見微知著，學(xué)生思維發(fā)展過程管窺

肖淑芬

摘 要：思維模式的形成需要久久為功，它需要在數(shù)學(xué)課程的推進(jìn)中不斷實現(xiàn)，同時每一節(jié)數(shù)學(xué)課都需要著眼于思維發(fā)展這一培養(yǎng)目標(biāo)，找準(zhǔn)思維發(fā)展的各個進(jìn)程并精準(zhǔn)發(fā)力。筆者以《烙餅問題》為例，展示了思維的發(fā)展過程。思維因觀察而展開，從舊知到新知的跳躍中有了猜想，在歸納猜想中進(jìn)入實質(zhì)階段，新知得以積累，思維得以提升。在形成結(jié)論的進(jìn)一步演繹中，一般結(jié)論到特殊實例，一般結(jié)論再到另一個一般結(jié)論，思維得到拓展。

關(guān)鍵詞：思維;觀察;猜想;歸納;演繹

數(shù)學(xué)基本活動過程主要是數(shù)學(xué)的歸納推理和演繹推理過程。在數(shù)學(xué)活動中，教師要引領(lǐng)學(xué)生逐步形成從觀察入手發(fā)現(xiàn)問題，從特例開始循序漸進(jìn)歸納推理，對歸納推理得到的猜想進(jìn)行演繹證明的思考問題的方式或思維模式。思維模式的形成需要久久為功，它需要在數(shù)學(xué)課程的推進(jìn)中不斷實現(xiàn)，同時每一節(jié)數(shù)學(xué)課都需要著眼于思維發(fā)展這一培養(yǎng)目標(biāo)，找準(zhǔn)思維發(fā)展的各個進(jìn)程并精準(zhǔn)發(fā)力。

四年級上冊義務(wù)教育教科書（2013版）數(shù)學(xué)中《烙餅問題》一課為《數(shù)學(xué)廣角》第二課時的教學(xué)內(nèi)容。在該節(jié)課中，學(xué)生主要通過解決“烙餅”中的數(shù)學(xué)問題，初步體會“優(yōu)化”思想在解決實際問題中的應(yīng)用;通過觀察、操作、記錄、比較、討論、思考等活動積累轉(zhuǎn)化、歸納、演繹的經(jīng)驗;增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，并能夠讓學(xué)生運用數(shù)學(xué)方法解決生活問題。

該課最核心的目標(biāo)是什么？因其從屬于數(shù)學(xué)廣角“優(yōu)化”的問題系列中，所以很多一線教師認(rèn)為應(yīng)該以“優(yōu)化”思想的滲透為主要目標(biāo)。從“新知”的角度上看，這樣的目標(biāo)定位是有一定道理的，但從思維培養(yǎng)的大目標(biāo)來看，還是應(yīng)該將歸納、演繹經(jīng)驗的積累認(rèn)定為最主要的目標(biāo)，而“優(yōu)化”“轉(zhuǎn)化”則是思維活動過程中，學(xué)生經(jīng)歷和感悟的重要思想方法。

一、思維展開始于觀察

思維的發(fā)展是伴隨著問題的解決一起推進(jìn)的。學(xué)生能否發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，取決于觀察能力在學(xué)生智力發(fā)展中占有什么地位。發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的第一步就是觀察。觀察是以視覺為主，融其他感覺為一體的，有目的、有計劃的知覺活動。只有通過細(xì)心觀察，才能發(fā)現(xiàn)事物的細(xì)微而重要的特征差異，捕捉問題信息，從而發(fā)現(xiàn)問題、提出問題。觀察可分為兩種形式，即間接觀察和直接觀察，二者的區(qū)別為觀察對象是否進(jìn)行轉(zhuǎn)換。觀察對象是否需要轉(zhuǎn)換，取決于觀察對象的難易程度。當(dāng)所要解決的數(shù)學(xué)問題較為復(fù)雜時，小學(xué)生往往需要變直接觀察為間接觀察。

在《烙餅問題》的教學(xué)中，筆者展現(xiàn)的是這樣的問題情境：“一個鍋每次最多能烙2張餅，兩面都要烙，每面3分鐘。123張餅怎么烙最省時？最少需要多長時間？”“123張餅怎么烙”這樣的“大問題”的提出有利于學(xué)生自主性的激發(fā)，但這樣的問題較為復(fù)雜，思路、方法不夠明確，筆者先引導(dǎo)學(xué)生自主地將問題簡單化， 進(jìn)行間接觀察，進(jìn)而比較原命題，從而溝通解題思路和方法。教師引導(dǎo)學(xué)生“知難而退”，退到1張餅、2張餅、3張餅的情況去思考問題。當(dāng)問題簡單化后，便可針對對象的實物直觀、模型直觀、語言直觀加以觀察。

筆者引導(dǎo)學(xué)生自我呈現(xiàn)模型直觀然后進(jìn)行觀察，即為將1、2、3張餅以如下圖的方式記錄下來（如圖1），記錄過程，形成模型。模型直觀能幫助學(xué)生觀察到細(xì)微差別“橫著看，每次烙2張餅”，“豎著看兩面餅都烙了”。思維的發(fā)展始于觀察，但是在思維發(fā)展的各個階段，觀察這一最高級別的知覺形式都伴隨其中。從觀察2張餅的優(yōu)化烙餅法到雙數(shù)張餅的烙餅法，從觀察3張餅的優(yōu)化烙餅法到單數(shù)張餅的烙餅法，從有序觀察烙餅的記錄表，找出餅數(shù)與烙餅時間的關(guān)系到任意張餅（1張餅除外）優(yōu)化烙法，隨著觀察的推進(jìn)，學(xué)生的思維在不斷地發(fā)展之中。

二、思維跳躍觸發(fā)猜想

荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾認(rèn)為：“真正的數(shù)學(xué)家常常憑借數(shù)學(xué)的直覺思維做出各種猜想，然后加以證實。”課程改革以來，合情推理受到了教師前所未有的關(guān)注，數(shù)學(xué)教材中也大量地采用了數(shù)學(xué)猜想、枚舉歸納等合情推理的方法。小學(xué)生的知識、技能、方法及經(jīng)驗的儲備還處于較低的水平，這時的直覺思維并未發(fā)展起來，此時的猜想應(yīng)是建立在已有認(rèn)知的基礎(chǔ)上，學(xué)生經(jīng)由觀察，舊知與新知碰撞，思維發(fā)生跳躍，提出新的觀點。

引導(dǎo)數(shù)學(xué)猜想作為數(shù)學(xué)教育的一種方式，提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，鼓勵、調(diào)動學(xué)生運用自己的數(shù)學(xué)能力，主動動腦、動手解決問題的過程。

《烙餅問題》一課中筆者引導(dǎo)學(xué)生探究2張餅最省時的烙法，學(xué)生在解決2張餅的問題中，初步體會“優(yōu)化”的思想在解決問題中的應(yīng)用，觸及烙餅問題最優(yōu)方案的核心，并產(chǎn)生猜想——如果烙餅時不空鍋，就會最省時。基于這樣的猜想，他們創(chuàng)造了3張餅“交替烙”的方法，他們在比較“交替烙”和“非交替烙”兩種模型直觀時（如圖2），進(jìn)一步肯定了他們對于優(yōu)化方案的猜想。

三、思維提升成于歸納

小學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是以活動經(jīng)驗為基礎(chǔ)，以邏輯思維為核心的認(rèn)知過程。在一定意義上說，邏輯思維的實質(zhì)就是推理。歸納推理是推理的一種重要形式，它是由個別的事物或現(xiàn)象推出該類事物或現(xiàn)象的普遍性規(guī)律的推理過程。

在學(xué)習(xí)活動中，學(xué)生的認(rèn)識從“個別”到“一般”、從“無”到“有”、從“舊”到“新”，都是在歸納中完成的。從非嚴(yán)格意義上說，學(xué)生對數(shù)學(xué)活動進(jìn)行一次歸納，對于學(xué)習(xí)者本人來說都是一次“創(chuàng)新”的過程，也就是在這樣的創(chuàng)新過程中，學(xué)生的思維得到了提升。

烙餅省時的方法是什么，有個規(guī)律，學(xué)生先是探索了2張餅的優(yōu)化方法，掌握了2張餅“同時烙”的優(yōu)化方法，算出所需時間，進(jìn)而通過轉(zhuǎn)化，探究出雙數(shù)張餅所需時間，并計錄下來：4（2，2）12'; 6（2，2，2）18';8（2，2，2，2，）24'……“探究了雙數(shù)張餅所需時間，同學(xué)們對什么還感興趣呢？”學(xué)生探究3張餅“交替烙”的方法，再接著以轉(zhuǎn)化的方法探索出單數(shù)張餅的烙餅方法，并計錄下來： 5（2，3）15';7（2，2，3）21';9（2，2，2，3）27'……最后合并表格，歸納出規(guī)律“餅數(shù)×一面所需時間=所需最短時間（1張餅除外）”。

歸納方法有簡單枚舉歸納法、完全歸納法和科學(xué)歸納法。運用完全歸納，學(xué)生思維的嚴(yán)密邏輯性將得到發(fā)展，然而完全歸納法有時非常繁復(fù)，甚至是不可能的，于是又產(chǎn)生了數(shù)學(xué)歸納法——邏輯論證方法。像《烙餅問題》一課，筆者引導(dǎo)學(xué)生從雙數(shù)、單數(shù)的不同角度進(jìn)行歸納，可視為邏輯論證方法。教師可進(jìn)一步質(zhì)疑：“為什么餅數(shù)×一面所需時間=所需最短時間？”引導(dǎo)學(xué)生了解對象與其屬性間的必然聯(lián)系，這對于學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性的進(jìn)一步發(fā)展是非常有利的。

四、思維拓展重于演繹

演繹推理是從已有的事實和確定的規(guī)則出發(fā)，按照邏輯推理的方法進(jìn)行計算或法則的證明。前者主要體現(xiàn)在根據(jù)法則進(jìn)行計算、根據(jù)四則運算的意義解決簡單的問題。后者主要體現(xiàn)在幾何圖形的面積、體積公式推導(dǎo)的過程中，把歸納法和演繹推理結(jié)合起來，得出結(jié)論。學(xué)生的認(rèn)識從一般到特殊，從一個法則、性質(zhì)、公式、定律或規(guī)律到另一個法則、性質(zhì)、公式、定律或規(guī)律，其思維得到了拓展。

《烙餅問題》中學(xué)生得出：“餅數(shù)×一面所需時間=所需最短時間（1張餅除外）”的規(guī)律后，“烙123張最少需要多少時間？”便是學(xué)生利用已有規(guī)律解決簡單問題的一種演繹。教師改變情境，提出問題：“一個鍋每次最多能烙3張餅，兩面都要烙，每面3分鐘。123張餅怎么烙最省時？最少需要多長時間？”學(xué)生利用烙餅問題“最省時”的思想本質(zhì)——不空鍋，利用“一個鍋每次最多能烙2張餅”探究途徑，用優(yōu)化、轉(zhuǎn)化、歸納的方法得出結(jié)論，這便是從一般規(guī)律到另一個一般規(guī)律的思維拓展。

思維因觀察而展開，從舊知到新知的跳躍中有了猜想，在歸納猜想中進(jìn)入實質(zhì)階段，新知得以積累，思維得以提升。在形成結(jié)論的進(jìn)一步演繹中，一般結(jié)論到特殊實例，一般結(jié)論再到另一個一般結(jié)論，思維得到拓展。我們可以從一節(jié)課中管窺到這樣的發(fā)展過程，可以從一系列課、一學(xué)段課，或更長階段的教學(xué)中看到這樣的發(fā)展過程，一線教師要胸懷學(xué)生思維發(fā)展目標(biāo)，并把這個目標(biāo)化到具體的教學(xué)任務(wù)之中去。

參考文獻(xiàn)：

朱麗君.培養(yǎng)學(xué)生敏銳的數(shù)學(xué)觀察能力[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2011，（11）.