三圓弧諧波齒輪傳動齒廓設(shè)計(jì)及參數(shù)優(yōu)化

時志奇，楊勇,2，賀小飛,3，黃彥彥，周青華

(1.四川大學(xué)空天科學(xué)與工程學(xué)院，四川成都，610065；2.武漢第二船舶設(shè)計(jì)研究所，湖北武漢，430064；3.四川航天中天動力裝備責(zé)任有限公司，四川成都，610100)

諧波齒輪傳動裝置是隨著航空航天技術(shù)發(fā)展而來的一種基于薄壁理論的柔性傳動裝置，最早由MUSSER[1]提出，因其具有結(jié)構(gòu)簡單緊湊、傳動比大、傳動精度高、承載能力大和傳動效率高等優(yōu)點(diǎn)被大量應(yīng)用于衛(wèi)星天線的驅(qū)動裝置、雷達(dá)的精密伺服機(jī)構(gòu)、火箭導(dǎo)彈的轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)以及飛機(jī)自動駕駛系統(tǒng)等航空航天領(lǐng)域[2]。近年來諧波減速器作為機(jī)器人實(shí)現(xiàn)運(yùn)動功能的核心部件，廣泛應(yīng)用于輕型工業(yè)機(jī)器人和機(jī)械臂關(guān)節(jié)中，其精度和性能是衡量機(jī)器人整機(jī)精度和性能的主要指標(biāo)[3-4]。自諧波齒輪問世以來，國內(nèi)外學(xué)者針對它的運(yùn)動學(xué)原理[5-8]、齒形研究[9-10]、結(jié)構(gòu)參數(shù)分析優(yōu)化[11-15]以及傳動精度、壽命和失效等方面都展開了大量研究[16]。諧波齒輪的輪齒齒形對于傳動系統(tǒng)整體性能有著很大的影響，合理的齒形可以改善諧波齒輪傳動性能，提高承載能力和傳動精度[10]。諧波齒輪的齒廓形狀經(jīng)歷一系列發(fā)展和演變[11-12]，且隨著齒廓形狀的優(yōu)化改進(jìn)，諧波齒輪傳動裝置在承載能力、傳動精度、加工性能、嚙合性能和動力學(xué)特性等方面都得到了較大提升[9-13]。三圓弧齒廓諧波齒輪由陳曉霞等[17]在2017年提出并申請了發(fā)明專利，與雙圓弧齒廓諧波齒輪相比，三圓弧諧波齒輪在傳動中具有更寬的包絡(luò)存在區(qū)間和共軛嚙合齒面，更均勻的嚙合側(cè)隙使得諧波齒輪的傳動精度和承載能力都有所提高。本文作者以三圓弧齒廓諧波齒輪為研究對象，采用楊勇等[18]提出的諧波齒輪傳動共軛齒廓精確求解方法，求解柔輪齒廓的理論共軛齒廓，并分析柔輪齒廓參數(shù)對柔輪共軛齒廓的影響規(guī)律。采用圓弧擬合和數(shù)值計(jì)算相結(jié)合的方法，設(shè)計(jì)求解出剛輪齒廓曲線。為進(jìn)一步提高諧波齒輪的傳動精度、傳動平穩(wěn)性、嚙合剛度和承載能力，以擴(kuò)展雙共軛嚙合區(qū)間為目標(biāo)建立優(yōu)化函數(shù)，對諧波齒輪柔輪齒廓參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化分析，以便為三圓弧齒廓諧波齒輪的設(shè)計(jì)及優(yōu)化提供一定參考。

1 三圓弧諧波齒輪齒形設(shè)計(jì)

1.1 諧波齒輪傳動坐標(biāo)系

諧波齒輪在實(shí)際服役過程中，其柔輪的變形為空間彈性變形，結(jié)構(gòu)變化和受力狀況復(fù)雜，為便于諧波齒輪運(yùn)動學(xué)問題的相關(guān)研究，對傳動模型進(jìn)行簡化，將諧波齒輪的剛輪、柔輪和波發(fā)生器的空間嚙合問題離散化為平面嚙合問題進(jìn)行研究[19-20]，并忽略傳動過程中柔輪和剛輪的輪齒變形，即假設(shè)輪齒為剛體。

以橢圓波發(fā)生器諧波齒輪為例，建立如圖1所示坐標(biāo)系，以表征傳動過程中各部件的位置關(guān)系和運(yùn)動狀態(tài)，對嚙合傳動進(jìn)行量化分析。

圖1 諧波齒輪傳動坐標(biāo)系Fig.1 Coordinate systemsof harmonic drive

圖1中，曲線0表示柔輪變形之前的中性線形狀，是1個標(biāo)準(zhǔn)的圓；曲線1表示柔輪在波發(fā)生器作用下發(fā)生變形后的中性線，其中波發(fā)生器長軸平行豎直方向；曲線2為波發(fā)生器逆時針旋轉(zhuǎn)φ1后的柔輪中性線；坐標(biāo)系S0(X0,O0,Y0)為柔輪輪齒局部坐標(biāo)系，與輪齒固連；坐標(biāo)系S1(X1,O1,Y1)是與剛輪固定連接的坐標(biāo)系，始終保持位置不變；坐標(biāo)系S(X,O,Y)則是與波發(fā)生器固連的坐標(biāo)系，Y軸與波發(fā)生器的長軸重合，X軸與波發(fā)生器的短軸重合。

1.2 柔輪齒廓參數(shù)模型

三圓弧諧波齒輪柔輪齒廓的二維模型如圖2所示，柔^輪齒廓主要由^齒頂端凸圓弧齒根端凹圓弧和中間圓弧這3段圓弧組成，凸圓弧^^和中間圓弧內(nèi)相切，切點(diǎn)為B，切線與Y0軸夾角為δ1；凹圓弧^和中間圓弧^外相切，切點(diǎn)為C，切線與Y0軸夾角為δ2。3段圓弧的圓心坐標(biāo)和相關(guān)參數(shù)的位置關(guān)系如圖2所示。圖2中：hf為齒根高；ha為齒頂高；ds為齒根圓與柔輪中線層距離；ya為凸圓弧圓心移距量；xa為凸圓弧圓心偏移量；和分別為凸圓弧、中間圓弧和凹圓弧的曲率半徑；和分別為凸圓弧中間圓弧和凹圓弧^的圓心；為圓弧^AB和^BC公切線與軸的夾角；為圓弧^BC和^CD的公切線與Y0軸的夾角。

圖2 三圓弧諧波齒輪柔輪齒廓Fig.2 Triple-circular-arc harmonic drives flexiblegear profile

以弧長s為變量，應(yīng)用數(shù)值離散的思想，求解出齒廓曲線上各點(diǎn)在齊次坐標(biāo)系中的徑矢和法向向量。

弧長范圍s∈(0,l1)，其中，

結(jié)合式(1)和(2)，可求得凸圓弧齒廓AB上的各點(diǎn)在齊次坐標(biāo)系中的徑矢和法線向量，可表示為

2)中間圓弧。

弧長范圍s∈(l1,l2)，其中，

則圓弧圓心坐標(biāo)為

結(jié)合式(4)和(5)，求得中間段圓弧上的各點(diǎn)在齊次坐標(biāo)系的徑矢和法線方程表達(dá)式為

3)凹圓弧段

弧長范圍s∈(l2,l3)，其中：

則圓弧圓心坐標(biāo)為

結(jié)合式(7)和(8)，求得凹圓弧段上的各點(diǎn)在齊次坐標(biāo)系的徑矢和法線方程表達(dá)式為

1.3 柔輪共軛齒廓求解

對于柔輪共軛齒廓的求解，采用文獻(xiàn)[18]中提出的諧波齒輪傳動共軛齒廓的精確解法。首先參考圖1中的諧波齒輪傳動坐標(biāo)系，求解出柔輪輪齒局部坐標(biāo)系S0(X0,O0,Y0)到剛輪坐標(biāo)系S1(X1,O1,Y1)的坐標(biāo)變換矩陣M10和徑矢變換矩陣W10，如式(10)和(11)所示。

則通過坐標(biāo)變換可得：

根據(jù)齒輪傳動運(yùn)動學(xué)法中的嚙合方程[21-22]，對于齒輪齒廓上參與嚙合的點(diǎn)，滿足

結(jié)合式(12)和(13)，可得

將式(10)和(11)代入式(14)，得

結(jié)合式(3)，(6)和(9)中所求得的3段圓弧齒廓上各點(diǎn)的徑矢r和法向量n，可求得與柔輪齒廓上的點(diǎn)在坐標(biāo)系S1(X1,O1,Y1)中的理論共軛嚙合點(diǎn)，然后，將各共軛點(diǎn)運(yùn)用圓弧曲線進(jìn)行擬合，即可得到柔輪齒廓的共軛齒廓。

以橢圓凸輪波發(fā)生器的諧波齒輪為例進(jìn)行實(shí)例計(jì)算。選取模數(shù)m=0.32mm、全齒高h(yuǎn)=1.5m，齒頂高h(yuǎn)a=0.6m，齒根高h(yuǎn)f=0.9m，其他輪齒齒廓參數(shù)取值如表1所示。

根據(jù)前面所述方法，采用數(shù)值離散的思想，將柔輪齒廓按弧長離散化為一系列坐標(biāo)點(diǎn)陣，然后，應(yīng)用MATLAB進(jìn)行編程計(jì)算，求解出柔輪齒廓上的各離散點(diǎn)所對應(yīng)的理論共軛嚙合點(diǎn)，再進(jìn)行圓弧擬合，得出各段柔輪齒廓的理論共軛齒廓，結(jié)果如圖3所示。求解出柔輪齒廓上各離散點(diǎn)成為嚙合點(diǎn)時柔輪輪齒與波發(fā)生器長軸的夾角αi，αi的解的范圍即為共軛嚙合區(qū)間，如圖4所示。

表1 柔輪齒廓參數(shù)Table1 Parametersof flexspline tooth profile

圖3 柔輪理論共軛齒廓Fig.3 Theoretical conjugate tooth profileof flexspline

圖4 柔輪齒廓共軛區(qū)域Fig.4 Conjugate intervalof flexspline tooth profile

由圖4可以看出在嚙合傳動過程中每個弧長s(對應(yīng)柔輪齒廓上的1個點(diǎn))有2個角度使之為共軛嚙合點(diǎn)，即存在“二次共軛”現(xiàn)象[14]。由于存在“二次共軛”，每段柔輪齒廓有2條與之對應(yīng)的理論共軛齒廓，與圖3中結(jié)果對應(yīng)。同樣，1個共軛嚙合角(對應(yīng)柔輪的1個共軛位置)有2個對應(yīng)的弧長，即有2個柔輪齒廓上的點(diǎn)同時處于共軛嚙合狀態(tài)，即存在“雙共軛”現(xiàn)象[14]。“雙共軛”和“二次共軛”對于諧波齒輪傳動的承載力、傳動精度、嚙合剛度等性能的提高有很大作用[9-13]，因此，在諧波齒輪設(shè)計(jì)中，應(yīng)使得“雙共軛”區(qū)間最大化，諧波齒輪傳動的嚙合傳動性能達(dá)到最優(yōu)。

1.4 剛輪齒廓設(shè)計(jì)

對于諧波齒輪剛輪齒廓的設(shè)計(jì)，為保證剛輪和柔輪的共軛運(yùn)動，諧波齒輪的剛輪齒廓是在柔輪理論共軛齒廓的基礎(chǔ)上進(jìn)行設(shè)計(jì)。為了避免諧波齒輪傳動中發(fā)生齒廓干涉，用于設(shè)計(jì)剛輪齒廓的柔輪共軛齒廓，應(yīng)根據(jù)各共軛齒廓在坐標(biāo)系中的相對位置，選擇最外層的柔輪共軛齒廓[11-13]，以保證諧波齒輪良好的嚙合傳動特性。

本文采用圓弧擬合和幾何計(jì)算相結(jié)合的方法設(shè)計(jì)求解剛輪齒廓。先根據(jù)各柔輪共軛齒廓在坐標(biāo)系內(nèi)的相對位置關(guān)系，選擇最外層的柔輪共軛齒廓曲線，然后對選出的共軛齒廓進(jìn)行圓弧擬合，并求解出各柔輪共軛齒廓在坐標(biāo)系S1(X1,O1,Y1)中的齒廓方程和幾何參數(shù)，最后應(yīng)用三段圓弧的幾何關(guān)系，對曲線進(jìn)行修正，從而得到光滑的三圓弧曲線剛輪齒廓曲線。以1.3節(jié)中柔輪齒廓為例，求解其剛輪齒廓，具體如下。

首先，根據(jù)圖3中各柔輪共軛齒廓的在坐標(biāo)系中的位置關(guān)系，選取最外側(cè)的共軛齒廓和進(jìn)行剛輪齒廓求解；其次，對選取的共軛齒廓用“最小二乘法”進(jìn)行圓弧擬合，求得各段圓弧的圓心坐標(biāo)以及半徑和然后，為避免傳動過程中發(fā)生齒廓干涉，需對求得的各圓弧的半徑進(jìn)行單側(cè)調(diào)整[11]，使得所有的柔輪理論共軛嚙合點(diǎn)在剛輪齒廓內(nèi)側(cè)，具體方法為增大r1和r2，減小r3，調(diào)整量為各理論共軛點(diǎn)到擬合圓弧的距離的最大值，從而得到新的圓弧半徑r′1，r′2和r′3；最后，根據(jù)各圓弧之間的幾何關(guān)系，由下式重新確定中間段圓弧的圓心坐標(biāo)(a*2,b*2)：

由圖5和圖6可以看出：所設(shè)計(jì)的剛輪齒廓為1條連續(xù)的光滑曲線，且剛輪齒廓與柔輪共軛齒廓和基本重合，保證了剛輪和柔輪的共軛運(yùn)動特性，而且在傳動過程中，柔輪齒廓曲線始終位于剛輪齒廓下方，即在傳動過程中不會發(fā)生齒廓干涉。

圖5 三圓弧諧波齒輪剛輪齒廓Fig.5 Triple-circular-arc harmonic drives rigid gear profile

圖6 柔輪運(yùn)動軌跡Fig.6 Trajectory of flexiblewheel

由上可知，由于各柔輪共軛齒廓的位置關(guān)系，在剛輪齒廓設(shè)計(jì)中，為了保證傳動過程中不發(fā)生齒廓干涉，設(shè)計(jì)的剛輪齒廓只包含柔輪理論共軛齒廓的一部分，因而使得參與實(shí)際嚙合的理論共軛點(diǎn)數(shù)目較少[11]，實(shí)際的雙共軛區(qū)間較小，影響了諧波齒輪的傳動性能。因此，對諧波齒輪的齒形和齒廓參數(shù)進(jìn)行設(shè)計(jì)優(yōu)化，使有效理論共軛點(diǎn)數(shù)目增加，增加雙共軛區(qū)間，從而提高諧波齒輪的嚙合傳動特性，具有很大的工程實(shí)踐價值和意義[9-13]。

2 柔輪齒廓參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)

柔輪的齒廓參數(shù)對于柔輪共軛齒廓有很大的影響，當(dāng)齒廓參數(shù)變化時，柔輪的凸圓弧共軛齒廓以及凹圓弧共軛齒廓的距離和相對位置都會發(fā)生變化。當(dāng)兩共軛齒廓的相對位置變化后，用于剛輪齒廓設(shè)計(jì)的柔輪共軛齒廓也隨之發(fā)生改變，進(jìn)而影響諧波齒輪傳動的雙共軛區(qū)間和諧波齒輪傳動的嚙合傳動性能[11-15]。

2.1 柔輪齒廓參數(shù)對共軛齒輪影響

為研究諧波齒輪各柔輪齒廓參數(shù)對于共軛齒廓的影響，分別以齒形參數(shù)δ1，δ2，ρf和ρa(bǔ)為單一變量，分析柔輪共軛齒廓和的相對位置隨齒形參數(shù)的變化規(guī)律，其結(jié)果如圖7所示。

由圖7(a)可以看出：隨著柔輪齒廓參數(shù)δ1的增大，共軛齒廓在坐標(biāo)系中的位置不發(fā)生變化，而共軛齒廓的位置則由共軛齒廓的上方變?yōu)橄路?，與共軛齒廓之間的距離先變小再變大；在δ1=12.5°時，柔輪共軛齒廓和之間的距離最小。根據(jù)剛輪齒廓設(shè)計(jì)的原則，為了避免傳動過程中的齒廓干涉，當(dāng)δ1<12.5°時，在的上方，此時，用于剛輪齒廓設(shè)計(jì)的共軛齒廓為而當(dāng)δ1>12.5°時，在的下方，此時，用于剛輪齒廓設(shè)計(jì)的共軛齒廓為

齒廓參數(shù)δ2和ρf對柔輪共軛齒廓的影響規(guī)律如圖7(b)和圖7(c)所示。從圖7(b)和圖7(c)可見：隨參數(shù)的變化，柔輪共軛齒廓L1CD和L2AB在坐標(biāo)系中的相對位置和距離誤差的變化趨勢與齒廓參數(shù)δ1的影響規(guī)律類似；在δ2=11.4°和ρf=0.55mm時，柔輪共軛齒廓L1CD和L2AB之間距離最小。

圖7(d)所示為柔輪齒廓參數(shù)ρa(bǔ)對共軛齒廓和的影響規(guī)律。從圖7(d)可以看出：與其他齒廓參數(shù)略有不同，隨著參數(shù)ρa(bǔ)變化，柔輪共軛齒廓和在坐標(biāo)系中的位置都隨之發(fā)生改變，但和之間的相對位置以及距離的影響規(guī)律與其他齒廓參數(shù)的相似，當(dāng)ρa(bǔ)=0.65mm時，共軛齒廓和之間距離最小。

根據(jù)圖7所示結(jié)果，柔輪各齒形參數(shù)δ1，δ2，ρa(bǔ)和ρf對共軛齒廓和的相對位置以及相對距離都有影響，在設(shè)計(jì)過程中，應(yīng)根據(jù)具體的齒廓參數(shù)，確定各柔輪共軛齒廓在坐標(biāo)系中的位置，選擇合適的共軛齒廓，以保證諧波齒輪的嚙合傳動性能。由圖7還可看出：通過參數(shù)調(diào)整，可使得共軛齒廓和之間距離減小甚至使得兩共軛齒廓重合，此時，剛輪齒廓所包含的柔輪理論共軛齒廓數(shù)目增加，實(shí)際共軛嚙合點(diǎn)數(shù)目增多，雙共軛區(qū)間增大；同時，參與嚙合的嚙合點(diǎn)數(shù)目增加，諧波齒輪的嚙合傳動性能提高[11-15]。

結(jié)合圖3中柔輪共軛齒廓曲線分布可以得出：當(dāng)剛輪齒廓和柔輪共軛齒廓和重合時，剛輪齒廓所包含的柔輪理論共軛嚙合點(diǎn)最多，雙共軛區(qū)間最大，諧波齒輪的嚙合傳動性能最優(yōu)。本文以減小柔輪共軛齒廓與剛輪齒廓之間的差異，增加有效理論共軛點(diǎn)數(shù)為目標(biāo)，建立目標(biāo)函數(shù)，對三圓弧諧波齒輪齒廓參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，以增加雙共軛區(qū)間，提高諧波齒輪的嚙合傳動性能。

2.2 目標(biāo)函數(shù)與變量確定

由1.2節(jié)中的方法求解柔輪共軛齒廓，運(yùn)用數(shù)值離散的思想方法，則共軛齒廓方程可表示為

根據(jù)1.4節(jié)的剛輪齒廓求解方法，求解出剛輪齒廓方程G(x)，則各柔輪共軛齒廓與剛輪齒廓之間的差異Di(x)可表征為

由于共軛齒廓函數(shù)Ri(x)主要與柔輪齒形參數(shù)凹圓弧半徑ρf、凸圓弧半徑ρa(bǔ)、圓弧公切線傾角δ1和δ2相關(guān)，所以，函數(shù)Di(x)又可表示為

以T(δ1,δ2,ρf,ρa(bǔ))為目標(biāo)函數(shù)，柔輪齒形參數(shù)δ1，δ2，ρf和ρa(bǔ)為變量，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)T(δ1,δ2,ρf,ρa(bǔ))達(dá)到最小值Tmin時，各柔輪共軛齒廓和剛輪齒廓的誤差最小，剛輪齒廓所包含的參與實(shí)際嚙合運(yùn)動的有效理論共軛嚙合點(diǎn)數(shù)目最多，雙共軛區(qū)間最大。

2.3 優(yōu)化分析

2.3.1 單變量分析

圖7 柔輪齒廓參數(shù)對共軛齒廓的影響Fig.7 Influence of flexspline tooth profile parameterson conjugate profile

為確定各柔輪齒廓參數(shù)對目標(biāo)函數(shù)的影響，采用單一變量分析方法，分別取柔輪的齒形參數(shù)δ1，δ2，ρf和ρa(bǔ)作為單一變量(其余參數(shù)按表1取值)，求解單一變量對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)，分析柔輪共軛齒廓L1AB，L2AB，L1BC，L2BC和L1CD與剛輪齒廓之間距離均值(分別記為L1AB-CS，L2AB-CS，L1BC-CS，L2BC-CS和以及距離均值之和(記為DT)隨齒廓參數(shù)的變化規(guī)律，如圖8所示。

由圖8(a)可得：隨著δ1的增大，變化很小，其值小于0.09μm。在δ1小于12.55°時，隨δ1的增大而減小，當(dāng)δ1大于12.55°時，L2AB-CS趨于不變，且在δ1等于12.55°處取得最小值L2AB-CSmin=0.183μm。在δ1=12.55°處取得最小值0.129μm，當(dāng)δ1<12.55°時，趨于不變，而當(dāng)δ1>12.55°時，L1CD-CS隨δ1的增大而增大。L1BC-CS，和DT都隨著δ1增大而先減小后增大的變化趨勢，均在δ1=12.55°時取得最小值，DTmin=1.54μm；μm；L2BC-CSmin=4.21μm。且L1BC-CS，和DT在δ1=12.55°處有突變，結(jié)合圖7(a)中齒廓參數(shù)δ1對共軛齒廓影響可知：突變是由于柔輪共軛齒廓位置的改變，用于剛輪齒廓設(shè)計(jì)的共軛齒廓發(fā)生改變，當(dāng)δ1<12.55°時，柔輪共軛齒廓在的下方，用于剛輪齒廓設(shè)計(jì)的柔輪齒廓為L1CD，而當(dāng)δ1大于12.55°時，柔輪共軛齒廓L2AB在L1CD的上方，用于剛輪齒廓設(shè)計(jì)的柔輪齒廓為，且根據(jù)圖7(a)，當(dāng)δ1在12.5°附近時，兩共軛齒廓L2AB和L1CD之間差距最小，這一規(guī)律也與圖8(a)中目標(biāo)函數(shù)在δ1=12.55°處取得最小值的結(jié)果對應(yīng)一致。

目標(biāo)函數(shù)T(δ2)，T(ρf)和T(ρa(bǔ))的結(jié)果分別如圖8(b)，8(c)和8(d)所示，變化規(guī)律與圖8(a)中T(δ1)的類似，分析結(jié)果與圖7中齒廓參數(shù)對共軛齒廓的影響結(jié)果相對應(yīng)一致。

圖7和圖8的分析結(jié)果相對應(yīng)，證明目標(biāo)函數(shù)很好地量化表征剛輪齒廓和柔輪共軛齒廓差異。由圖8可以得出：通過齒廓參數(shù)的調(diào)整，可以減小柔輪理論共軛齒廓和與剛輪齒廓之間距離，使得剛輪齒廓包含柔輪理論共軛齒廓增加，參與實(shí)際嚙合的有效理論共軛嚙合點(diǎn)數(shù)目增加，雙共軛區(qū)間增大。但由于目標(biāo)函數(shù)與齒廓參數(shù)δ1，δ2，ρf和ρa(bǔ)都相關(guān)，為多變量函數(shù)，因此，有必要對目標(biāo)函數(shù)T(δ1，δ2，ρf，ρa(bǔ))進(jìn)行多參數(shù)優(yōu)化，以獲得更符合實(shí)際狀況的最優(yōu)齒廓。

圖8 單變量優(yōu)化函數(shù)TFig.8 Single independent variable optimization function T

2.3.2 多變量優(yōu)化

在多變量優(yōu)化計(jì)算中，隨著優(yōu)化參數(shù)增加，計(jì)算量將呈指數(shù)增加。為減少計(jì)算量，提高優(yōu)化效率，將優(yōu)化過程分為2個階次進(jìn)行：初步優(yōu)化和二次優(yōu)化。經(jīng)初步優(yōu)化后，根據(jù)優(yōu)化計(jì)算結(jié)果，縮小優(yōu)化區(qū)間，重新確定離散值，進(jìn)一步優(yōu)化。

1)初步優(yōu)化。根據(jù)圖8中的分析結(jié)果，分別對變量δ1，δ2，ρf和ρa(bǔ)在區(qū)間δ1∈[12.2°,13.2°]，δ1∈[11.0°,12.02°]，ρf∈[0.5,0.6]和ρa(bǔ)∈[0.55,0.65]內(nèi)取5組離散值，計(jì)算各組參數(shù)(共54組)對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)，求最優(yōu)解T(δ1，δ2，ρf，ρa(bǔ))min。

2)二次優(yōu)化。根據(jù)初次優(yōu)化的結(jié)果，重新確定優(yōu)化區(qū)間，各參數(shù)在新區(qū)間內(nèi)再取5個離散值，再次計(jì)算各組參數(shù)(共54組)對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)，求出二次優(yōu)化的最優(yōu)解。

二次優(yōu)化方法較于單次優(yōu)化方法，計(jì)算量大幅減小，計(jì)算次數(shù)減少2.3×104次，是單次優(yōu)化計(jì)算的1/19.53。

根據(jù)計(jì)算結(jié)果，當(dāng)T(ρf，ρa(bǔ)，δ1，δ2)=T(0.536，0.625，12.25°，11.22°)時，柔輪共軛齒廓和剛輪齒廓的總距離DT取得最小值，DTmin=0.99655μm；柔輪各共軛齒廓和剛輪齒廓的差異為

根據(jù)計(jì)算結(jié)果，在最優(yōu)齒廓參數(shù)下，各柔輪共軛齒廓L1AB，L2AB，L1BC，L2BC和L1CD與剛輪齒廓的誤差均小于1.0μm，在實(shí)際工程中，在這種精度下，視為柔輪共軛齒廓L1AB，L2AB，L1BC，L2BC和L1CD與剛輪齒廓基本重合，實(shí)現(xiàn)雙共軛區(qū)間最大化。優(yōu)化前后的共軛區(qū)間對比如圖9所示，具體變化量如表2所示。

圖9 優(yōu)化前后共軛區(qū)間對比Fig.9 Comparison of conjugate intervalsbefore and after optimization

由圖9可以得出：優(yōu)化后的齒廓參數(shù)所對應(yīng)的諧波齒輪，參與實(shí)際嚙合的柔輪共軛齒廓增加了和L1CD，共軛I區(qū)的共軛區(qū)間大幅增加，增大

在二次優(yōu)化的最優(yōu)參數(shù)下，剛輪齒廓和柔輪共軛齒廓的誤差最大值為

誤差均值為64.128%，共軛Ⅱ區(qū)的共軛區(qū)間增大8.21%，則總的雙共軛區(qū)間在原來的基礎(chǔ)上增大17.327%，而嚙合空白區(qū)間減小60.41%，由此可見，此優(yōu)化方法可有效增大諧波齒輪的雙共軛區(qū)間增大，減小嚙合空白區(qū)間，使得諧波齒輪的承載能力、傳動精度、傳動平穩(wěn)性等進(jìn)一步提高。

表2 優(yōu)化前后共軛區(qū)間對比Table2 Comparison of conjugate intervalsbefore and afteroptim ization

3 結(jié)論

1)運(yùn)用數(shù)值離散的思想求解出剛輪齒廓方程，結(jié)合改進(jìn)的運(yùn)動學(xué)法，求解了諧波齒輪傳動的嚙合不變矩陣和柔輪共軛齒廓，并在柔輪共軛齒廓的基礎(chǔ)上，結(jié)合圓弧擬合和幾何計(jì)算的思想方法，求解出諧波齒輪的剛輪齒廓，所求得的剛輪齒廓為光滑的曲線，且在傳動過程中不會發(fā)生齒廓干涉。

2)以增加雙共軛區(qū)間為目標(biāo)，對柔輪齒廓參數(shù)進(jìn)行了單變量和多變量的優(yōu)化分析，經(jīng)過參數(shù)優(yōu)化，雙共軛區(qū)間增大17.327%，且嚙合空白區(qū)間減小60.41%。實(shí)際參與嚙合傳動的柔輪共軛數(shù)目增加，有效共軛嚙合點(diǎn)增多，使雙共軛區(qū)間最大化，諧波齒輪的承載能力、傳動精度、傳動平穩(wěn)性等進(jìn)一步提高。