數(shù)形結(jié)合思想方法在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的運用

章福枝,錢愛林

(1.咸安區(qū)實驗學(xué)校,湖北 咸寧 437005;2. 湖北科技學(xué)院 教務(wù)處,湖北 咸寧 437100)

數(shù)學(xué)思想，是數(shù)學(xué)的生命，是數(shù)學(xué)的靈魂。 中學(xué)階段常用的數(shù)學(xué)思想方法有：轉(zhuǎn)化思想、類比思想、分類討論思想、整體思想、方程思想、函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想、抽樣統(tǒng)計思想等等。這些數(shù)學(xué)思想時時刻刻滲透于中學(xué)教學(xué)中，它是提升學(xué)生數(shù)學(xué)能力的加速器。而在這些數(shù)學(xué)思想方法中，數(shù)形結(jié)合思想舉足輕重。[1～3]

數(shù)與形，本是相依倚。數(shù)無形時少直觀，形少數(shù)時難入微。我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚如是說。也就是說數(shù)學(xué)的數(shù)與形是不可分割的一個整體。正如他所言，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠聯(lián)系切莫分離。

什么是數(shù)形結(jié)合思想？

數(shù)形結(jié)合思想，即通過數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系和相互轉(zhuǎn)化來解決問題的思想方法。也就是抽象思維與形象思維的結(jié)合，以形解數(shù)，以數(shù)解形，使抽象問題具體化，復(fù)雜問題簡單化，優(yōu)化解題途徑，方便簡捷，從而使問題迎刃而解。[4]

在應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決中學(xué)數(shù)學(xué)問題的過程中，主要體現(xiàn)為以下幾種具體的方法。

一、解析法[5]

所謂解析法，就是通過選擇適當?shù)淖鴺讼?，建立?shù)與形的對立關(guān)系，進行數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化，從而實現(xiàn)了問題解決的解題方法。

解析法是雙面工具，一方面利用它可以把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，經(jīng)過計算和推理，得到相關(guān)的代數(shù)結(jié)論，從而解決幾何問題，即“以數(shù)解形”；另一方面利用它也可把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，經(jīng)過觀察和證明，得到相關(guān)的幾何結(jié)論，從而解決代數(shù)問題，即“以形解數(shù)”。

“以數(shù)解形”，使用普遍，但是關(guān)于“以形解數(shù)”，其應(yīng)用常使人覺得要碰巧才能奏效。如果我們充分地研究了代數(shù)問題的幾何意義，適當?shù)亟缀文Ｊ?，那么“以形解?shù)”還是有規(guī)律可循的。事實上，解析幾何中的一些元素(例如：直線斜率、直線截距、兩點間距離、點到直線的距離、點到平面的距離、定比分點坐標、三點共線的充要條件、圓、橢圓、拋物線、雙曲線等)大都可以作為溝通數(shù)形關(guān)系的橋梁，實現(xiàn)“數(shù)”與“形”的轉(zhuǎn)化，達到“以形解數(shù)”的目的，以下我們擇要介紹幾種“以形解數(shù)”的模式。

1.直線斜率模式[5]

[例1]，若方程|(x-1)(x-3)|=kx有四個不相同的實數(shù)根，求k的范圍。

[分析]此題若用零點區(qū)分法去掉絕對值符號后再用一元二次方程的知識討論k的范圍則繁難，若考慮引進函數(shù)通過函數(shù)的圖像關(guān)系求解則容易。

圖1

[例2]，[6]如果數(shù)x、y滿足等式(x-2)2+

圖2

[簡評]此類題目在近年高考試題中經(jīng)常出現(xiàn)，其解題快法是“以形解數(shù)”——斜率模式。

2.直線截距模式

如果待解問題涉及形如a·f(t)+b·ψ(t)的式子，可轉(zhuǎn)化為直線m=ax+by的形式，根據(jù)直線截距的幾何意義和相關(guān)約束條件研究截距變化規(guī)律，實現(xiàn)問題解決。現(xiàn)行中學(xué)數(shù)學(xué)課本中新添的“簡單的線性規(guī)劃”就是采用的這種模式。另外本文再舉一例說明。

[例3]，設(shè)x、y滿足|x-1|+|y|=2,求x-2y的最大、最小值。

圖3

[簡評]此例的解法是“以形解數(shù)” ——直線截距模式,這個解法的要點有二:一是畫出約束條件的圖形；二是求出目標函數(shù)m=ax+by的最值。

3.兩點間距離模式

圖4

4.其他模式

除上述三種常用模式外，還有幾種可用模式都可作為“以形解數(shù)”的工具，如：

空間兩點間距離模式：

二、向量法

所謂向量法就是以向量作為溝通數(shù)與形的相互關(guān)系,進行數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化的工具,運用向量知識求得問題解決的方法。

向量代數(shù)屬于現(xiàn)代數(shù)學(xué)，用它來解決數(shù)學(xué)問題有時具有較突出的簡化作用和較廣泛的使用范圍。由于向量本身兼有數(shù)與形的特征,因而它是實現(xiàn)數(shù)形轉(zhuǎn)化的得力工具。一方面,向量具有有向線段的表達方式,通過適當解釋可把形的關(guān)系式轉(zhuǎn)化為向量的關(guān)系式,即把幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題,再經(jīng)過對向量的化簡或計算實現(xiàn)問題解決;另一方面,向量又具有坐標表達式,運用恰當?shù)慕忉尶砂褦?shù)的關(guān)系式轉(zhuǎn)化為向量的關(guān)系式,即把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為向量問題,再通過對向量的運算實現(xiàn)問題解決。

[簡評]本例的向量法是利用“向量內(nèi)積的定義形式和坐標形式對應(yīng)相等”

三、復(fù)數(shù)法

所謂復(fù)數(shù)法就是以復(fù)數(shù)作為溝通數(shù)與形間的相互聯(lián)系，進行數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化，利用復(fù)數(shù)知識實現(xiàn)問題解決的解題方法。[8]

復(fù)數(shù)具有如下對應(yīng)、轉(zhuǎn)化關(guān)系：

在這些對應(yīng)下,復(fù)數(shù)的各種代數(shù)運算都有特定的幾何意義，因而，適當引入復(fù)數(shù)，利用這種對應(yīng)關(guān)系進行數(shù)形轉(zhuǎn)化，進而可以實現(xiàn)“以數(shù)解形”或“以形解數(shù)”。用復(fù)數(shù)法解題往往既簡便又快捷，但新課標中復(fù)數(shù)內(nèi)容已被淡化，故本文只略舉兩例說明復(fù)數(shù)法的應(yīng)用。

[例6]，在凸平面四邊形ABCD中，求證：AC·BD≤AB·CD+AD·BC。

[分析]把線段看作相應(yīng)復(fù)數(shù)的模，則不等式可轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)模的不等式，再用有關(guān)復(fù)數(shù)模的不等式有望解決問題。

圖5

[簡評]本題是平面幾何中的著名難題，用平面幾何方法引輔助線等很艱難，本例所給的復(fù)數(shù)證法是本題的簡潔而巧妙的證法。

當本題的四邊形ABCD內(nèi)接于圓時，所證不等式取“=”號，這就是著名的托勒密定理。

[例7]已知拋物線y=2x+1的焦點，點A在拋物線上運動,以FA為一邊作正方形FABC(F,A,B,C順時針排列)，求：(1)點C的軌跡方程；(2)點B的軌跡方程。

[分析]由已知條件，用復(fù)數(shù)來研究C點與 A點及B點與 A點的關(guān)系可能更簡便。

圖6

z3=x3+y3i=(x1+y1i)+(y1-x1i)=(x1+y1)+(y1-x1)i