基于“密鋪”模式下的新圖案生成法式研究
——特魯謝法則延伸與拓展

楊 葉

（南京藝術(shù)學(xué)院 設(shè)計學(xué)院，南京 210013）

一、密鋪圖案的由來與發(fā)展

密鋪平面（Tessellation）是指一個或多個幾何形狀沒有間隙或不相重疊地平鋪一個表面，可以看做是一種二維平面網(wǎng)格的劃分。早在公元前4000年，蘇美爾人就開始使用密鋪法來建造由粘土磚圖案形成的墻壁裝飾。1619年，約翰尼斯·開普勒（Johannes Kepler）對“密鋪”進(jìn)行了早期文獻(xiàn)研究。他在《世界的和諧》（Harmonices Mundi）一書中撰寫了有關(guān)規(guī)則和半規(guī)則密鋪的文章，據(jù)推測開普勒是第一個探索并解釋蜂巢六邊形密鋪結(jié)構(gòu)的人。

經(jīng)過一代代科學(xué)家和數(shù)學(xué)家的研究，在20世紀(jì)末，1987年，布蘭科·格林鮑姆（Branko Grünbaum）與謝潑德（G.C.Shephard）出版了著作《鋪砌與圖案》（Tilings and Patterns），該書梳理匯總了大量有關(guān)密鋪的數(shù)理法則，對后世產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響。

二維平面密鋪分為周期性密鋪和非周期性密鋪。周期性密鋪圖案（圖1）主要分為規(guī)則密鋪（regular tessellation）、半規(guī)則密鋪（semi-regular tessellation）和不均勻半規(guī)則密鋪（Demi-regular tessellation）。密鋪法的本質(zhì)是滿足多邊形頂角相接點處內(nèi)角和等于360°。規(guī)則密鋪是指同一形狀的正多邊形密鋪一個平面，只有6個正三角形（內(nèi)角為60°），4個正四邊形（內(nèi)角為90°）和3個正六邊形（內(nèi)角為120°）可以完成密鋪，因為其余正多邊形的內(nèi)角度數(shù)都無法被360°整除。半規(guī)則密鋪是指兩種或兩種以上的正多邊形密鋪一個平面，但每一個相接點周圍的正多邊形種類和順序完全相同，這一密鋪法有8種組合方式。以下用（nm）表示這8種組合方式，n為正多邊形的邊數(shù)，m為正多邊形的個數(shù)，順時針排布：（34，6），（33，42），（32，4，3，4），（3，4，6，4），（3，6，3，6），（3，122），（4，6，12），（4，82）。不均勻半規(guī)則密鋪是指兩種或兩種以上的正多邊形的組合密鋪，這一法則的交接點混合了多種密鋪圖形，不同于前兩者須滿足交界點處密鋪圖形完全相同的要求。對于符合不均勻半規(guī)則密鋪的圖形組合在學(xué)術(shù)上一直存在爭議，目前認(rèn)同的較為精確的圖形組合共有20種，由格倫鮑姆于1987年發(fā)表在著作Tilings and Patterns上。此外，約公元600年，從古羅馬、薩珊王朝及拜占庭帝國衍生出的伊斯蘭密鋪圖案也是周期性密鋪模型的重要分支，由于伊斯蘭文化的無神主義論促使藝術(shù)家們基于數(shù)學(xué)探索出了一套完備的圖案裝飾法則，以正方形和圓作為基底展開創(chuàng)作。

圖1 周期性密鋪圖案的分類

圖2 彭羅斯型密鋪

圖3 特魯謝法則的兩個基本模型

圖4 以正三角形和正六邊形作為框架模件的圖案設(shè)計（作者自繪）

圖5 密鋪圖形框架內(nèi)模件設(shè)計規(guī)則（作者自繪）

圖6 曲線填充型模件設(shè)計（作者自繪）

以上密鋪方式均屬于周期性密鋪，非周期性密鋪的模型也不在少數(shù)。彭羅斯型密鋪（Penrose Tiling）是其中著名的模型之一，它是以英國數(shù)學(xué)家羅杰·彭羅斯（Roger Penrose）命名的。彭羅斯型密鋪共有三種類型，五角星型密鋪（pentagonal tiling）、風(fēng)箏和飛鏢型密鋪（Kite and dart tiling）以及最為出名的菱形密鋪（Rhombus tiling）（圖2），由一個內(nèi)角為36°、144°、36°和144°的窄菱形和一個內(nèi)角為72°、108°、72°、108°的粗菱形拼接得到。

如今，密鋪理論的應(yīng)用頗多。二維和三維密鋪模型都得到廣泛的發(fā)展。如建筑領(lǐng)域中，密鋪圖案在建筑表皮和空間結(jié)構(gòu)的應(yīng)用；如晶體學(xué)領(lǐng)域中，密鋪模式如何優(yōu)化晶體結(jié)構(gòu)等等。

二、特魯謝法則的延伸（Truchet Tiling）——“中心對稱邊線分割法”

特魯謝法則是在正四邊形密鋪法則的基礎(chǔ)上，提出的對密鋪圖形加入裝飾性紋樣的法則，且裝飾性紋樣具有使正四邊形四邊任意相接的特性。1704年塞巴斯蒂安·特魯謝（Sebastien Truchet）在一篇名為Mémoire sur les combinaisons的文章中首次提及。特魯謝法則主要有兩個模型（圖3）。一是等腰直角三角形模件：沿正四邊形的對角線將其平分為兩個三角形并將其中一個填色。以此模件為基準(zhǔn)，通過旋轉(zhuǎn)、鏡像的手法可以得到該單元共四個方向的模件，這四個模件滿足四邊任意相接的特性，從而通過不同的組合方式可以得到無窮多的拼接圖案。二是1/4圓弧模件：1987年，Cyril Stanley Smith總結(jié)了特魯謝的思想，并在其論文中加以推廣，他提出了這一新模型，這一模型是連接正四邊形相鄰邊中點的兩個1/4圓，從而得到兩個不同方向的模件并組合拼接出無窮的圖案。

對特魯謝法則的兩個基本模型展開分析。兩個基本模型實則都是對正四邊形這一滿足密鋪條件的單元形的再設(shè)計，然而此處的正四邊形只是作為模件框架存在，它的密鋪性質(zhì)是隱形的，最后組合圖案的樣式是由正四邊形內(nèi)圖形的構(gòu)成形式?jīng)Q定。所以特魯謝法則的密鋪框架單元不是唯一的，與正四邊形具有相同性質(zhì)的無縫密鋪的圖形框架是正三角形和正六邊形，圖4展示了以正三角形和正六邊形作為框架模件的圖案設(shè)計。

接著，對密鋪圖形框架內(nèi)模件設(shè)計規(guī)則展開研究。經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，模件必須具備各方向無縫銜接的特點，以滿足“一到無窮”的圖案拼接特性。因此框架內(nèi)的填充圖形與框架各邊的交點須滿足中心對稱的設(shè)計規(guī)則。以正四邊形框架單元為例，設(shè)正四邊形邊長為10個單位長度，則符合中心對稱的取整數(shù)長度的分割法有11種，分別是（1，4，4，1）、（2，3，3，2）、（3，2，2，3）、（4，1，1，4）、（1，1，3，3，1，1）、（1，2，2，2，2，1）、（1，3，1，1，3，1）、（2，1，2，2，1，2）、（2，2，1，1，2，2）、（3，1，1，1，1，3）、（1，1，1，1，1，1，1，1，1，1）。若分割長度取所有有理數(shù)，那么分割所得的模件框架是無窮盡的。通過以上分割法的數(shù)據(jù)，可以設(shè)計出圖中所示的模件網(wǎng)格，從而設(shè)計出多樣的模件樣式（圖5）。當(dāng)然，曲線填充型模件的設(shè)計，雖不以模件網(wǎng)格為基準(zhǔn)，但依舊滿足中心對稱的邊線分割法則，圖6是以邊長為10個單位，按照（2，3，3，2）的分割法完成的圓弧填充型模件設(shè)計和組合圖案設(shè)計。

當(dāng)掌握了模件設(shè)計規(guī)則，試圖思考該規(guī)則下模件的變體。目前變體有以下幾個方向：負(fù)形、線性、點陣、顏色。因為模件是在分割法規(guī)則下誕生的，所以模件的負(fù)形亦滿足模件本身的所有特性，如圖7展現(xiàn)了模件負(fù)形的多樣性。線性法和點陣法分別是將模件中填充形面的關(guān)系變?yōu)榫€的關(guān)系和點的組合關(guān)系（圖8）。而顏色的填充特別是漸變色的填充常?？梢云鸬礁淖儓D案視效的作用（圖9），從而帶來圖案的縱深感、空間感、膨脹與收縮、實與虛等等特性。對于模件變體的思考有助于豐富模件設(shè)計的細(xì)節(jié)與層次，使得拼接所得圖案更加引人入勝。

最后，是對模件組合法則的擴展。模件都是以密鋪圖形為框架，除了等大排列模件以外，按一定的比例放大和縮小模件亦可排列組合成新的圖案樣式，由于圖案大小的異同，使得組合而成的圖案具有更豐富的節(jié)奏與韻律（圖10）。綜上，從“密鋪框架單元”“邊緣分割法”“模件變體”“模件組合方式”四個角度對特魯謝模型展開延伸與拓展，由此獲得一個新的圖案構(gòu)成系統(tǒng)，筆者稱其為“中心對稱邊線分割法”，此法則的整體設(shè)計思路遵循圖11所示的順序和規(guī)則。

三、特魯謝法則的意義與價值

圖7 正負(fù)形模件（作者自繪）

圖8 線性與點狀模件（作者自繪）

圖9 模件中不同的顏色配比帶來的不同視效（作者自繪）

圖10 模件組合法則擴展（作者自繪）

圖11 “中心對稱邊線分割法”設(shè)計思路（作者自繪）

圖12 特魯謝法則的量化（作者自繪）

圖13 國際通用17種對稱法

運用數(shù)理分析法對特魯謝法則的圖案結(jié)果進(jìn)行分析，通過量化的手法解說特魯謝法則得到無窮圖案的原因，這也是深入探索此法則的重要意義之一。設(shè)等腰直角三角形模型的基本模件為A，由此可以得到與此相關(guān)的其他三個方向的模件為A1，A2，A3（圖12）。組合A與自身以及其他模件，可以得到“1×1”的新模塊，其中以A為起始的模塊有41個，共41×4=16個。接著，以AA為模件組合自身及其他模件，得到“2×2”的新模塊，其中以A為起始的模塊有42=16個，其他模件的組合方式和AA完全相同，所以共有42×4=64個。其次，以AAAA為模件組合自身及其他模件，得到“4×2”的新模塊，其中以A為起始的模塊有162=256個，以此類推，所有模件的組合共有256×4=1024個。同理，當(dāng)以AAAAAAAA為模件組合為“4×4”的新模塊時，以A為起始的模塊有2562=65536個，以此類推，所有模件的組合共有65536×4=262144個。至此，研究表明，當(dāng)模件組合得到的新模塊無限增多時，其組合形成的圖案樣式亦無限增多，呈平方式陡增而達(dá)到無窮多個。

因而特魯謝法則具有“一到無窮”的變化特性，由一個或多個滿足特定條件的模件，經(jīng)組合得到多樣的模塊，模塊的再組形成無窮多的圖案。重要的是，圖案構(gòu)成方式的視覺冗余度②的高低取決于設(shè)計者對模件組合方式的排布，于是呈現(xiàn)的圖案具有多元性：對稱或非對稱，唯一中心或多中心，簡單或復(fù)雜，有序或無序等等。因而該法則下組合得到的圖案可以適配不同領(lǐng)域的不同要求，不論是要規(guī)避視知覺注意的邊緣性裝飾圖案，還是要引起視知覺注意的具有視覺張力的中心性圖案，該法則都可以滿足實際需求，具有極強的包容性。

相比較當(dāng)下幾何圖案的其他構(gòu)成法主要有以下兩種：一是基于1937年安德烈亞斯·施派澤（Andreas Speiser）提出的17種圖形群體組合理論，并于1978年美國數(shù)學(xué)家多麗絲·沙特施耐德（Doris Schattschneider）以國際標(biāo)準(zhǔn)符號將這17種對稱法則圖標(biāo)化（圖13）；二是基于密鋪模式體系下形成的密鋪圖案群。這兩種幾何圖案構(gòu)成法組合的圖案單一、對稱、有序，均具有顯著的易被視知覺識別的重復(fù)單元與變換法則，因而視覺冗余度低，圖案包容性弱。人類的審美經(jīng)驗存在這樣一個基本事實：愉悅存在于單調(diào)和雜亂之間。單調(diào)圖案的排布會在極短時間內(nèi)讓我們意識到它的規(guī)律，視覺預(yù)期會讓我們停止對它的注意。而過于復(fù)雜則會使我們的知覺系統(tǒng)負(fù)荷過重而放棄對它進(jìn)行觀賞。

特魯謝法則高包容度的優(yōu)勢是顯而易見的。重要的是，在當(dāng)下數(shù)字化時代，該法則具有量化為算法和程序的優(yōu)勢，可結(jié)合編程和參數(shù)化技術(shù)在各行各業(yè)發(fā)揮重要作用。

注釋：

①“包容性”是指主體對客體的容納程度。英國標(biāo)準(zhǔn)協(xié)會（2005）將包容性設(shè)計定義為主流產(chǎn)品或服務(wù)的設(shè)計能為盡可能多的人群所方便使用，無需特別的適應(yīng)或特殊的設(shè)計。這里借用此意，意在指圖案設(shè)計容納不同人群審美需求、適配于不同領(lǐng)域的程度。

②這里利用貢布里?！吨刃蚋小分袑Α耙曈X冗余度”的引申義，指視知覺對信息數(shù)據(jù)的感知程度。易被大腦識別、符合視覺預(yù)期的圖案組織結(jié)構(gòu)具有較高的視覺冗余度，不易引起我們的知覺注意；相反，不易被識別、違背視覺預(yù)期的圖案組織結(jié)構(gòu)具有較低的視覺冗余度，容易引起知覺注意。