二項(xiàng)式巧求解，多解法顯身手
——2017年浙江卷第13題解法探究

◇ 山東 劉艷美

涉及多項(xiàng)式的二項(xiàng)式問題是近年高考中比較常見的題型,其本質(zhì)是依托二項(xiàng)式定理的定義、公式與性質(zhì),關(guān)鍵是把相應(yīng)的問題加以合理地化歸與轉(zhuǎn)化,將其轉(zhuǎn)化為易于求解的簡單二項(xiàng)式定理問題進(jìn)行求解,重點(diǎn)考查學(xué)生解題能力,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

1 高考真題

題目(2017年浙江卷)已知多項(xiàng)式(x+1)3·(x+2)2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,則a4=________,a5=________.

分析1由于涉及的兩個(gè)二項(xiàng)式的次數(shù)分別為3和2,次數(shù)不高,運(yùn)算的量也不大,因此可以考慮直接利用多項(xiàng)式乘法來處理,比較直接有效.

解法1由于(x+1)3(x+2)2=(x3+3x2+3x+1)(x2+4x+4)=x5+(4x4+3x4)+(4x3+12x3+3x3)+(12x2+12x2+x2)+(12x+4x)+4=x5+7x4+19x3+25x2+16x+4,故a4=16,a5=4.

分析2將兩個(gè)二項(xiàng)式各自展開,結(jié)合所求一次項(xiàng)的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)的值,通過兩個(gè)乘式中項(xiàng)的性質(zhì)加以分析與處理,可省去不必要的計(jì)算.

解法2由于(x+1)3(x+2)2=(x3+3x2+3x+1)(x2+4x+4),所以a4=3×4+1×4=16,a5=1×4=4.

分析3觀察多項(xiàng)式的展開式,要求的兩項(xiàng)分別是一次項(xiàng)的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng),可知其中常數(shù)項(xiàng)就是兩個(gè)二項(xiàng)式的常數(shù)項(xiàng)相乘,而一次項(xiàng)的系數(shù)則是每個(gè)二項(xiàng)式的一次項(xiàng)系數(shù)與另一個(gè)二項(xiàng)式的常數(shù)項(xiàng)相乘的和.

分析4先確定a4與a5所表示的意義,利用二項(xiàng)式定理通過分類討論來確定含x項(xiàng)的系數(shù)a4,并直接通過特殊賦值法來求解常數(shù)項(xiàng)a5的值.

a5=(0+1)3(0+2)2=4.

本題主要考查二項(xiàng)式定理的運(yùn)用,考查了化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想和等價(jià)變形的能力.二項(xiàng)式定理是一個(gè)恒等式,可以結(jié)合二項(xiàng)式定理的定義加以展開,也可以根據(jù)系數(shù)特征進(jìn)行處理,還可以利用特殊值加以賦值處理.方法眾多,技巧各異.

2 變式探究

A. 15 B. 20 C. 30 D. 35

變式3已知多項(xiàng)式(x+1)4(x+2)3=x7+a1x6+a2x5+a3x4+a4x3+a5x2+a6x+a7,則a1+a3+a5=________,a2+a4+a6=________.

①

令x=-1,可得-1+a1-a2+a3-a4+a5-a6+a7=(-1+1)4(-1+2)3=0,則有

a1-a2+a3-a4+a5-a6=-7,

②

由①+②可得a1+a3+a5=208,由①-②可得a2+a4+a6=215．

求解二項(xiàng)式系數(shù)問題,首先要掌握二項(xiàng)式定理的定義,熟記二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),其次要掌握特殊賦值法,賦值法是解決二項(xiàng)式系數(shù)問題的重要手段.