基于GM-MC模型的唐家莊礦閉坑水位回升預測

韓瑞剛，孟 璐，楊俊文

(華北科技學院 安全工程學院，北京 東燕郊 065201)

0 引言

灰色系統(tǒng)理論模型針對一些觀測數(shù)據(jù)比較少的短數(shù)據(jù)序列可以取得不錯的預測效果,但是如果原始數(shù)據(jù)具有較大的波動性,那么預測精度就會降低[1]。馬爾可夫模型可以通過數(shù)據(jù)來構建事物發(fā)生的不同狀態(tài)之間的轉移概率矩陣,對于那些隨機波動較大的動態(tài)過程可以取得比較不錯的預測效果,可以彌補一些灰色模型對動態(tài)數(shù)據(jù)預測精度不高的缺點[2,3]。

近些年由于閉坑時缺少對問題足夠的重視，不少礦井在閉坑時未采用安全標準來閉坑，導致礦井采空區(qū)積水問題可能會嚴重影響到相鄰礦井區(qū)域的安全[4-6]，尤其閉坑礦井內水位回升高度將直接影響到鄰礦生產安全以及礦井內排水設施的布置。由于閉坑礦井內水位回升高度觀測數(shù)據(jù)本身是具有一系列波形性的短序列數(shù)據(jù)，水位回升并不是由一種因素引起的,它是各種因素共同作用的結果。通過分析，把兩個模型進行結合，可以很好的預測具有隨機波動性的數(shù)據(jù)列，為閉坑礦井內水位回升高度預測提供一種新的處理與預測方法[7]。

為此，本文對閉坑礦井內觀測到的水位回升數(shù)據(jù)進行詳細的分析處理，計算水位回升過程的狀態(tài)及發(fā)展趨勢，這將對認識礦井閉坑產生的安全問題以及為礦井制定針對性的水量排查提供了一定的理論依據(jù)。

1 灰色—馬爾可夫理論

1.1 灰色GM(1，1)模型

灰色模型的求解過程是一個系統(tǒng)白度不斷提高的過程，隨著系統(tǒng)白度不斷提高，其研究事件的發(fā)展變化規(guī)律也會逐漸顯現(xiàn)。過程中會受到礦井開采情況、地質構造、降雨量以及補給源等諸多因素的影響，該過程構成了一個較為復雜的灰色過程，因此礦井閉坑后水位回升的預測問題可以采用灰色系統(tǒng)理論進行求解[8，9]?；疑碚撃Ｐ褪墙⒃诎央x散的時間序列擬合為一階線性微分方程基礎之上的，由于GM(1，1)模型的變量只有1個，較為簡單，容易被人們理解和接受，在灰色系統(tǒng)理論的預測模型中應用比較廣泛。在建模過程中，GM(1，1)模型并不是對系統(tǒng)中的所有因素進行分析擬合，而是對系統(tǒng)中的主要因素進行分析擬合并預測，以生成的函數(shù)作為預測的基礎。

由于閉坑后水位回升過程中的波動性，具有較強的離散性特點，因此將礦井觀測孔獲取的水位標高觀測數(shù)據(jù)作為模型建立中的灰色量，并按照時間序列關系，將觀測水位標高數(shù)據(jù)記為模型中的灰色時間序列x0，經過時間序列依次累加形成序列x1，最后得到采用一階微分方程GM(1，1)預測模型[9]。

(1)

式中，a,u為系數(shù)向量，可通過最小二乘法求得。

[a,u]=(BTB)-1BTYn

(2)

其中：

(3)

Yn=(x0(2),x0(3),…x0(n))T

(4)

對所得的累計數(shù)據(jù)進行累減還原處理得到實際的預測值：

x0(t+1)=x1(t+1)-x1(t)

(5)

式中，B為GM(1，1)預測模型新生成累加數(shù)列的滑動平均數(shù)構成的矩陣，Yn為原始數(shù)據(jù)中從第二組數(shù)據(jù)起至最后一組數(shù)據(jù)構成的矩陣，t為時間。

1.2 馬爾科夫模型

馬爾可夫預測法是以馬爾科夫鏈為基礎，考慮事件發(fā)生概率的方法，其原理是通過關注事件現(xiàn)有狀態(tài)及狀態(tài)轉移過程來對未來各時期的各狀態(tài)進行概率預測，對待定系統(tǒng)狀態(tài)轉移可以采用數(shù)學概率來定量表述。

定義St為系統(tǒng)在t時刻所處的狀態(tài)。若在i時刻的狀態(tài)Si為已知，則在未來的某個i+1時刻系統(tǒng)所能達到的某種狀態(tài)Si+1只與i時刻的狀態(tài)Si有關，而與之前的狀態(tài)沒有關系，即馬爾科夫鏈可以看成是一種無后效性的離散隨機過程。定義Pij為系統(tǒng)由狀態(tài)Si經過1次轉移到狀態(tài)Sj的概率，當系統(tǒng)存在n種狀態(tài),把這些狀態(tài)組合在一起后所構成的矩陣P稱為狀態(tài)轉移矩陣[10]，即

(6)

1.3 灰色—馬爾可夫模型

灰色——馬爾科夫模型是在灰色理論的基礎上，對灰色模型預測數(shù)據(jù)與原始數(shù)據(jù)之間誤差按一定原則劃分區(qū)間狀態(tài)，并考慮到狀態(tài)動態(tài)轉移因素，預測結果會更貼近實際工程，可減少灰色理論固定的誤差，提高變形預測的精度，主要方法步驟[11]：

(1) 對誤差狀態(tài)進行取值劃分區(qū)間。按照灰色系統(tǒng)理論計算出來的的預測值與實測值的誤差，將其劃分為適當長度的幾個狀態(tài)區(qū)間。

Ei=[Ai,Bi](i=1,2,3……i)

(7)

(2) 計算個誤差狀態(tài)之間相互轉移發(fā)生的概率。認為事件目前狀態(tài)為Ei狀態(tài)，經過m步轉變變化到到Ej的次數(shù)計為nij(m)，其中某一狀態(tài)出現(xiàn)的次數(shù)記為ni，由狀態(tài)Ei經過m步轉移到Ej的概率Pij(m)計算見式(8)，該模型的轉移概率與初始狀態(tài)無關，轉移矩陣概率P(m)見式(9)。

(8)

(9)

(3) 對預測數(shù)據(jù)所處誤差區(qū)間狀態(tài)進行預測。通過計算各階段轉移概率，取概率最大值為下一時間序列所處在的狀態(tài)Ei。

(4) 通過計算得出所需預測數(shù)據(jù)。

2 工程實例

原唐家莊礦位于開灤礦區(qū)，與林西礦、趙各莊礦相鄰，由于歷史原因林西礦9東采區(qū)與唐家莊礦、趙各莊礦未留設邊界隔離煤柱，各煤層均有采掘工程勾通，在空間上由于采后冒落、導水裂隙帶發(fā)育使林趙唐三礦導水之處甚多，形成三礦水力聯(lián)系復雜的局面。

原唐家莊礦于2000年開始閉井，閉井后二水平以下排水設施已完全拆除，三水平及三水平以下采空區(qū)水全部下放到林西礦。據(jù)唐家莊礦地測科調查，唐家莊礦自閉井后，井內老空水位一直處于上升狀態(tài)。

考慮到唐家莊水位回升一方面會給趙各莊與唐家莊的邊界煤柱和林西與唐家莊的邊界煤柱帶來更大的水頭壓力，產生威脅；另一方面，還會連通更多林—趙—唐三礦間的溝通點，造成突水危害。本文統(tǒng)計2009～2018年唐家莊閉井后的老空水位數(shù)據(jù)，分析其水位上漲規(guī)律，為礦井制定針對性的水量排查提供了一定的理論依據(jù)。

表1 唐家莊礦井內水位統(tǒng)計表

3 預測結果分析

3.1 灰色模型預測結果

依據(jù)原唐家莊礦閉坑后2009～2018年井內水位標高觀測數(shù)據(jù)，基于GM(1，1)模型對水位上升高度進行預測。GM(1，1)白化響應式的解：

x1(t+1)=32953.01944e-0.00671t+33177.61944

(10)

x0(t+1)=x1(t+1)-x1(t)

(11)

經過累減后，得出其預測數(shù)列：

x0(t+1)=-221.52652e-0.00671t，t≥1

(12)

式中，x1為GM(1，1)模型預測數(shù)據(jù)的累加序列，x0為GM(1，1)模型的預測數(shù)據(jù)，t為時間。

通過預測數(shù)列式(12)計算實測值與預測值的相對誤差見表2。

表2 GM(1，1)預測值及相對誤差

由表2可知，通過觀測得到的礦井水位標高實測數(shù)據(jù)與建立的GM(1，1)模型預測值的相對誤差最大為0.99%，最小誤差僅為0.04%，平均精度為99.62%，但是前期水位回升受煤礦采掘影響較大，導致預測數(shù)據(jù)與實測數(shù)據(jù)之間相對誤差較大。同時證明GM(1，1)模型可以實現(xiàn)利用原始離散數(shù)據(jù)對系統(tǒng)未來發(fā)展趨勢進行較為準確地預測，但整體精度仍然有待進一步提高。

3.2 灰色—馬爾科夫模型預測結果

根據(jù)灰色模型預測結果(見表2)，對其預測數(shù)據(jù)與觀測數(shù)據(jù)之間誤差狀態(tài)按照灰色—馬爾可夫模型劃分原則[12,13]，將其誤差值劃分為三個區(qū)間： [-0.007,-0.001]、(-0.001,0.005]、(0.005,0.01]，區(qū)間劃分結果會直接影響預測結果，因此要合理劃分誤差值區(qū)間，一般選3～4個狀態(tài)區(qū)間為宜。

根據(jù)誤差狀態(tài)劃分結果(見表3)，將E1～E3之間狀態(tài)相互轉移概率通過步數(shù)轉移來表示，其1～3步轉移概率矩陣如下所示。

利用E1～E3狀態(tài)轉移概率矩陣結果，通過現(xiàn)有已知2009～2017年度水位數(shù)據(jù)來預測2018年水位高度，并與2018年觀測到的實際水位標高對比，計算結果誤差。

表4 2018年水位標高狀態(tài)預測計算結果

由表4可以看出，模型預測2018年出現(xiàn)在狀態(tài)(E1)概率達到1.92，遠大于E2和E3區(qū)間的概率，即2018年水位高程值處于狀態(tài)E1的可能性最大，此時利用灰色—馬爾可夫預測模型進行計算：

x0′(t+1)=-221.52652βe-0.00671t

(13)

β=1+θ

(14)

式中，x0′為灰色—馬爾可夫模型預測值，β為灰色—馬爾科夫預測模型回歸系數(shù)；θ為預測可能存在的狀態(tài)區(qū)間的中值，各狀態(tài)下的β取值見表3。

表5 各狀態(tài)下的β值

同歸上述計算可知，基于灰色—馬爾可夫轉移模型預測2018年水位高度為208.42 m，精度為99.95%。并將灰色理論模型預測的結果與灰色—馬爾可夫模型計算結果進行對比，比較兩種方法預測結果精度。

表6 GM(1,1)和GM-MC相對實測值的誤差與精度

續(xù)表

由表6可知，通過GM-MC模型預測出來的井內水位高度與實際觀測到的水位高度相對誤差較小，最大誤差為0.56%，平均精度保持在98.82%以上。將兩種模型預測結果與實際觀測水位數(shù)據(jù)作圖直觀表示，如圖1所示。

圖1 實測水位高度與模型預測值對比

由圖1可以更為直觀的看出，礦井內水位實際回升高度數(shù)據(jù)前期離散性較大，主要受地質條件及礦井開采影響，此時可以看出灰色理論模型預測結果與實際值具有一定的差值，精度不是非常高,而灰色-馬爾科夫改進模型的預測結果較實測值更接近。通過模型預測出的結果，證明GM-MC預測模型在閉坑礦井水位回升預測問題中更具實用性。

4 結論

(1) 水位上升是一個動態(tài)的過程，受各方面因素的影響，數(shù)據(jù)具有離散性，通過對建立的灰色—馬爾可夫模型計算求解，驗證了該模型能夠達到較高的預測精度。

(2) 灰色—馬爾科夫模型是基于馬爾科夫鏈對灰色模型進行修正，通過對唐家莊礦閉坑后水位回升過程預測，表明經過馬爾科夫鏈修正后的灰色GM(1，1)預測結果準確度較高，實用性更強。