對一道光學(xué)試題解析的探討

◇ 廣東 曹衛(wèi)東

第29屆全國中學(xué)生物理競賽決賽中的光學(xué)試題的參考答案,多年來一直受到質(zhì)疑,絕大多數(shù)物理競賽參與者做出了不同于參考答案的解答．而筆者認(rèn)為原參考答案是對的．本文通過分析試題中的光學(xué)原理,對試題參考答案進(jìn)行論證,以糾正質(zhì)疑者的錯解．

原題如圖1所示的光學(xué)系統(tǒng)由平行光管、載物臺和望遠(yuǎn)鏡組成.已知望遠(yuǎn)鏡物鏡L0的焦距為16.00 cm.在L0的焦平面P處,放置帶十字叉絲線的分劃板和亮十字物,如圖2所示.在載物臺上放置雙面平行的平面鏡M,通過望遠(yuǎn)鏡的目鏡Le觀察時,能同時清楚地看到分劃板上的十字叉絲線和十字物經(jīng)過L0折射、M反射、再經(jīng)L0折射后在分劃板上所成的十字像,十字像位于A點(diǎn),與上十字叉絲線的距離為5.2 mm.繞載物臺轉(zhuǎn)軸(沿豎直方向)轉(zhuǎn)動載物臺,使平面鏡轉(zhuǎn)180°,此時十字像位于B點(diǎn),與上十字叉絲線的距離為18.8 mm.根據(jù)以上情況和數(shù)據(jù)可計算出,此時望遠(yuǎn)鏡光軸與水平面的夾角為______rad;據(jù)此結(jié)果,調(diào)節(jié)望遠(yuǎn)鏡,使其光軸與載物臺的轉(zhuǎn)軸垂直.

圖1

圖2

平行光管由十字縫S和凸透鏡L組成.去掉光學(xué)系統(tǒng)中的平面鏡M,并用鈉光燈照亮S.沿水平方向移動S,當(dāng)S到平行光管中的透鏡L距離為8.25 cm時,通過望遠(yuǎn)鏡目鏡能清楚地看到十字縫的像恰好成在分劃板中心十字叉絲線上,由此可以推知,L的焦距等于______cm.

將載物臺平面調(diào)至與載物臺的轉(zhuǎn)軸垂直,在載物臺上放置長、寬、高均為3.00 cm、折射率為1.52的分束棱鏡abcd(分束棱鏡由兩塊直角三棱鏡密接而成,接觸面既能透光又能反光)和待測凹球面鏡O,O到L的距離為15.00 cm,并保證分束棱鏡的ab面與圖3中的XX′軸垂直、凹球面鏡的光軸與圖3中的XX′軸重合;再將望遠(yuǎn)鏡繞載物臺的中心軸轉(zhuǎn)90°,如圖3所示．向右移動S,當(dāng)S移動的距離為3.75 cm時,通過望遠(yuǎn)鏡目鏡剛好能看清楚十字縫S的像成在分劃板中心十字叉絲線上.試求凹球面鏡的曲率半徑.

答案0.037 5; 8.25; 47.74 cm(過程略).

常見錯誤解法很多競賽參與者,對第一空做出了錯解,其認(rèn)為置物臺上的雙面平面鏡隨臺面轉(zhuǎn)動180°,成像位置發(fā)生變化,是因?yàn)殡p面平面鏡鏡面與豎直軸存在夾角σ,如圖4,這一夾角即等于望遠(yuǎn)鏡主光軸與水平面夾角．

圖4

這是對整個成像原理理解不清所致的錯解．

錯誤1:認(rèn)為雙面平面鏡與豎直軸存在夾角σ,當(dāng)置物臺轉(zhuǎn)動180°時,相應(yīng)反射光線轉(zhuǎn)過2σ．事實(shí)上,置物臺轉(zhuǎn)動180°,相當(dāng)于反射面轉(zhuǎn)過2σ,鏡面法線轉(zhuǎn)過2σ,反射光線將轉(zhuǎn)過4σ．兩次成像位置不同,正是因?yàn)檫@一夾角的存在導(dǎo)致的．

錯誤2:認(rèn)為雙面平面鏡與豎直軸間存在的夾角,與望遠(yuǎn)鏡主光軸與水平面的夾角相等．事實(shí)上,二者并無關(guān)聯(lián)．望遠(yuǎn)鏡主光軸與水平面的夾角,導(dǎo)致的結(jié)果是成像不在上十字叉絲處,而不是兩次成像位置的不同．基于以上錯解過程,筆者決定從成像原理的角度對該題進(jìn)行詳細(xì)分析,以糾正錯解．

成像光路分析:圖5為系統(tǒng)調(diào)試完成后,望遠(yuǎn)鏡光軸水平,雙面平面鏡M豎直時的成像光路圖．

圖5

成像過程為:分劃板處于望遠(yuǎn)鏡物鏡L0的右焦平面上．分劃板下的十字物發(fā)出的光經(jīng)望遠(yuǎn)鏡物鏡L0折射后,變?yōu)槠叫泄?平行光經(jīng)平面鏡M反射后,再次經(jīng)L0折射,成像在分劃板的上十字叉絲處(圖中兩支特殊光線與主光軸成θ1和θ2,而且兩角相等)．將平面鏡M繞豎直軸轉(zhuǎn)過180°,由于雙面鏡面豎直,故仍然成像在上十字叉絲處．

該題裝置調(diào)試有兩個異常:1)雙面平面鏡M不在豎直面上;2)望遠(yuǎn)鏡L0的主光軸不在水平面內(nèi)．

1)若望遠(yuǎn)鏡物鏡L0主光軸水平,但平面鏡M與豎直軸存在小夾角δ.

如圖6左圖,反射光相對圖5將向上轉(zhuǎn)過2δ,成像點(diǎn)在上十字叉絲上方2δf0處(如圖7右圖A1點(diǎn));當(dāng)鏡面轉(zhuǎn)過180°,如圖6右圖時,反射光將向下轉(zhuǎn)過2δ,成像點(diǎn)在上十字叉絲下方2δf0處(如圖7右圖B1點(diǎn))．其中f0為望遠(yuǎn)鏡物鏡焦距．

圖6 圖7

由此得兩次成像點(diǎn)A1和B1的距離Δh=4δf0.

修正方案:調(diào)整平面鏡姿態(tài),使其繞豎直軸轉(zhuǎn)動180°前后,成像點(diǎn)位置重疊．

2)若平面鏡M豎直,但物鏡L0主光軸與水平方向成小角度σ.

如圖8,平面鏡M豎直放置,物鏡L0主光軸順時針偏過小角度σ,將導(dǎo)致分劃板上的成像點(diǎn)上移．若就此,將平面鏡M順時針轉(zhuǎn)過小角度σ,則L0主光軸和平面鏡M垂直,相應(yīng)成像點(diǎn)將移至上十字叉絲處．結(jié)合異常1)的分析,可知物鏡L0主光軸偏離水平方向小角度σ時,分劃板上成像點(diǎn)將偏離十字叉絲Δh′=4σf0;同理,若L0主光軸逆時針偏過小角度σ,將導(dǎo)致分劃板上的成像點(diǎn)下移．

圖8

修正方案:根據(jù)觀察到的成像點(diǎn)相對上十字叉絲的位置關(guān)系,調(diào)整望遠(yuǎn)鏡的方位,使得平面鏡轉(zhuǎn)動180°前后,成像點(diǎn)位置重疊在上十字叉絲處．

小結(jié)1)若雙面平面鏡M不在豎直平面內(nèi),將導(dǎo)致置物臺轉(zhuǎn)動180°前后,十字物在分劃板上的成像不能重疊．2)望遠(yuǎn)鏡物鏡L0主光軸不在水平面內(nèi),將導(dǎo)致十字物在分劃板上的成像偏離上十字叉絲．

由以上分析,試題正確解答如下:

置物臺轉(zhuǎn)動180°前后,像點(diǎn)分別落在A和B,參考異常1)的分析，AB間距Δh=(18.8-5.2) mm=4δf0, 由f0=16.0 cm,得平面鏡M與豎直軸成δ=0.021 25 rad.

這一偏離,由望遠(yuǎn)鏡物鏡L0主光軸與水平面間夾角σ所致．h=4σf0,得σ=0.037 5 rad.

P在L0的焦平面上,S經(jīng)L成像后,又經(jīng)L0成像在分劃板,表明S發(fā)出的光經(jīng)L折射后,成為平行光束,故S位于L的焦點(diǎn)處．L的焦距f=8.25 cm.

S發(fā)出的光,經(jīng)L、分束棱鏡(折射)、凹面鏡、分束棱鏡(反射),成為平行光束,再經(jīng)L0會聚在L0焦平面P．可知:分束棱鏡折射成像在凹面鏡焦點(diǎn)處．設(shè)凹面鏡半徑為R,依多次成像原理進(jìn)行計算:u1=8.25 cm-3.75 cm=4.5 cm,得v1=-9.9 cm.