學(xué)生們明顯更加謹(jǐn)慎、周到了。發(fā)言的學(xué)生還請(qǐng)求老師把兩個(gè)圖形對(duì)接在一起,然后指著圖形對(duì)大家說(shuō):“你們?cè)倏?,把它們倆對(duì)在一起,長(zhǎng)方體多出了四個(gè)角,正好補(bǔ)在缺的那個(gè)彎彎的地方?!庇纱丝梢钥闯觯瑢W(xué)生有了更加理性的思考?!?/p>
現(xiàn)場(chǎng)四
學(xué)生們已經(jīng)在以上兩個(gè)環(huán)節(jié)中成功地進(jìn)行了類(lèi)比,但是當(dāng)最后一次討論,這兩個(gè)圖形(下圖左)哪個(gè)裝得紅豆多時(shí),他們都能從前一次實(shí)驗(yàn)(下圖右)中得以類(lèi)比,但還是呼吁:做實(shí)驗(yàn)!學(xué)生表示:我還是想看一下實(shí)驗(yàn)結(jié)果,才放心。
【思考:人們?cè)诳茖W(xué)探索中,何嘗不是如此,即使已是“嚴(yán)謹(jǐn)”“周密”的推理,但結(jié)論未必正確。學(xué)生們似乎隱隱覺(jué)察到這一點(diǎn)。這本身就是一種理性的思考,一種科學(xué)的精神?!?/p>
3.一年級(jí)上冊(cè)“復(fù)習(xí)題”開(kāi)發(fā)——直觀畫(huà)圖
蘇教版數(shù)學(xué)教材中,“畫(huà)圖”的策略在四年級(jí)下冊(cè)才正式亮相,其實(shí)一年級(jí)的學(xué)生就已經(jīng)有“畫(huà)圖”需求了,因?yàn)閷W(xué)生的認(rèn)知特征,他們更需要用直觀的方式幫助自己理解問(wèn)題、解決問(wèn)題。
【案例】“調(diào)皮的‘1”教學(xué)片段
“1”躲躲閃閃——初試畫(huà)圖
第一題出來(lái),有些學(xué)生無(wú)從下手:圖上“我”的后面明明只有5個(gè)人呀?還有的學(xué)生知道結(jié)果是9人,可是面對(duì)題目中的算式,不知該寫(xiě)什么;全班有4個(gè)學(xué)生畫(huà)了圖。
于是教師展示了一個(gè)學(xué)生的圖:
師:誰(shuí)能看懂他的圖?
生1:他用一個(gè)方框表示舉旗的小朋友,用8個(gè)圓圈表示后面的8個(gè)小朋友。
生2:可是書(shū)上明明只有5個(gè)小朋友???
師:是啊,書(shū)上不是有圖嗎?畫(huà)得又好看,為什么這個(gè)小朋友還要畫(huà)圖呢?
生1:他的圖沒(méi)有書(shū)上漂亮,但它很清楚。
生2:書(shū)上,有些小朋友被大樹(shù)擋住了!而他畫(huà)的圖把8個(gè)小朋友都畫(huà)出來(lái)了。
【思考:一個(gè)“清楚”道出了畫(huà)圖的價(jià)值:能夠清楚地表達(dá)數(shù)量間的關(guān)系。學(xué)生們也意識(shí)到了數(shù)學(xué)中的畫(huà)圖與色彩、美觀等非數(shù)學(xué)元素?zé)o關(guān),關(guān)鍵是要幫助我們理解數(shù)量間的關(guān)系。也正因?yàn)檫@個(gè)學(xué)生的圖,讓躲躲閃閃的“1”慢慢清晰地展現(xiàn)在學(xué)生們眼前?!?/p>
“1”清清楚楚——親近畫(huà)圖
第二題出來(lái),這次,大部分學(xué)生都畫(huà)了圖:
師:這次,你們?yōu)槭裁炊枷犬?huà)圖呢?
生1:畫(huà)圖,就能把大樹(shù)后面擋住的小朋友畫(huà)出來(lái)了。
生2:畫(huà)了圖,我就能看出,這個(gè)小男孩前面應(yīng)該有7個(gè)小朋友。
生3:大家看圖,就知道一共8人,減去說(shuō)話的這個(gè)小男孩,就是他前面的7個(gè)人了。
【思考:這個(gè)環(huán)節(jié),已無(wú)須教師過(guò)多地干預(yù),學(xué)生們自覺(jué)畫(huà)圖,體會(huì)到了畫(huà)圖的好處,并能夠結(jié)合圖,將算式中減去的“1”弄得清清楚楚?!?/p>
“1”無(wú)處可逃——迷戀畫(huà)圖
第三題亮出,學(xué)生們便開(kāi)始埋頭畫(huà)圖,只是這幅圖畫(huà)起來(lái)有些難度,學(xué)生們畫(huà)畫(huà)、數(shù)數(shù),又想想再畫(huà)畫(huà)。
意想不到的事情發(fā)生了,學(xué)生們有多種解題方法:
方法一:4+1+7=12
方法二:5+8-1=12
方法三:4+8=12
方法四:5+7=12
并且對(duì)于每一種方法,學(xué)生們都能結(jié)合圖,清楚地說(shuō)出算式的意義。
【思考:這次,學(xué)生們算是迷戀上畫(huà)圖了,不僅是獨(dú)立做題時(shí)在畫(huà)圖,列式時(shí)都在看圖,特別是后面當(dāng)小伙伴說(shuō)出那么多種方法后,學(xué)生們都在仔細(xì)看圖,試圖從中找到算式的意義。當(dāng)他們發(fā)現(xiàn),每一個(gè)算式都能在圖中獲得合理的解釋時(shí),感覺(jué)畫(huà)圖真好!】
意猶未盡一:
當(dāng)大家都在感嘆畫(huà)圖的好處時(shí),一個(gè)學(xué)生一盆涼水澆下來(lái):我不需要畫(huà)圖,也能把這題做出來(lái)!
師:你是怎么想的?
生:“從前往后數(shù),第5只是小鹿”,那我就能想象出來(lái)小鹿前面站了4只小動(dòng)物,它又說(shuō)“從后往前數(shù),第8只是小鹿”,我就能想象出來(lái)小鹿后面站了7只動(dòng)物,所以4+1+7=12(只)。
(一片掌聲又一陣安靜)
終于有一個(gè)學(xué)生說(shuō):我知道了,他是在腦子里畫(huà)圖的!
意猶未盡二:
下課了,又有一個(gè)小姑娘追過(guò)來(lái):要是后面不是8人,是很多很多人,怎么辦,畫(huà)起來(lái)太麻煩了。教師回答說(shuō):這確實(shí)是個(gè)問(wèn)題哦,你能不能想想辦法。結(jié)果當(dāng)天家庭作業(yè),她就給予了回應(yīng)(見(jiàn)下圖)。
作業(yè)講評(píng)時(shí),筆者就問(wèn)學(xué)生們:這樣畫(huà)圖行嗎?有什么好處?
學(xué)生:可以,她用數(shù)代替小圓圈,一樣看得清楚,以后要是數(shù)大了,用這個(gè)方法特別好。
【思考:至此,學(xué)生們已愛(ài)上了畫(huà)圖,可以在頭腦中畫(huà)一畫(huà),也可以用筆畫(huà)一畫(huà);可以用圖形表示,也可以用數(shù)據(jù)表示。他們?cè)谒伎贾?,如何用更?jiǎn)潔、更合理的方式理解和表達(dá)數(shù)量間的關(guān)系,從而順利地解決問(wèn)題?!?/p>
4. 一年級(jí)上冊(cè)“加減題組”開(kāi)發(fā)——多元表征
萊什認(rèn)為:學(xué)生必須同時(shí)具備以下條件才是真正理解了一個(gè)數(shù)學(xué)概念。第一, 他必須能將所學(xué)數(shù)學(xué)概念放入不同的表征系統(tǒng)之中;第二, 在給定的表征系統(tǒng)內(nèi),他能夠很好地處理這個(gè)概念;第三,他必須很精確地將此概念從一個(gè)表征系統(tǒng)轉(zhuǎn)換到另一個(gè)表征系統(tǒng)中,即在不同表征系統(tǒng)之間任意切換。因此多元表征可以促進(jìn)學(xué)生對(duì)概念的理解。
【案例】 “加減法的秘密”教學(xué)片段
(1)多元表征,讓學(xué)生再思考
8+2=? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?8+4=? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 8+7=
當(dāng)學(xué)生順利完成口算,并發(fā)現(xiàn)“一個(gè)加數(shù)是8,另一個(gè)加數(shù)越來(lái)越大,和也越來(lái)越大?!苯處熖岢觯骸澳隳芟朕k法表示出這個(gè)發(fā)現(xiàn)嗎?可以講一講故事、擺一擺圓片,也可以畫(huà)一畫(huà)圖。”
來(lái)看看學(xué)生們的表征,他們盡可能地調(diào)動(dòng)了自己的所有經(jīng)驗(yàn):
講故事——現(xiàn)實(shí)情景表征
公交車(chē)上原來(lái)有8人,上來(lái)了2人,這時(shí)有10人;如果原來(lái)還是有8人,但上來(lái)了4人,就是12人;還是原來(lái)有8人,上來(lái)了7人,一共就是15人。原來(lái)都是8人,上來(lái)的人越多,車(chē)上的總?cè)藬?shù)就越多。
擺圓片——實(shí)物操作表征
學(xué)生說(shuō)出擺圓片的過(guò)程,并強(qiáng)調(diào):每組都是8個(gè)圓片,哪組增加的圓片越多,那么這組的圓片總數(shù)就越多。
畫(huà)圖——圖像表征
學(xué)生強(qiáng)調(diào):每次都是8,加的數(shù)越大,和就越大,你們看,長(zhǎng)方形都越來(lái)越長(zhǎng)了!
符號(hào)表征
教師說(shuō):“我用‘——表示一個(gè)加數(shù)不變,用“↑”表示另一個(gè)加數(shù)越來(lái)越大,可以嗎?那么和也越來(lái)越大,怎么表示呢?”學(xué)生表示可以,并說(shuō)和越來(lái)越大也用向上的箭頭表示。雖然不是學(xué)生主動(dòng)選擇的,但他們接受了這樣的符號(hào)表征,因?yàn)樗麄冊(cè)诤髞?lái)的交流中,也會(huì)用手勢(shì)表達(dá)箭頭方向,并在減法規(guī)律研究中,用“↓”表示越來(lái)越小。
【思考:對(duì)照萊什提出的數(shù)學(xué)概念外在表征的五種形式,每次學(xué)生都會(huì)說(shuō)的“第一個(gè)加的數(shù)是1,第二個(gè)加的數(shù)比前一個(gè)大1,結(jié)果也一個(gè)比一個(gè)大1?!笔强陬^語(yǔ)言表征。可如果每次學(xué)生都停留在口頭語(yǔ)言表征層面,并不能代表也不能促進(jìn)學(xué)生真正理解概念?!氨破取彼麄冋{(diào)動(dòng)已有經(jīng)驗(yàn),嘗試多元表征,才能實(shí)現(xiàn)概念的真正理解。在上述環(huán)節(jié)中,我們看到,學(xué)生不僅能講故事,還能指出:“原來(lái)都是8人,上車(chē)的人越多,車(chē)上的總?cè)藬?shù)就越多。”擺圓片時(shí)強(qiáng)調(diào)“每組都是8個(gè)圓片,哪組增加的圓片越多,那么這組的圓片總數(shù)就越多?!碑?huà)圖時(shí)強(qiáng)調(diào)“長(zhǎng)方形都越來(lái)越長(zhǎng)了!”不是流于形式的講、擺、畫(huà),學(xué)生在表征時(shí)會(huì)積極處理這個(gè)概念?!?/p>
(2)表征轉(zhuǎn)換,促進(jìn)概念理解
當(dāng)學(xué)生交流了自己講的故事、擺的圓片后,教師指出:誰(shuí)能把講故事和擺圓片結(jié)合起來(lái),指著圓片說(shuō)說(shuō)公交車(chē)上的故事呢?于是學(xué)生一邊指著圓片,對(duì)應(yīng)地講著故事。
【思考:這是現(xiàn)實(shí)情景表征與實(shí)物操作表征的結(jié)合,也是轉(zhuǎn)換。事實(shí)證明,這種轉(zhuǎn)換能夠讓學(xué)生“更明白”。其實(shí),之前學(xué)生擺圓片時(shí)強(qiáng)調(diào)的“每組都是8個(gè)圓片,哪組增加的圓片越多,那么這組的圓片總數(shù)就越多?!边@句話更接近口頭語(yǔ)言表征,學(xué)生已經(jīng)在自覺(jué)地將其與實(shí)物操作表征進(jìn)行轉(zhuǎn)換了。在后面的環(huán)節(jié)中,學(xué)生進(jìn)行圖像表征時(shí),也會(huì)自覺(jué)地將其與現(xiàn)實(shí)情景表征(講故事)或口頭語(yǔ)言表征(強(qiáng)調(diào)“每次都是8,加的數(shù)越大,和就越大,你們看,長(zhǎng)方形都越來(lái)越長(zhǎng)了!”)或是符號(hào)表征(用手勢(shì)畫(huà)箭頭)等多種表征進(jìn)行轉(zhuǎn)換?!?/p>
在“一題一課”的課程實(shí)踐中,筆者看得到學(xué)生們的成長(zhǎng)。比如,當(dāng)他們面臨新難題時(shí),雖然不能確定是否能解決問(wèn)題,但一定會(huì)有信心進(jìn)行各種嘗試:從簡(jiǎn)單想起、畫(huà)一畫(huà)圖或是舉一些例子看看。在平時(shí),只要遇到題組練習(xí),就會(huì)忍不住多想一想:有什么特點(diǎn)、什么規(guī)律、為什么會(huì)有這樣的規(guī)律…… “一題一課”的課程開(kāi)發(fā)還在探索與實(shí)踐的路上,這一路上,師生相伴一起感受著數(shù)學(xué)的魅力,分享著思考的快樂(lè)。