溫度影響下變截面梁自由振動(dòng)與屈曲的微分變換法求解

林鵬程,王俊淋,滕兆春

(蘭州理工大學(xué)理學(xué)院,甘肅 蘭州 730050)

變截面梁廣泛應(yīng)用于工程實(shí)踐中,例如建筑中的鋼結(jié)構(gòu)和飛行器內(nèi)部骨架的梁和墻。為了適應(yīng)結(jié)構(gòu)內(nèi)力變化和結(jié)構(gòu)外形的需要,將支承附近的梁高加大,而靠近跨中的梁高則取得較小,從而形成變高度梁[1],即變截面梁?？紤]到變截面梁工作的特殊環(huán)境,研究其在熱載荷作用下的力學(xué)響應(yīng)具有實(shí)際的工程應(yīng)用價(jià)值。目前已有一些關(guān)于變截面梁的力學(xué)行為研究成果[2-7]。變截面梁振動(dòng)問(wèn)題中,控制微分方程的求解通常很困難,得到解析解則更艱難,采用一般的數(shù)值解法有復(fù)雜繁瑣的公式推導(dǎo)過(guò)程,也不容易求解。微分變換法(DTM,differential transform method)能將線性或非線性微分方程轉(zhuǎn)換為代數(shù)方程求解,是一種非常實(shí)用并有重要價(jià)值的求解方法[8]。已有很多學(xué)者發(fā)現(xiàn)了DTM的求解方便、結(jié)果準(zhǔn)確的特點(diǎn),并應(yīng)用于結(jié)構(gòu)的靜力學(xué)和動(dòng)力學(xué)分析中[9-11]。

目前,用DTM分析變截面梁在溫度影響下的自由振動(dòng)與屈曲在國(guó)內(nèi)外還未見(jiàn)有文獻(xiàn)報(bào)道,因此研究采用DTM對(duì)在溫度影響下的變截面梁的自由振動(dòng)與屈曲問(wèn)題進(jìn)行分析。首先建立溫度影響下變截面梁的力學(xué)模型,基于Euler-Bernoulli梁理論推導(dǎo)變截面梁在溫度影響下的自由振動(dòng)控制微分方程并進(jìn)行無(wú)量綱化;其次對(duì)控制微分方程以及邊界條件進(jìn)行微分變換;最后分析了截面變化系數(shù)和無(wú)量綱升溫對(duì)變截面梁自由振動(dòng)頻率的影響,并求解了不同截面變化系數(shù)情況下變截面梁達(dá)到屈曲狀態(tài)時(shí)的臨界溫度。

1 控制微分方程及參數(shù)的無(wú)量綱化

圖1中考慮兩端不可移約束情況下受溫度載荷作用的矩形變截面梁并建立笛卡爾直角坐標(biāo)系。變截面梁的長(zhǎng)度為l,寬度為b。假設(shè)梁的高度按線性

圖1 熱環(huán)境中變截面梁模型

變化,其熱膨脹系數(shù)為α,彈性模量為E。

根據(jù)熱應(yīng)力理論[12],在沒(méi)有約束的情況下,梁在熱環(huán)境中的自由伸長(zhǎng)量Δl為

Δl=αΔTl,

(1)

其中:ΔT=T-T0為溫度變化;T為當(dāng)前溫度;T0為初始溫度。

距梁左端x處的梁高度為

(2)

其中:h0為梁左端的初始高度;β稱(chēng)為截面變化系數(shù)。距梁左端x處的梁的橫截面積為

(3)

距梁左端x處由于熱應(yīng)力引起的線應(yīng)變?yōu)?/p>

(4)

其中:NT為溫度載荷作用下變截面梁的熱軸力,熱軸力NT引起梁上一微段的伸長(zhǎng)量Δl′為

(5)

該微端在x方向被完全約束,使得自由熱膨脹伸長(zhǎng)量和由熱軸力NT引起的伸長(zhǎng)量的總變形量為0,由此可得由于溫度變化所引起變截面梁的熱軸力為

(6)

利用Euler-Bernoulli梁理論,忽略橫向振動(dòng)中剪切變形和截面繞中性軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響,由梁上微段的平衡關(guān)系和撓曲線近似微分方程得到溫度影響下變截面梁自由振動(dòng)的微分方程為

(7)

其中:ρ為梁的質(zhì)量密度;t為時(shí)間。

對(duì)于梁的簡(jiǎn)諧振動(dòng),可令

(8)

(9)

其中:τ為無(wú)量綱升溫;Ω為無(wú)量綱頻率。

將式(8)和式(9)代入式(7)中,得到溫度影響下變截面梁自由振動(dòng)的無(wú)量綱控制微分方程為

(1+βξ)Ω4W(ξ)=0。

(10)

溫度影響下變截面梁的自由振動(dòng)與屈曲問(wèn)題只考慮工程應(yīng)用中最實(shí)際的夾緊(clamped)和不可移簡(jiǎn)支(simply supported)情況,則邊界條件的無(wú)量綱形式為:

ξ=0處:

(11)

(12)

ξ=1處:

(13)

(14)

2 無(wú)量綱控制微分方程及其邊界條件的DTM變換

DTM是一種有效的半解析解法,基于Taylor級(jí)數(shù)展開(kāi)進(jìn)而求解微分方程。運(yùn)用DTM對(duì)變截面梁在熱載荷作用下的臨界溫度特性問(wèn)題進(jìn)行求解時(shí),首先需要將其無(wú)量綱控制微分方程和邊界條件經(jīng)DTM變換為相應(yīng)的由離散函數(shù)組成的代數(shù)方程。

根據(jù)函數(shù)的Taylor公式,經(jīng)過(guò)DTM變換后的函數(shù)F[k]定義[8]為

(15)

F[k]的逆變換為

(16)

由式(16)、式(17)可得

(17)

在實(shí)際應(yīng)用中,f(x)采用有限多項(xiàng)式求和,式(17)可改寫(xiě)為

(18)

(19)

其中:

B0=(k+1)(k+2)(k+3)(k+4),

B1=(3βk+6β)(k+1)(k+2)(k+3),

(k+1)(k+2),

B3=[(k-1)(k-2)β3k+6β3k(k-1)+

6β3k)](k+1),

B4=-Ω4,

B5=-βΩ4。

式(11)～式(14)邊界條件經(jīng)DTM變換后為:

ξ=0處:

(20)

(21)

ξ=1處:

(22)

(23)

3 計(jì)算結(jié)果和分析

通過(guò)編寫(xiě)計(jì)算軟件程序可獲得式(19)在邊界條件式(20)～式(23)下的無(wú)量綱固有頻率。為了驗(yàn)證計(jì)算模型的準(zhǔn)確性及DTM求解方法的有效性,表1給出了β=0和τ=0時(shí),將原問(wèn)題控制微分方程退化為等截面梁和無(wú)溫度影響作用時(shí)的前3階無(wú)量綱固有頻率采用DTM的計(jì)算結(jié)果,并與文獻(xiàn)[13]的解析解做了比較。從表1可看出研究結(jié)果與文獻(xiàn)[13]的結(jié)果完全吻合,說(shuō)明DTM對(duì)求解此問(wèn)題有效可靠。

表1 等截面梁的無(wú)量綱固有頻率比較 (β=0,τ=0)

圖2給出了截面變化系數(shù)β=0.4時(shí),C-C、C-S和S-S 3種不同邊界條件下的變截面梁的1階無(wú)量綱固有頻率隨無(wú)量綱升溫τ變化的關(guān)系。由圖2可見(jiàn),3種邊界條件下的1階無(wú)量綱頻率都隨無(wú)量綱升溫τ的增大而減小,當(dāng)無(wú)量綱升溫趨近于臨界溫度時(shí),1階無(wú)量綱頻率急劇減小,很快達(dá)到屈曲狀態(tài)。這是由于梁失穩(wěn)時(shí)的振動(dòng)具有無(wú)限大的振動(dòng)周期,其固有頻率應(yīng)為0。故式(19)中若取Ω=0,則可得到計(jì)算變截面梁各階熱屈曲模態(tài)溫度升高值的控制微分方程,其最小值即熱屈曲臨界溫度。

圖2 無(wú)量綱升溫τ對(duì)1階無(wú)量綱固有頻率的影響(β=0.4)

圖3反映了當(dāng)無(wú)量綱升溫τ=4時(shí)截面變化系數(shù)β對(duì)1階無(wú)量綱頻率的影響,從圖3中可以看出當(dāng)截面系數(shù)β從0～0.5不斷增大時(shí),1階無(wú)量綱頻率隨截面系數(shù)β的增大而緩慢增大。圖4給出了不同截面變化系數(shù)時(shí)梁達(dá)到熱屈曲狀態(tài)的無(wú)量綱臨界溫度τcr。由圖4可見(jiàn)3種邊界條件下截面變化系數(shù)β越大,無(wú)量綱臨界溫度τcr越大,C-C邊界條件下,截面系數(shù)增大的同時(shí)無(wú)量綱臨界溫度的變化最明顯。

圖3 截面變化系數(shù)β對(duì)1階無(wú)量綱固有頻率的影響(τ=4)

圖4 截面變化系數(shù)β和無(wú)量綱熱屈曲臨界溫度τcr關(guān)系曲線

4 結(jié)論

研究基于Euler-Bernoulli梁理論建立溫度影響下變截面梁自由振動(dòng)的控制微分方程,利用DTM得到溫度影響下不同邊界條件的變截面梁自由振動(dòng)的無(wú)量綱固有頻率以及不同截面變化系數(shù)下變截面梁熱屈曲臨界溫度,且對(duì)其在不同截面變化系數(shù)和不同無(wú)量綱升溫下的頻率進(jìn)行了分析,得到以下結(jié)論:

(1) 在截面變化系數(shù)不變的情況下,變截面梁的固有頻率隨無(wú)量綱升溫的增大而減小,無(wú)量綱升溫越接近梁屈曲的臨界溫度,對(duì)變截面梁的固有頻率的下降作用越明顯。

(2) 在無(wú)量綱升溫不變的情況下,變截面梁的固有頻率在截面系數(shù)增大的范圍內(nèi),隨截面系數(shù)的增大而緩慢增大。

(3) 截面變化系數(shù)越大,則使變截面梁達(dá)到熱屈曲狀態(tài)的無(wú)量綱臨界溫度越大。