一類無窮區(qū)間上分?jǐn)?shù)階微分方程的三點(diǎn)邊值問題解的存在性

張瑞鑫，王文霞

(太原師范學(xué)院數(shù)學(xué)系,山西 晉中 030619)

近年來，由于分?jǐn)?shù)階微分方程在物理、生物、化學(xué)等很多領(lǐng)域有著重要的應(yīng)用，分?jǐn)?shù)階微積分理論的研究得到了極大的關(guān)注.有限區(qū)間上的分?jǐn)?shù)階微分方程的研究已取得很多優(yōu)秀成果[1-3]，但無窮區(qū)間上的分?jǐn)?shù)階微分方程的研究成果相對(duì)較少[4-9]．

馮子鑫、周宗福和許文序[4]運(yùn)用壓縮映像原理及單調(diào)迭代法研究了如下的邊值問題：

受上述文獻(xiàn)的啟發(fā)，本文研究如下無窮區(qū)間上的三點(diǎn)邊值問題：

(1)

1 預(yù)備知識(shí)及引理

定義1[2]連續(xù)函數(shù)f:(0，+∞)→R的α>0階Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分的定義為

對(duì)任意的α>0，右端在R+上逐點(diǎn)可積．

定義2[2]函數(shù)f:(0，+∞)→R的α>0階Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分的定義為

其中，n是大于等于α的最小正整數(shù)，等式的右端在(0，+∞)有定義．

其中ci∈R(i=1，2，…，n)為任意常數(shù)，n為大于等于α的最小正整數(shù)．

引理2假設(shè)(H0)成立，h(t)∈C[0，+∞)∩L[0，+∞)，那么邊值問題

(2)

故

再由

及(2)的邊界條件得

其中λ(0)>Γ(α)，因此

證畢．

引理3函數(shù)G(t，s)滿足以下性質(zhì):

證明由G(t，s)的表達(dá)式可知結(jié)論1)成立.以下證明結(jié)論2)．

證畢.

注

其中，

G1(t，s)=

定義空間

其范數(shù)分別定義為:

定義算子T如下：

則T:Y→Y，且

引理5[9]設(shè)Z?Y是一個(gè)有界集，若

2)任意給定ε>0，存在常數(shù)T=T(ε)>0，使得對(duì)任意的t1，t2≥T及u(t)∈Z有

及

均成立，則Z是一個(gè)相對(duì)緊集．

引理6[10](Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理)設(shè)D是E中有界凸閉集(D不一定有內(nèi)點(diǎn))，A∶D→D全連續(xù)，則A在D中必具有不動(dòng)點(diǎn)．

2 主要結(jié)果

本文將用到如下假設(shè):

(H1)f∈C(R+×R×R，R)，且存在非負(fù)函數(shù)p，q，r∈L1(R+)，tα-1p∈L1(R+)，使得

f(t，u，v)|

(H2)a∈C(R+，R+)，(0

(H3)f∈C(R+×R×R，R)，存在w∈C(R+×R+)非減及Φ∈L1[0，+∞)使得

a(t)f(t，(1+tα-1)u，v)|<

Φ(t)(w(u|)+w(v|))+

定理1假設(shè)(H0)，(H1)，(H2)成立，若

λ(0)-Γ(α)≥

則邊值問題(1)至少有一個(gè)解．

第一步 證明T:U→U.選取

所以T:U→U．

第二步 證明T:U→U是連續(xù)的.設(shè)un∈U，n=1，2，3，…，un→u∈U(n→+∞)，于是

q(s)]+a(s)r(s)}ds<+∞,

a(s)r(s)}ds<+∞．

故

這就證明了TΩ在[0，+∞)上任意有限子空間上是等度連續(xù)．

又因

所以對(duì)任意的u∈Ω有

因此，T(Ω)在無窮點(diǎn)收斂.由引理5知T(Ω)為U中的列緊集，故T為緊算子．

綜上所述，T:U→U是全連續(xù)算子.故由引理6可知邊值問題(1)在U中至少有一個(gè)解.證畢．

定理2假設(shè)(H0)，(H2)，(H3)成立.若(H3)中的函數(shù)Φ，w滿足?ρ>0使得

(3)

證明首先證明T是解Y→Y連續(xù)的.設(shè)un(n=1，2，3，…)是Y中任一序列，并且un→u(n→+∞)，于是

即T(I)一致有界.又對(duì)?t1，t2∈R+，不妨設(shè)t1>t2，以及任意的u∈I有

由此可知TΩ在[0，+∞)上任意有限子空間上等度連續(xù).

此外又因

及

所以對(duì)任意的u∈I有

因此，T(I)在無窮點(diǎn)收斂.由引理5知T(I)為Y中的列緊集，故T為緊算子，又由T的連續(xù)性可知T:Y→Y全連續(xù)．

進(jìn)而有

3 例子

例1考慮下面邊值問題

及

顯然，

經(jīng)計(jì)算可知

因定理1的條件皆滿足，所以邊值問題至少存在一個(gè)解．

例2考慮下面邊值問題

a(t)f(t，u，v)=

|a(t)f(t，(1+tα-1)u，v)|≤

令ρ=5，有

因定理2的條件皆滿足，所以該邊值問題至少存在一個(gè)解．