輕桿模型的疑難問題研究

◇ 海南 孫云貴

輕桿是高中物理的重要模型之一,由輕桿構(gòu)成的系統(tǒng),無論出現(xiàn)在運(yùn)動(dòng)學(xué)還是動(dòng)學(xué)力問題中往往都是難點(diǎn)所在,并且極易出錯(cuò)．本文通過對(duì)高中物理中一個(gè)常見實(shí)例的分析求解,展示與輕桿相關(guān)力學(xué)問題的分析方法、分析過程和注意事項(xiàng)．

1 問題的提出

輕桿是物理中重要的理想化模型之一．根據(jù)輕桿模型的定義,我們知道,它是理想化的剛體,質(zhì)量為0．

大多數(shù)物理問題,往往不單獨(dú)以輕桿為研究對(duì)象,而是研究輕桿及其連接的物體組成的系統(tǒng),比如輕桿與質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng),用這樣的系統(tǒng)對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行簡(jiǎn)化,是對(duì)實(shí)際問題的近似．圍繞這類系統(tǒng)的力學(xué)問題往往很復(fù)雜,牽涉的物理、數(shù)學(xué)知識(shí)較多,計(jì)算一般比較煩瑣,要綜合運(yùn)用物理、數(shù)學(xué)規(guī)律才能正確求解．那么,我們應(yīng)該怎樣分析此類問題呢?

1)對(duì)輕桿與質(zhì)點(diǎn)結(jié)合構(gòu)成的系統(tǒng),不能簡(jiǎn)單地將其視為質(zhì)點(diǎn),而應(yīng)視為剛體;

2)特別要注意的是,受力分析時(shí),桿對(duì)物體的彈力方向通常并不沿著桿的方向,受力分析圖中力的作用點(diǎn)要畫在實(shí)際的作用點(diǎn)上;

3)要綜合運(yùn)用力學(xué)規(guī)律,特別是有關(guān)剛體的力學(xué)規(guī)律列方程(組)．

下面通過案例一起感受一下以輕桿和質(zhì)點(diǎn)等模型為情境的力學(xué)問題的分析及注意事項(xiàng)．

2 含輕桿模型的問題分析

2.1 含有輕桿模型的問題案例

圖1

案例如圖1所示,長(zhǎng)為L(zhǎng)的直輕桿一端可繞水平光滑的轉(zhuǎn)軸O在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng),在桿的中點(diǎn)A和末端B各固定一個(gè)質(zhì)量分別為mA和mB的小球,重力加速度為g．將桿置于同O點(diǎn)在同水平面位置,將其由靜止釋放,在桿由水平位置轉(zhuǎn)到豎直位置的過程中,求:

(1)桿分別對(duì)兩個(gè)小球所做的功;

(2)桿對(duì)兩小球的作用力;

(3)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．

2.2 含有輕桿模型問題案例的求解

現(xiàn)在,我們分三步對(duì)案例進(jìn)行求解．

第一步，第(1)問比較簡(jiǎn)單,根據(jù)高中階段知識(shí)很容易解決．取桿及兩球構(gòu)成的系統(tǒng)為研究對(duì)象,系統(tǒng)的機(jī)械能守恒;再計(jì)算A、B兩球各自的機(jī)械能增量;最后用功能原理算出桿對(duì)A、B做的功．由于輕桿的約束,兩球運(yùn)動(dòng)過程中每一時(shí)刻的角速度均相同．

選O所在的水平面為零勢(shì)能面．A、B及輕桿構(gòu)成的系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過程中應(yīng)用機(jī)械能守恒定律,有

(1-1)

(1-2)

對(duì)A球,由功能原理有

(1-3)

式(1-3)的左邊是A球機(jī)械能的增量,方括號(hào)內(nèi)表示A球運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)正下方時(shí)的機(jī)械能,初狀態(tài)的機(jī)械能為0;右邊是桿對(duì)A球所做的功．由式(1-2)和式(1-3)解得

(1-4)

同理,對(duì)B球,由功能原理有

(1-5)

可求出桿對(duì)B球所做的功

(1-6)

觀察式(1-4)和式(1-6),不難看出,輕桿對(duì)A做負(fù)功,對(duì)B做正功,均不為0．因而,桿對(duì)兩球的作用力與它們的速度方向不可能垂直,也就是說,桿對(duì)兩個(gè)小球的作用力并不沿桿的方向．

第二步,求解第(2)問,桿對(duì)A球、B球的作用力．

由第(1)問的討論可知,桿對(duì)兩球的作用力是變力,隨著桿轉(zhuǎn)過的角度的變化,大小和方向均隨之變化．如果直接用靜力學(xué)的方法去求,通常不能得出正確答案．我們可以另辟蹊徑:如果能求出小球運(yùn)動(dòng)的加速度,就可以用牛頓第二定律求出合力,再用靜力學(xué)的規(guī)律求出桿對(duì)球的作用力．小球運(yùn)動(dòng)的加速度可以采用這樣的方法進(jìn)行求解:將球的加速度分解成法向(向心)加速度an和切向加速度aτ,只要將它們分別求出來,再求矢量和,就得到合加速度．

圖2

系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)是剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng),O為轉(zhuǎn)軸,取垂直紙面向外為正方向,角度以豎直向下為始邊,以逆時(shí)針為正．如圖2所示,當(dāng)系統(tǒng)由初始的水平位置轉(zhuǎn)至角度θ的位置,此時(shí),系統(tǒng)所受外力矩為

(2-1)

因而,此時(shí)桿運(yùn)動(dòng)的角加速度為

(2-2)

式中的I是系統(tǒng)對(duì)轉(zhuǎn)軸O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,其大小為

(2-3)

由切向加速度與角加速度的關(guān)系aτ=βr,可求出A、B兩球此時(shí)切向加速度的大小:

(2-4)

(2-5)

由機(jī)械能守恒定律有

(2-6)

由式(2-3)及式(2-6),解得當(dāng)桿與水平面之間的夾角為θ時(shí)桿轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω為

(2-7)

式中的負(fù)號(hào)表示角速度ω的方向垂直紙面向內(nèi)．再由向心加速度an=ω2r可分別求出A、B兩球的向心加速度大小為

(2-8)

(2-9)

下面,我們可以運(yùn)用牛頓第二定律求出兩個(gè)小球在桿從水平位置轉(zhuǎn)動(dòng)θ角時(shí),輕桿對(duì)它們的作用力的大小和方向．

圖3

對(duì)A球進(jìn)行受力分析,如圖3所示,圖中的F是桿在系統(tǒng)轉(zhuǎn)過角度為θ時(shí)對(duì)A球的作用力．由于F的方向未知,不妨先假設(shè)它沿圖中所示的方向,真實(shí)方向由后面的計(jì)算確定．以指向O的方向?yàn)閚軸,以A運(yùn)動(dòng)的切線方向?yàn)棣虞S建立直角坐標(biāo)系．F與τ軸的夾角為α．分別沿指向O的方向及球運(yùn)動(dòng)的速度方向,由牛頓第二定律有

Fsinα-mAgcosθ=mAanA，

(2-10)

Fcosα+mAgsinθ=mAaτA，

(2-11)

聯(lián)立式(2-4)、(2-8)、(2-10)、(2-11),解得

(2-12)

(2-13)

現(xiàn)在分析式(2-13),此式的值在θ∈[0, π/2)范圍內(nèi)為負(fù),則α必大于π/2,也就是鈍角．

由式(2-12)、(2-13)可求出桿對(duì)A球的作用F的大小和方向:

(2-14)

(2-15)

研究一下式(2-15),在θ∈[0, π/2)范圍內(nèi)α大于π/2,即桿對(duì)A球的作用力F的方向并不沿桿的方向,而是跟A球運(yùn)動(dòng)速度方向的夾角為鈍角,瞬時(shí)功率P=Fv為負(fù),說明桿必對(duì)A球做負(fù)功,這就驗(yàn)證了第(1)問中式(1-4)的結(jié)論．

用相同的辦法,分析當(dāng)桿轉(zhuǎn)過的角度為θ時(shí)B的受力情況,并求出桿對(duì)B球的作用力F′的大小和方向:

F′sinα′-mBgcosθ=mBanB，

(2-16)

F′cosα′+mBgsinθ=mBaτB，

(2-17)

由以上兩式及式(2-5)、(2-9)解得

(2-18)

(2-19)

分析式(2-19),不難看出,在θ∈[0, π/2)范圍內(nèi),結(jié)果為正,α′必小于π/2,桿對(duì)B球的作用力F′的方向跟B球運(yùn)動(dòng)的速度方向的夾角為銳角,對(duì)B球做正功．

第三步,我們來討論桿由水平位置轉(zhuǎn)到豎直位置所需的時(shí)間．

由角速度的定義

(3-1)

結(jié)合式(2-7),得

(3-2)

兩邊積分,即

(3-3)

得

(3-4)

故有

(3-5)

(3-6)

其中的Γ(x)是伽瑪函數(shù),是特殊函數(shù)之一．式(3-5)可寫成:

(3-7)

至此,我們把案例中的三問全部求解完畢．

2.3 對(duì)案例求解過程的思考

若將系統(tǒng)從偏離豎直方向一個(gè)很小的角度開始由靜止釋放,則可視為最大擺角趨于0,也就是復(fù)擺小角度振動(dòng)，而復(fù)擺小角度振動(dòng)周期可用理論力學(xué)中的結(jié)論求出.

由式(2-2),當(dāng)θmax→0時(shí),有

聯(lián)立式(2-3),解得系統(tǒng)振動(dòng)的角頻率ω0滿足

(4-1)

復(fù)擺小角度振動(dòng)的四分之一周期

(4-2)

跟式(3-7)相比,有

(4-3)

可見,差別還是比較大的．案例中的系統(tǒng)從水平位置運(yùn)動(dòng)至豎直位置的過程不滿足小角度振動(dòng)的條件,因而所經(jīng)歷的時(shí)間不能簡(jiǎn)單地用復(fù)擺的周期來求解．

3 結(jié)語(yǔ)

通過對(duì)案例的求解可以看到,以輕桿約束的系統(tǒng),往往是剛體,分析、求解除用到高中所學(xué)的知識(shí)外,還要綜合運(yùn)用剛體力學(xué)等物理規(guī)律,計(jì)算量大且復(fù)雜,大多要用到高等數(shù)學(xué)工具,超出了高中物理和數(shù)學(xué)的教學(xué)范圍．但是,由輕桿構(gòu)成的力學(xué)系統(tǒng)卻是高中物理中非常普通的問題,在教學(xué)過程中是回避不了的,解決這類問題時(shí),一不注意就會(huì)產(chǎn)生意想不到的錯(cuò)誤,給教與學(xué)帶來一些“麻煩”．怎樣才能避免不必要的錯(cuò)誤呢?筆者的建議是:

1)教師在命題時(shí),將問題的設(shè)問盡可能地嚴(yán)格限制在高中物理和數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)限定的范圍內(nèi)．

2)力學(xué)系統(tǒng)含有輕桿,在分析系統(tǒng)內(nèi)部各部分之間的相互作用時(shí)要注意,不能輕易對(duì)桿的作用力的方向下結(jié)論．由于桿對(duì)與之連接的物體的彈力的方向可以沿任意方向, 所以不能先入為主地認(rèn)為作用力沿桿的方向．在高中階段,只考慮一種特殊情況,如果輕桿只有兩點(diǎn)受力,那么桿對(duì)與之連接的物體的彈力的方向沿兩個(gè)力的作用點(diǎn)的連線方向(就是通常所說的“桿的方向”)．我們可以采用“試算法”:先按正常方法受力分析,然后按問題要求計(jì)算,再將計(jì)算結(jié)果“代入”問題中進(jìn)行檢驗(yàn),從而得出原先的受力分析正確與否;如果不正確,再回過頭來重新進(jìn)行分析,原來的受力分析可能錯(cuò)在哪里,進(jìn)行修正,再進(jìn)行試算;如此不斷反復(fù)“試算”,直到找到正確答案為止．以本文中的案例為例,我們可以先假定桿對(duì)兩個(gè)小球的作用力沿桿的方向,這樣,很容易得到桿對(duì)兩球做的功為0;跟我們用功能原理求出的“做功不為0”的結(jié)論相矛盾,可見假設(shè)不成立;然后重做受力分析,假設(shè)桿對(duì)球的作用力不沿桿的方向(參照案例中的解法),再計(jì)算、驗(yàn)證,最終得出正確答案．

3)物理問題求解過程對(duì)數(shù)學(xué)水平要求較高,常常會(huì)用到一些復(fù)雜的數(shù)學(xué)知識(shí),如微元法、微積分知識(shí)等,甚至?xí)玫教厥夂瘮?shù)論等數(shù)學(xué)理論及工具．建議找一些此類數(shù)學(xué)參考書放在手邊,以便隨時(shí)查閱．