基于混合整數(shù)線性規(guī)劃的塔吊選型與布置優(yōu)化

劉 猛， 黃 春， 王京京， 王文琦， 張 睿

(1. 中建三局國(guó)際工程公司(大項(xiàng)目管理)， 北京 100013； 2. 北京工業(yè)大學(xué) 建筑工程學(xué)院， 北京 100124)

建筑業(yè)作為支撐我國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的重要產(chǎn)業(yè)，其總產(chǎn)值在近5年內(nèi)的年均增長(zhǎng)率約為10.85%[1]，但建筑企業(yè)的利潤(rùn)率僅從3.48%上升到3.61%[2]。為節(jié)約建筑成本和改進(jìn)施工管理方法，建筑業(yè)提出了“數(shù)字建造”的概念。其中，以BIM技術(shù)為代表的信息集成管理平臺(tái)，在施工方案模擬分析和可視化方面應(yīng)用逐漸廣泛[3]。在模擬仿真的基礎(chǔ)上，合理優(yōu)化施工計(jì)劃能夠更大限度利用數(shù)字化工程信息的價(jià)值，從而推動(dòng)建筑企業(yè)利潤(rùn)率的提高。然而，現(xiàn)有BIM軟件主要解決建筑實(shí)體三維模型信息的儲(chǔ)存和顯示問題，缺乏施工場(chǎng)地空間的量化分析能力，使得相關(guān)優(yōu)化研究難以從中獲得詳細(xì)的量化數(shù)據(jù)。本文以群塔選型與布置優(yōu)化問題為例，說明空間量化分析在BIM技術(shù)中的應(yīng)用。

塔吊作為施工場(chǎng)地垂直運(yùn)輸?shù)暮诵脑O(shè)備，其運(yùn)行效率主要受塔吊與場(chǎng)內(nèi)設(shè)施的空間約束關(guān)系影響。塔吊選型與布置問題屬于運(yùn)籌學(xué)的二次分配問題(Quadratic Assignment Problem，QAP)[4]主要解決在保證材料運(yùn)輸效率滿足施工進(jìn)度要求的前提下，以最小成本建立施工場(chǎng)地內(nèi)材料垂直運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)(供應(yīng)點(diǎn)-塔吊-需求點(diǎn))。因此，通過優(yōu)化供應(yīng)點(diǎn)-塔吊-需求點(diǎn)的空間關(guān)系，有利于提高塔吊運(yùn)行效率。根據(jù)制造業(yè)對(duì)場(chǎng)地布置的研究，適當(dāng)?shù)膱?chǎng)地布置可以減少20%～60%的材料運(yùn)輸費(fèi)用[5]，因此優(yōu)化供應(yīng)點(diǎn)-塔吊-需求點(diǎn)的空間關(guān)系對(duì)降低建筑成本也具有較強(qiáng)促進(jìn)作用。傳統(tǒng)塔吊選型與布置方法依靠工程人員的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，通過反復(fù)調(diào)整塔吊型號(hào)和位置，才能得到相對(duì)合理的塔吊選型與布置方案[6]，決策過程和方案質(zhì)量受人員素質(zhì)和資源投入的影響很大。在大型公共建筑體量越來越大的發(fā)展趨勢(shì)[7]下，塔吊數(shù)量逐漸增多且空間約束關(guān)系愈發(fā)復(fù)雜，傳統(tǒng)方法更加難以兼顧決策效率和方案質(zhì)量的平衡，因此有必要探索更高效和精準(zhǔn)的塔吊選型與布置方法。

為彌補(bǔ)傳統(tǒng)方法的不足，相關(guān)研究人員應(yīng)用優(yōu)化算法建立一系列優(yōu)化模型對(duì)塔吊選型與布置。Zhang等[8]利用塔吊、需求點(diǎn)和供應(yīng)點(diǎn)三者間幾何關(guān)系和塔吊的速度參數(shù)，建立了塔吊運(yùn)行時(shí)間的計(jì)算模型。Tam等[9]利用遺傳算法，通過優(yōu)化塔吊和物料存儲(chǔ)點(diǎn)的位置，縮短了塔吊完成吊運(yùn)任務(wù)的時(shí)間。Yeoh和Chua[10]通過優(yōu)化塔吊的選型與布置方案來縮短塔吊運(yùn)行時(shí)間，從而減少了塔吊使用費(fèi)用。Ji和Leite[11]建立了基于BIM平臺(tái)的塔吊選型與布置方案自動(dòng)審核機(jī)制，用以檢查塔吊布置方案是否符合現(xiàn)行規(guī)范的要求。Briskorn和Dienstknecht[12]利用混合整形規(guī)劃，在考慮障礙物對(duì)塔吊影響的情況下，最小化塔吊使用費(fèi)用。上述研究，一方面缺乏施工場(chǎng)地空間的量化數(shù)據(jù)，無法精確模擬塔吊在施工場(chǎng)地的空間約束關(guān)系；另一方面僅將塔吊作為獨(dú)立運(yùn)行的運(yùn)輸工具，缺乏對(duì)塔吊工作范圍重疊區(qū)域內(nèi)吊裝任務(wù)合理分配的考慮。針對(duì)上述問題，本文基于BIM技術(shù)對(duì)施工場(chǎng)地空間進(jìn)行量化分析，并建立塔吊選型與布置的混合整數(shù)線性規(guī)劃(Mixed Integer Linear Programming，MILP)優(yōu)化模型，從而實(shí)現(xiàn)塔吊資源的合理配置。

1 施工場(chǎng)地空間量化數(shù)據(jù)

“數(shù)字建造”依賴于精確的量化數(shù)據(jù)實(shí)現(xiàn)數(shù)字化表達(dá)、分析和模擬過程，而可靠的量化數(shù)據(jù)也是優(yōu)化建模的重要條件。施工場(chǎng)地是由擬建建筑、物料堆場(chǎng)和臨時(shí)道路等相關(guān)設(shè)施組成的連續(xù)空間。但以往塔吊選型與布置優(yōu)化模型大多將場(chǎng)內(nèi)設(shè)施簡(jiǎn)單抽象為“點(diǎn)”，用以表達(dá)所在區(qū)域的位置坐標(biāo)。單純的“點(diǎn)”是一維圖形，難以表達(dá)空間體量及其拓?fù)潢P(guān)系，因此施工場(chǎng)地的BIM數(shù)據(jù)應(yīng)是能反映長(zhǎng)度、面積和體積的空間體量。此外，對(duì)空間體量的分析處理需要大規(guī)模布爾運(yùn)算，從而對(duì)電腦CPU和內(nèi)存提出極高要求[13]。為此，研究通過空間單元的有序組合，合理表達(dá)場(chǎng)地空間的體量范圍和拓?fù)潢P(guān)系，從而實(shí)現(xiàn)了連續(xù)空間的離散化表達(dá)。通過賦予離散空間單元相應(yīng)的屬性參數(shù)，可以形成包含施工場(chǎng)地空間特征的離散性量化數(shù)據(jù)，進(jìn)而建立場(chǎng)地空間單元數(shù)據(jù)庫(kù)。

場(chǎng)地空間單元數(shù)據(jù)庫(kù)的建立過程如圖1所示：(1)在施工場(chǎng)地BIM模型(圖1a)中等間距插入3 m×3 m×3 m標(biāo)準(zhǔn)單元(圖1b)，并依次為空間單元編號(hào)；(2)基于RevitPythonShell模塊作為Revit程序的數(shù)據(jù)接口，利用Python腳本建立空間單元與Excel數(shù)據(jù)單元之間的映射關(guān)系；(3)將施工場(chǎng)地單元所具有的屬性參數(shù)儲(chǔ)存在Excel的單元(圖1c)中，從而形成施工場(chǎng)地單元數(shù)據(jù)庫(kù)。以圖1d中編號(hào)117的單元為例，單元數(shù)據(jù)庫(kù)中儲(chǔ)存著每個(gè)單元的坐標(biāo)、功能、需求和起吊重量等一系列屬性參數(shù)?；趫?chǎng)地內(nèi)擬建建筑、各類設(shè)施和塔吊可選位置的分布情況，如圖1c中不同背景單元所示，將對(duì)應(yīng)位置的單元?dú)w類為建筑單元集合B、材料供給單元集合I、材料需求單元集合J、塔吊可選位置單元集合K和辦公區(qū)域單元集合W等單元集合，并最終匯總成單元總集C。

圖1 施工場(chǎng)地單元數(shù)據(jù)庫(kù)的建立過程

通過將連續(xù)施工場(chǎng)地離散化的方法，研究在BIM模型中建立了場(chǎng)地空間的離散型量化數(shù)據(jù)，從而為精確分析材料供需關(guān)系和科學(xué)配置塔吊資源創(chuàng)造了數(shù)據(jù)基礎(chǔ)。

2 塔吊布置問題的空間量化關(guān)系

依托施工場(chǎng)地的空間單元數(shù)據(jù)庫(kù)，研究通過分析塔吊與相關(guān)區(qū)域的空間量化關(guān)系建立基于MILP的優(yōu)化模型，模擬了吊裝任務(wù)最繁忙階段塔吊運(yùn)行情況，從而保證優(yōu)化結(jié)果的可行性；采用分支定界法(Branch and Bound)完成模型的求解過程，保證了優(yōu)化結(jié)果的最優(yōu)性?；谧顑?yōu)化理論，優(yōu)化模型一般由約束條件和優(yōu)化目標(biāo)兩部分組成。模型通過約束條件的限制篩選出優(yōu)化問題的所有可行解，從而形成可行域；然后利用求解算法在可行域中搜索優(yōu)化問題的最優(yōu)解。MILP的約束條件和優(yōu)化目標(biāo)中的所有關(guān)系表達(dá)式都是線性的，且相關(guān)變量同時(shí)包含整數(shù)變量和連續(xù)型變量。分支定界法是針對(duì)MILP模型的一種搜索和迭代算法，通過不斷更新目標(biāo)下界逐漸縮小搜索范圍，從而得到問題的最優(yōu)解。研究采用Python語言建立優(yōu)化模型；然利用優(yōu)化軟件Gurobi[14]實(shí)現(xiàn)分支定界法的求解過程；最后通過Python腳本和RevitPythonShell模塊，將優(yōu)化結(jié)果自動(dòng)導(dǎo)入到BIM模型中。

2.1 塔吊安全距離約束

由于塔吊吊臂具有繞塔身作圓周運(yùn)動(dòng)的運(yùn)行特點(diǎn)，塔吊布置應(yīng)考慮塔吊之間以及塔吊與鄰近設(shè)施的碰撞風(fēng)險(xiǎn)。例如，塔吊吊臂在大風(fēng)天氣應(yīng)保持能夠隨風(fēng)自由轉(zhuǎn)動(dòng)的狀態(tài)，以避免風(fēng)荷載造成過大扭矩導(dǎo)致塔吊坍塌。如果塔吊架設(shè)位置不合理，有可能導(dǎo)致其與相鄰塔吊或鄰近設(shè)施發(fā)生碰撞事故。為此，模型建立了相應(yīng)的安全距離約束條件。如圖2所示，式(1)～(3)限制了任意兩塔吊之間的距離Dk,k′與其中任意塔吊臂長(zhǎng)(Rn和Rn′)的差值，應(yīng)不小于塔吊之間最小安全距離(一般取=2 m)；式(4)(5)限制了位于單元k的塔吊到鄰近設(shè)施單元w的距離Dw,k與n型號(hào)塔吊吊臂長(zhǎng)度Rn的差值，應(yīng)不小于塔吊與鄰近設(shè)施的最小安全距離υ(υ=3 m)。

2-αk,n-αk′,n′≥1-χk,n,k′,n′，?k∈K,?n∈N,?k′∈K,?n′∈N,k≠k′

(1)

χk,n,k′,n′(Dk,k′-Rn-)≥0，?k∈K,?n∈N,?k′∈K,?n′∈N,k≠k′

(2)

χk,n,k′,n′(Dk,k′-Rn′-)≥0，?k∈K,?n∈N,?k′∈K,?n′∈N,k≠k′

(3)

(4)

ζw,k,n≥αk,n，?w∈W,?k∈K,?n∈N

(5)

式中：0-1變量αk,n為n型號(hào)塔吊存在于單元k內(nèi)；0-1變量χk,n,k′,n′為n和n′型號(hào)兩塔吊同時(shí)分別存在于k和k′兩單元內(nèi)；Dk,k′為位于k和k′兩單元內(nèi)的兩臺(tái)塔吊之間的距離；Rn和Rn′分別為位于k和k′兩單元內(nèi)的兩臺(tái)塔吊的臂長(zhǎng)；為塔吊之間最小安全距離；0-1變量ζw,k,n為位于單元k的n型號(hào)塔吊與鄰近設(shè)施單元w滿足最小安全距離的要求；Dw,k為位于單元k的塔吊到鄰近設(shè)施單元w的距離；υ為塔吊與鄰近設(shè)施的最小安全距離。

圖2 安全因素關(guān)系示意

2.2 材料供需關(guān)系約束

塔吊是施工場(chǎng)地內(nèi)最主要的垂直運(yùn)輸工具，主要負(fù)責(zé)將施工材料從材料堆場(chǎng)(供應(yīng)點(diǎn))吊運(yùn)到作業(yè)平面(需求點(diǎn))。為避免二次轉(zhuǎn)運(yùn)影響塔吊效率[15]，供應(yīng)點(diǎn)與需求點(diǎn)通常建立直接的材料供需關(guān)系。為此，研究建立如下約束條件：

(1)塔吊的起重能力滿足材料供應(yīng)點(diǎn)與需求點(diǎn)的吊裝任務(wù)重量的要求。塔吊的起吊重量不僅受到塔吊型號(hào)控制，而且與起吊點(diǎn)到塔身的距離(小車幅度)相關(guān)。如圖3中塔吊起重特性曲線所示，塔吊的最大起吊重量隨小車幅度的增加而減小?；谠撉€，式(6)計(jì)算得出塔吊在其工作范圍內(nèi)各單元處的最大起吊重量，即圖3中單元顏色深度所示。式(7)判斷了位于單元k的n型號(hào)塔吊在供應(yīng)點(diǎn)i處的最大起吊能力Ci,k,n是否滿足該處材料吊裝重量Wi的要求(通過0-1變量δi,k,n表示判斷結(jié)果)。式(8)判斷了位于單元k的n型號(hào)塔吊能否同時(shí)滿足供應(yīng)點(diǎn)i和需求點(diǎn)j的材料吊裝重量要求(通過0-1變量εi, j,k,n表示判斷結(jié)果)。

圖3 塔吊起吊重量與小車幅度的關(guān)系

Ci,k,n=fn(Di,k)，?i∈I∪J,?k∈K,?n∈N

(6)

(7)

3-δi,k,n-δj,k,n-αk,n≥1-εi, j,k,n，?i∈I,?j∈J,?k∈K

(8)

式中：Ci,k,n為位于單元k的n型號(hào)塔吊在單元i處的最大起吊能力；Di,k為單元i到塔吊所在單元k的距離；Wi為塔吊在其工作范圍內(nèi)各單元處的最大起吊重量；0-1變量δi,k,n為位于單元的型號(hào)塔吊在單元處的最大起吊能力是否滿足該處材料吊裝重量的要求；0-1變量εi, j,k,n為位于單元k的n型號(hào)塔吊能否同時(shí)滿足供應(yīng)點(diǎn)i和需求點(diǎn)j的材料吊裝重量要求。

(2)塔吊的位置分布應(yīng)考慮，材料供應(yīng)點(diǎn)與需求點(diǎn)對(duì)應(yīng)種類材料的運(yùn)輸任務(wù)僅通過一臺(tái)塔吊獨(dú)立完成。式(9)(10)保證了供應(yīng)點(diǎn)可以為需求點(diǎn)提供所需對(duì)應(yīng)種類的材料。式(11)(12)保證了每個(gè)供應(yīng)點(diǎn)與需求點(diǎn)之間的材料吊運(yùn)任務(wù)可以僅由一臺(tái)塔吊獨(dú)立完成。

2-λi,m-φj,m≥1-φi, j,m，?i∈I,?j∈J,?m∈M

(9)

(10)

2-εi, j,k,n-φi, j,m≥1-γi,j,k,m,n，?i∈I,?j∈J,?k∈K,?m∈M,?n∈N

(11)

(12)

式中：0-1變量λi,m為需求點(diǎn)j需要材料m；0-1變量φj,m為供應(yīng)點(diǎn)i可以提供材料m；0-1變量φi, j,m為供應(yīng)點(diǎn)i可以為需求點(diǎn)j提供材料m；γi, j,k,m,n為位于單元k的n型號(hào)塔吊可以將材料m從供應(yīng)點(diǎn)i吊運(yùn)到需求點(diǎn)j。

2.3 吊裝任務(wù)分配約束

對(duì)于塔吊布置問題，相鄰塔吊工作范圍難免存在重疊區(qū)域，因此需要其共同完成該區(qū)域的材料吊裝任務(wù)。單臺(tái)塔吊在單位時(shí)間內(nèi)所能完成的吊裝任務(wù)量(理論吊次)是有限的，通過合理分配重疊區(qū)域內(nèi)材料吊裝任務(wù)量，可以在一定程度上提高塔吊完成吊裝任務(wù)的能力，并提高塔吊應(yīng)對(duì)吊裝任務(wù)量變化的能力。為保證塔吊能在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成全部材料吊裝任務(wù)，模型建立了理論吊次的評(píng)估方法和材料吊裝任務(wù)分配機(jī)制，并建立了每臺(tái)塔吊實(shí)際吊次不大于理論吊次的限制條件。由此，研究模擬了施工最繁忙階段的材料吊裝任務(wù)量分布情況下塔吊吊裝作業(yè)的執(zhí)行情況，從而保證塔吊選型與布置方案在其他任意時(shí)刻的可行性。

塔吊理論吊次不僅受塔吊機(jī)械性能(型號(hào))的影響，而且與塔吊、供應(yīng)點(diǎn)和需求點(diǎn)的位置關(guān)系有關(guān)。研究基于塔吊工作范圍內(nèi)吊裝作業(yè)的平均運(yùn)行時(shí)間，建立塔吊理論吊次的評(píng)估方法。式(13)通過對(duì)比單元i到塔吊所在單元k的距離Di,k與n型號(hào)塔吊臂長(zhǎng)Rn，判斷該單元是否處在塔吊工作范圍內(nèi)(通過0-1變量βi,k,n表示判斷結(jié)果)。式(14)判斷了供給點(diǎn)i和需求點(diǎn)j是否同時(shí)處在單元k處的n型號(hào)塔吊的工作范圍內(nèi)(0-1變量ωi, j,k,n表示判斷結(jié)果)?；谒豕ぷ鞣秶鷥?nèi)供應(yīng)點(diǎn)與需求點(diǎn)的分布情況，即0-1變量ωi, j,k,n的取值情況，式(15)計(jì)算得到位于單元k處的n型號(hào)塔吊工作范圍內(nèi)所有可能吊裝作業(yè)的平均運(yùn)行時(shí)間MTk,n。基于吊裝作業(yè)的平均運(yùn)行時(shí)間，式(16)計(jì)算了單元k處的n型號(hào)塔吊的理論吊次Fk,n。

(13)

2-βi,k,n-βj,k,n≥1-ωi, j,k,n，?i∈I,?j∈J,?k∈K,?n∈N

(14)

(15)

(16)

式中：0-1變量βi,k,n和βj,k,n分別為單元i和單元j處在位于單元k的塔吊的工作范圍內(nèi)；0-1變量ωi, j,k,n為供給點(diǎn)i和需求點(diǎn)j是否同時(shí)處在單元k處的n型號(hào)塔吊的工作范圍內(nèi)；Ti, j,k,n為位于單元k處的n型號(hào)塔吊從供給點(diǎn)i運(yùn)行到需求點(diǎn)j的時(shí)間(基于Zhang等[8]的研究)；MTk,n為位于單元k處的n型號(hào)塔吊工作范圍內(nèi)所有可能吊裝作業(yè)的平均運(yùn)行時(shí)間；WT為塔吊每日工作時(shí)長(zhǎng)，數(shù)字2表示塔吊往復(fù)作業(yè)的實(shí)際運(yùn)行狀態(tài)。

為了模擬塔吊對(duì)每個(gè)吊裝任務(wù)的執(zhí)行情況，研究假設(shè)相鄰塔吊可以共同完成某需求點(diǎn)對(duì)某類材料的吊裝任務(wù)量，并由此建立吊裝任務(wù)分配機(jī)制。式(17)～(19)通過建立0-1變量γi, j,k,m,n與整數(shù)變量Si, j,k,m,n的映射關(guān)系，使得模型可以反映塔吊任意吊裝作業(yè)的執(zhí)行路線(從某供應(yīng)點(diǎn)到某需求點(diǎn))和執(zhí)行次數(shù)，從而建立了材料吊裝任務(wù)量在塔吊之間的分配機(jī)制。式(20)限制了位于k單元n型號(hào)塔吊的實(shí)際吊次不大于其理論吊次Fk,n。

Si, j,k,m,n≥γi, j,k,m,n，?i∈I,?j∈J,?k∈K,?m∈M,?n∈M

(17)

Si, j,k,m,n≤γi, j,k,m,nN，?i∈I,?j∈J,?k∈K,?m∈M,?n∈M

(18)

(19)

(20)

式中：整數(shù)變量Si, j,k,m,n為位于k單元n型號(hào)塔吊將材料m從供應(yīng)單元i到需求單元j的次數(shù)；Qj,m為需求單元j所需物料m的數(shù)量；Hm為塔吊平均每次吊運(yùn)物料m的數(shù)量；「?表示向上取整。

2.4 塔吊布置優(yōu)化目標(biāo)

在施工企業(yè)不斷尋求節(jié)約建筑成本的背景下，塔吊成本是衡量塔吊選型與布置方案優(yōu)劣的關(guān)鍵指標(biāo)。塔吊成本的計(jì)算方法如式(21)所示。

(21)

式中：Φn為n型號(hào)塔吊的日常費(fèi)用，包含塔吊租金、修理費(fèi)、燃料費(fèi)和人工費(fèi)等與施工周期相關(guān)的成本；Ψn為n型號(hào)塔吊的固定費(fèi)用，包含基礎(chǔ)制作費(fèi)、運(yùn)輸費(fèi)和安裝拆除費(fèi)等一次性投入；D為塔吊的使用周期。

塔吊作為施工場(chǎng)地內(nèi)最主要的垂直運(yùn)輸設(shè)備，塔吊工作范圍充分覆蓋施工作業(yè)區(qū)域有利于提高物料運(yùn)輸?shù)撵`活性。式(22)(23)通過分析作業(yè)面單元與塔吊覆蓋范圍的關(guān)系，判斷作業(yè)面單元是否至少處于一臺(tái)塔吊的工作范圍之內(nèi)。式(24)建立了塔吊覆蓋率的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)，從而形成了優(yōu)化模型的第二項(xiàng)優(yōu)化目標(biāo)。

(22)

(23)

(24)

式中：0-1變量ρi為單元i被塔吊覆蓋；Num為統(tǒng)計(jì)單元集合中的元素?cái)?shù)量。

對(duì)于單臺(tái)塔吊選型與布置問題，為了充分利用塔吊的運(yùn)輸能力，塔吊工作范圍應(yīng)盡可能完全覆蓋作業(yè)區(qū)域。但對(duì)于多臺(tái)塔吊選型與布置問題，嚴(yán)格要求塔吊工作范圍完全覆蓋作業(yè)區(qū)域，有可能導(dǎo)致高昂的塔吊成本。因此，研究基于ε約束法，求解得到塔吊成本與覆蓋率的Pareto前沿，從而分析塔吊使用成本與覆蓋率之間的影響關(guān)系。ε約束法是用于求解多目標(biāo)優(yōu)化問題的一種計(jì)算方法。該方法按照優(yōu)化目標(biāo)的重要程度，選取次要優(yōu)化目標(biāo)，通過設(shè)定理論下限的方法將其轉(zhuǎn)化為約束條件，從而保證優(yōu)化結(jié)果滿足基本工程需求；在此基礎(chǔ)上，通過最小化或最大化主要優(yōu)化目標(biāo)，得到優(yōu)化問題的理論最優(yōu)解；最終通過在一定范圍內(nèi)不斷調(diào)整次要優(yōu)化目標(biāo)理論下限的取值，得到優(yōu)化問題的最優(yōu)解集，從而建立主要優(yōu)化目標(biāo)與次要優(yōu)化目標(biāo)的Pareto前沿曲線。式(25)將塔吊成本設(shè)置為主要優(yōu)化目標(biāo)，式(26)設(shè)定了塔吊覆蓋率的理論下限。

minCost=F1(x)，x∈Ω

(25)

Coverage=F2(x)≥ε2,x∈Ω

(26)

式中：F1為與塔吊成本相關(guān)的約束集合；F2為與塔吊覆蓋率相關(guān)的約束集合；x為相關(guān)變量集合；Ω為變量可行區(qū)間；ε2為塔吊覆蓋率的理論下限。

3 模型應(yīng)用與結(jié)果分析

3.1 工程背景

研究針對(duì)優(yōu)化模型在某施工場(chǎng)地的應(yīng)用效果，分析不同優(yōu)化目標(biāo)對(duì)塔吊選型與布置最優(yōu)方案的影響關(guān)系。如圖4所示，該施工場(chǎng)地內(nèi)包含A，B，C三棟擬建建筑，單層建筑面積共計(jì)39276.5 m2，分為75個(gè)施工段(圖中編號(hào)1～75)，塔吊使用周期12個(gè)月。如圖5所示，對(duì)90000 m2的施工場(chǎng)地空間進(jìn)行離散化，共形成10000個(gè)單元(100×100)。其中包含各類單元的情況如下：建筑物單元4294個(gè)，供應(yīng)點(diǎn)單元42個(gè)，塔吊單元62個(gè)。每個(gè)施工段的材料需求狀況通過一個(gè)需求點(diǎn)單元表示，共形成75個(gè)需求點(diǎn)單元。本文以圖4中的10個(gè)施工段(4～8，14～18)為例，說明各施工段的吊裝任務(wù)量，相關(guān)數(shù)值如表1(正常任務(wù)分布)所示。研究選取了5種備選塔吊型號(hào)，相關(guān)成本指標(biāo)如表2所示。

圖4 施工場(chǎng)地及施工段劃分/m

圖5 施工場(chǎng)地BIM模型及空間單元分布

表1 部分施工段吊裝任務(wù)量

表2 塔吊參數(shù)

3.2 塔吊使用成本與覆蓋范圍的Pareto前沿

經(jīng)試算，在保證布置方案滿足所有約束條件的條件下，該施工場(chǎng)地的塔吊覆蓋率變化區(qū)間為96%～100%?；讦偶s束法，研究在此區(qū)間內(nèi)每間隔0.5%選取一個(gè)塔吊覆蓋率下限(即ε的取值)；依次將每個(gè)塔吊覆蓋率下限設(shè)為約束條件，分別最小化塔吊成本，從而得到塔吊成本與覆蓋率的Pareto前沿曲線，如圖6中實(shí)線(正常任務(wù)分布情況)所示，其中共包含12個(gè)理論最優(yōu)方案。圖中：方案P1的塔吊使用成本為364.3萬元，覆蓋率96.18%；方案P12的塔吊使用成本為681.44萬元，覆蓋率100%；對(duì)比可知，塔吊覆蓋率提高3.97%，但使用成本增加87.06%。由此說明，嚴(yán)格要求塔吊完全覆蓋作業(yè)區(qū)域有可能導(dǎo)致較高的塔吊成本，從而損害工程效益。分析圖6中實(shí)線的發(fā)展趨勢(shì)可知，隨著塔吊覆蓋率的提高，塔吊使用成本增長(zhǎng)不斷升高，并且在曲線后半段增速極高。因此，合理選擇塔吊覆蓋率是保證塔吊布置方案經(jīng)濟(jì)性的重要保證。

圖6 塔吊成本與覆蓋率的Pareto前沿

表3 塔吊布置方案及相關(guān)指標(biāo)分析

3.3 局部吊裝任務(wù)量增加對(duì)塔吊布置方案的影響

由于施工進(jìn)度難以完全依照進(jìn)度計(jì)劃進(jìn)行，很容易出現(xiàn)趕進(jìn)度的狀況。此時(shí)，作業(yè)區(qū)域的每日材料需求量增加，塔吊吊裝任務(wù)量也相應(yīng)增加。如果塔吊無法通過合理調(diào)整任務(wù)量分配情況，將造成吊裝任務(wù)量無法按時(shí)完成，因而影響施工進(jìn)度。為探究吊裝任務(wù)量變化對(duì)塔吊布置方案的影響，研究增加了A棟建筑局部作業(yè)區(qū)域的材料需

求量(施工段4～8，14～18)，調(diào)整后各施工段的吊裝任務(wù)量如表1(局部任務(wù)增加)所示。

局部吊裝任務(wù)量增加后，塔吊使用成本與覆蓋率的Pareto曲線如圖6中虛線所示。正常任務(wù)量分布(實(shí)線)與局部任務(wù)量增加(虛線)條件下的Pareto曲線可知，方案P1失去現(xiàn)實(shí)可行性，無法應(yīng)對(duì)任務(wù)量的增加；方案P2通過調(diào)整塔吊布局，雖然損失了塔吊覆蓋率，但保證了方案的可行性；方案P3～P12未受到任務(wù)量調(diào)整的影響。塔吊理論吊次冗余率是指塔吊理論吊次與塔吊吊裝任務(wù)量的差值占塔吊理論吊次的比例，反映了塔吊對(duì)吊裝任務(wù)量增加的承受能力。局部任務(wù)量調(diào)整前后各方案的塔吊理論吊次冗余率如圖7所示。由圖可知，方案P1和P2的塔吊理論吊次冗余率低于其他方案，因此研究通過分析各方案塔吊理論吊次的利用情況，探究方案P1和P2 出現(xiàn)變化的原因。

圖7 局部任務(wù)量調(diào)整前后塔吊理論吊次冗余率

正常任務(wù)量分布條件下，方案P2 的塔吊布置情況如圖8所示，各塔吊理論吊次與實(shí)際吊次的對(duì)比情況如圖10所示；局部任務(wù)量增加后，方案P2的塔吊布置情況如圖9所示，各塔吊理論吊次與實(shí)際吊次的對(duì)比情況如圖11所示。對(duì)比可知：隨著A棟建筑局部吊裝任務(wù)量的增大，TC1通過位置調(diào)整承擔(dān)更多新增吊裝任務(wù)量；TC2也相應(yīng)承擔(dān)更多A棟建筑的吊裝任務(wù)量；為了彌補(bǔ)原本由TC1和TC2承擔(dān)的B棟建筑吊裝任務(wù)量，

圖8 正常任務(wù)量條件下方案P2的三維視圖

圖9 局部任務(wù)量增加后的方案P2的三維視圖

圖10 正常任務(wù)量條件下方案P2塔吊吊裝任務(wù)分配

圖11 局部任務(wù)量增加后方案P2塔吊吊裝任務(wù)分配

TC3和TC4承擔(dān)更多B棟建筑的吊裝任務(wù)量；為了減少TC1位置調(diào)整造成塔吊覆蓋率的影響，TC3～TC6分別進(jìn)行了位置調(diào)整。綜上可知，對(duì)于理論吊次冗余量較少的塔吊布置方案P2，局部吊裝任務(wù)量的增加有可能使得塔吊最優(yōu)布局發(fā)生較大變化。

案P3塔吊布置方案不受局部任務(wù)量變化的影響。正常任務(wù)量分布條件下的方案P3中，各塔吊理論吊次與實(shí)際吊次的對(duì)比情況如圖12所示；局部任務(wù)量調(diào)整后的方案P3中，各塔吊理論吊次與實(shí)際吊次的對(duì)比情況如圖13所示。對(duì)比可知：TC1和TC2承擔(dān)A棟建筑增加的吊裝任務(wù)量，相應(yīng)地減少對(duì)B棟建筑的吊裝任務(wù)量；由于理論吊次冗余量較多，B棟建筑的吊裝任務(wù)量主要由TC3和TC4承擔(dān)；TC5和TC6基本不受影響。由此可知：對(duì)于理論吊次冗余量較多的塔吊布置方案，可以通過吊裝任務(wù)量的協(xié)調(diào)分配承擔(dān)局部吊裝任務(wù)量的增加，而不影響布置方案的最優(yōu)性。

圖12 正常任務(wù)量條件下的方案P3塔吊吊裝任務(wù)分配

圖13 局部任務(wù)量增加后方案P3塔吊吊裝任務(wù)分配

綜上所述，方案P1的理論吊次冗余量過少，使得方案無法應(yīng)對(duì)吊裝任務(wù)量的增加；方案P2的理論吊次冗余量較少，需要通過調(diào)整塔吊布局才能滿足吊裝任務(wù)量增加后的材料需求狀況；方案P3～P12擁有足夠的理論吊次冗余量，能夠承受一定范圍內(nèi)的吊裝任務(wù)量的增加。

4 結(jié) 論

為探索優(yōu)化算法在“數(shù)字建造”中的應(yīng)用，研究基于BIM技術(shù)建立了施工場(chǎng)地的空間量化分析方法，實(shí)現(xiàn)了連續(xù)空間的離散化表達(dá)。基于量化的空間數(shù)據(jù)，模型建立了塔吊吊裝次數(shù)評(píng)估方法和吊裝任務(wù)分配機(jī)制，從而模擬施工最繁忙階段的材料吊裝任務(wù)量分布情況下塔吊吊裝作業(yè)的執(zhí)行情況。依靠研究通過分析優(yōu)化模型對(duì)某施工場(chǎng)地塔吊布置的優(yōu)化效果，得出了塔吊選型與布置問題的如下規(guī)律：(1)嚴(yán)格要求塔吊完全覆蓋作業(yè)區(qū)域并不適合所有的工程項(xiàng)目，塔吊使用成本和覆蓋率存在理論平衡；(2)各塔吊理論吊次存在適當(dāng)冗余量時(shí)，塔吊可以通過合理分配吊裝任務(wù)量，在一定范圍內(nèi)應(yīng)對(duì)局部吊裝任務(wù)量的變化。

以上研究結(jié)論說明，基于BIM的施工場(chǎng)地空間量化分析，提高了優(yōu)化建模的模擬精度和優(yōu)化效果，從而促進(jìn)了優(yōu)化算法在“數(shù)字建造”過程中發(fā)揮更大的作用。