麥克風(fēng)效應(yīng)對CiADS超導(dǎo)腔穩(wěn)定性影響的仿真分析

馬瑾穎，黃貴榮，薛縱橫，陳 奇，高 鄭，朱正龍，曾凡劍，孫列鵬，施龍波，何 源，王賢武

(1.中國科學(xué)院 近代物理研究所，甘肅 蘭州 730000；2.中國科學(xué)院大學(xué) 核科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，北京 100049)

加速器驅(qū)動嬗變研究裝置(CiADS)是“十二五”期間國家優(yōu)先安排建設(shè)的重大科技基礎(chǔ)設(shè)施[1]。該裝置的建設(shè)于2018年啟動，目前正在進(jìn)行技術(shù)方案的設(shè)計(jì)和完善。其強(qiáng)流超導(dǎo)質(zhì)子直線加速器的設(shè)計(jì)能量為500 MeV，流強(qiáng)為5 mA，超導(dǎo)腔的工作頻率為162.5、325和650 MHz，總數(shù)量約150個(當(dāng)前設(shè)計(jì))[2]。由于質(zhì)子束能量高、功率大，束流不穩(wěn)定所導(dǎo)致的粒子損失會對加速器的穩(wěn)定運(yùn)行及設(shè)備安全產(chǎn)生重大影響，如降低超導(dǎo)腔性能、加重低溫系統(tǒng)的熱耗負(fù)擔(dān)及管道損傷和活化等。因此CiADS對束流穩(wěn)定性有極高要求，其束損限制指標(biāo)為0.1 W/m。超導(dǎo)腔的幅相穩(wěn)定性是影響束流穩(wěn)定的主要因素之一，依據(jù)束流動力學(xué)計(jì)算，CiADS超導(dǎo)腔的幅相穩(wěn)定性指標(biāo)為0.1%和0.1°。

超導(dǎo)腔的麥克風(fēng)效應(yīng)是指腔體的機(jī)械形變引起腔諧振頻率的振蕩性變化[3-4]。麥克風(fēng)效應(yīng)導(dǎo)致腔體動態(tài)失諧，影響超導(dǎo)腔中電磁場的穩(wěn)定性。在ADS 25 MeV原理驗(yàn)證樣機(jī)的運(yùn)行過程中發(fā)現(xiàn)，個別恒溫器未能有效隔離機(jī)械振動，部分超導(dǎo)腔的麥克風(fēng)效應(yīng)較強(qiáng)，易引起低電平反饋環(huán)路相位失鎖并觸發(fā)機(jī)器保護(hù)系統(tǒng)。本文建立超導(dǎo)腔麥克風(fēng)效應(yīng)的仿真計(jì)算模型，依據(jù)CiADS的初步設(shè)計(jì)參數(shù)和超導(dǎo)腔的幅相穩(wěn)定性要求，對麥克風(fēng)效應(yīng)的影響進(jìn)行評估，為CiADS超導(dǎo)腔系統(tǒng)的機(jī)械性能設(shè)計(jì)提供參考。

1 超導(dǎo)諧振腔和麥克風(fēng)效應(yīng)

1.1 諧振腔的基本特性

加速器高頻系統(tǒng)主要由低電平反饋控制系統(tǒng)、功率放大器和諧振腔3部分組成。諧振腔可等效為圖1所示的RLC電路[5-6]。其諧振頻率ω0、品質(zhì)因子Q、幾何因子R/Q和衰減系數(shù)τ等特性參數(shù)與等效電路參數(shù)的對應(yīng)關(guān)系[7-8]為：

(1)

圖1 RLC電路Fig.1 RLC circuit

用并聯(lián)諧振電路參數(shù)表述的電壓振蕩方程為：

(2)

用諧振腔參數(shù)表述的電壓振蕩方程為：

(3)

其中，V為電壓。R/Q是只與諧振腔的結(jié)構(gòu)特性有關(guān)的常量[9-10]。若ω0不隨時(shí)間變化，則諧振腔可等效為線性時(shí)不變系統(tǒng)，其阻抗Zcav的傳遞函數(shù)為：

(4)

其中，s為拉普拉斯變換算子，s=jω0。

對于時(shí)不變系統(tǒng)，利用傳遞函數(shù)在仿真軟件中建模，即可分析系統(tǒng)的相關(guān)特性。

1.2 麥克風(fēng)效應(yīng)

麥克風(fēng)效應(yīng)所引起的超導(dǎo)腔諧振頻率的振蕩[11]為：

ω(t)=ω0+ωdsin(ωmt)

(5)

其中：ωd為麥克風(fēng)效應(yīng)的最大角頻率偏移；ωm為麥克風(fēng)效應(yīng)的振蕩角頻率。

麥克風(fēng)效應(yīng)所產(chǎn)生的最大瞬態(tài)失諧[12]為：

(6)

其中：φ為失諧角；ωHBW為腔體半帶寬。

由于超導(dǎo)腔的Q值很高，帶寬極窄，很小的頻率振蕩也可能會引起較大的動態(tài)失諧，并導(dǎo)致超導(dǎo)腔中電磁場的不穩(wěn)定[13-14]。如在ADS 25 MeV驗(yàn)證裝置中的第2個恒溫器中，真空機(jī)械泵和其他外源的機(jī)械振動易耦合傳導(dǎo)至超導(dǎo)腔，并激勵超導(dǎo)腔的麥克風(fēng)振蕩。圖2為該恒溫器中的第6個超導(dǎo)腔的腔壓信號頻譜，其振蕩邊帶主要由機(jī)械泵的振動導(dǎo)致。

圖2 麥克風(fēng)振蕩下的腔壓信號頻譜Fig.2 Frequency spectrum of cavity voltage effected by microphonics

當(dāng)超導(dǎo)腔存在麥克風(fēng)效應(yīng)時(shí)，其諧振頻率隨時(shí)間變化，諧振腔相當(dāng)于時(shí)變系統(tǒng)，傳統(tǒng)的傳遞函數(shù)分析方法不太適用。本文基于諧振腔的沖擊響應(yīng)模型，推導(dǎo)了腔壓的周期性迭代公式，并利用該公式建立了超導(dǎo)腔的時(shí)域仿真模型。

2 迭代算法及仿真建模

依據(jù)諧振電路的基本原理[15-16]，某時(shí)刻的電壓為此前所有電流沖擊響應(yīng)電壓的卷積。簡單起見，假定電路在零時(shí)刻之前無電流加載，初態(tài)電壓為零，即：

V(0-)=0

(7)

則對于零時(shí)刻的電荷量為q=I(0)dt的脈沖沖擊，響應(yīng)電壓為：

(8)

對于時(shí)不變系統(tǒng)，該電壓隨時(shí)間的變化為幅度衰減的自由振蕩，則：

(9)

對于任意時(shí)刻I(t′)的沖擊，則：

(10)

t時(shí)刻的總電壓為此前所有沖擊響應(yīng)的卷積，則：

(11)

同理，對于時(shí)變系統(tǒng)，由于諧振頻率隨時(shí)間變化，則有：

(12)

(13)

當(dāng)前電壓的相位為諧振頻率的時(shí)間積分，此種情況下直接進(jìn)行卷積在算法處理上較復(fù)雜。為此本文發(fā)展了一種逐周期迭代的卷積算法，對時(shí)變系統(tǒng)進(jìn)行時(shí)域計(jì)算，計(jì)算公式推導(dǎo)過程簡述如下。

在加速器中，有束流Ib和射頻功率源等效電流Ig加載于諧振腔。其中，Ib為周期性窄脈沖信號，Ig為連續(xù)余弦信號。

首先推導(dǎo)Ib建場的離散化迭代方程。圖3為周期迭代方法示意圖，將束流信號近似為無限短的沖擊脈沖系列(實(shí)際束流脈沖有一定長度，可引入長度因子進(jìn)行修正)。Ib采用加速器中常用的束流平均流強(qiáng)定義，因此，1個脈沖周期的束流總電荷量為q=IbT。

由于麥克風(fēng)振蕩頻率遠(yuǎn)低于諧振腔的靜態(tài)諧振頻率，在1個射頻周期內(nèi)腔的諧振頻率變化極小，可近似為時(shí)不變系統(tǒng)。因此，若在第n個射頻周期，即t=nT時(shí)刻束流在腔中建立的總電壓為Vn，經(jīng)過1個周期后，該電壓變化為：

V′n=Vne-T/τejω(nT)T

(14)

圖3 周期迭代方法示意圖Fig.3 Schematic diagram of periodically iterative method equation

在第n+1個射頻周期，即t=(n+1)T時(shí)刻電流脈沖Ib,n+1的沖擊響應(yīng)電壓為：

(15)

沖擊后的總電壓為：

(16)

建立了脈沖束流建場的周期性電壓迭代方程。對Ig的建場采取如圖4所示的離散化處理。圖4中，以1個余弦周期為單位，將連續(xù)信號離散為一系列的脈沖。由于單脈沖有1個周期的時(shí)間長度，選取與脈沖中點(diǎn)延遲1個周期的時(shí)間點(diǎn)T，求解單周期余弦脈沖的電壓卷積。

圖4 Ig的離散化處理Fig.4 Discretization of Ig

微分電流Igcosωtdt在T時(shí)刻的響應(yīng)電壓為：

(17)

整個余弦脈沖的總電壓為：

(18)

e-(T-t)/τ中T-t可近似地用平均延遲時(shí)間T取代，則：

(19)

(20)

根據(jù)式(1)并進(jìn)行一定的近似處理，可得到：

(21)

依據(jù)式(21)在Simulink中建立超導(dǎo)腔的仿真模型。仿真程序主要包括腔體建模、PI控制及麥克風(fēng)振蕩等部分，如圖5所示。

圖5 仿真程序結(jié)構(gòu)示意圖Fig.5 Schematic diagram of simulation program structure

3 仿真結(jié)果及分析

根據(jù)CiADS超導(dǎo)腔的設(shè)計(jì)參數(shù)[17]，在仿真程序中對各類腔體的麥克風(fēng)效應(yīng)的影響進(jìn)行仿真計(jì)算，其中低電平閉環(huán)反饋的PI參數(shù)的選取參考了目前ADS樣機(jī)的運(yùn)行參數(shù)(比例調(diào)節(jié)系數(shù)kp=10；積分調(diào)節(jié)系數(shù)kI=0.000 1)。在開、閉環(huán)情況下麥克風(fēng)效應(yīng)如圖6所示，在A點(diǎn)后加入麥克風(fēng)振蕩，B點(diǎn)前系統(tǒng)開環(huán)，B點(diǎn)后系統(tǒng)閉環(huán)。其中，N為射頻周期數(shù)，f0=162.5 MHz，fHBW=fm=100 Hz，fd=10 Hz。

圖6 開、閉環(huán)狀態(tài)下的麥克風(fēng)效應(yīng)Fig.6 Microphonics in open loop and closed loop modes

由圖6可知，在1個麥克風(fēng)振蕩周期中，相位變化1次，幅度變化兩次。其原因?yàn)闊o論腔體正向失諧還是反向失諧，均會導(dǎo)致腔體幅度降低。同時(shí)可看出，麥克風(fēng)效應(yīng)引起的腔體幅度變化較小，且閉環(huán)后的幅度穩(wěn)定性在0.1%以內(nèi)，可滿足CiADS設(shè)計(jì)要求。反之，麥克風(fēng)效應(yīng)引起的腔體相位變化較大。仿真結(jié)果表明，若麥克風(fēng)效應(yīng)較強(qiáng)，閉環(huán)相位穩(wěn)定性不能達(dá)到0.1°。這是因?yàn)辂溈孙L(fēng)振蕩類似于電子學(xué)中的信號調(diào)頻，由于調(diào)頻等同于調(diào)相，所以麥克風(fēng)效應(yīng)主要影響超導(dǎo)腔的相位穩(wěn)定性。由于高頻系統(tǒng)實(shí)際運(yùn)行在閉環(huán)狀態(tài)下，因此在后續(xù)仿真中重點(diǎn)研究閉環(huán)時(shí)麥克風(fēng)效應(yīng)對腔體相位的影響。

圖7為麥克風(fēng)振蕩的頻率偏移程度對腔體相位穩(wěn)定性的影響。由圖7a可看出，在相同的腔體參數(shù)和相同的麥克風(fēng)振蕩頻率下，頻率偏移量越大則引起腔體中電磁場的相位振蕩越大；由圖7b可看出，在其他腔體參數(shù)相同的情況下，頻率偏移量對相位穩(wěn)定性的影響取決于fd/fHBW，若比值相同，則對相位的影響程度相同。因此，在超導(dǎo)腔參數(shù)設(shè)計(jì)過程中，應(yīng)盡可能保證腔體的帶寬，以利于降低麥克風(fēng)效應(yīng)對腔體的影響。

圖8為麥克風(fēng)振蕩頻率對腔體相位穩(wěn)定性的影響。從圖8a可看出，在其他腔體參數(shù)相同的情況下，振蕩頻率越高則引起腔體中電磁場的相位振蕩越大；從圖8b可看出，在其他腔體參數(shù)相同的情況下，腔體諧振頻率越高，麥克風(fēng)效應(yīng)對其相位穩(wěn)定性的影響越??；從圖8c可看出，在相同的fd和fHBW參數(shù)設(shè)置下，fm/f0比值相同，則相位偏差基本一致，其差異源自Q值的不同；從圖8d可看出，在保證Q值、fd/fHBW和fm/f0不變的前提下，選取不同的參數(shù)組合進(jìn)行比較，其相位偏差完全相同。

綜上所述，麥克風(fēng)效應(yīng)對腔體幅相穩(wěn)定性的影響主要取決于fd/fHBW比值及fm/f0比值，Q值也有一定影響，但影響程度較低。定義歸一化的麥克風(fēng)振蕩頻率和頻率偏移量為：

圖7 麥克風(fēng)振蕩頻率偏移量對相位穩(wěn)定性的影響Fig.7 Effect of frequency shift of microphonics on phase stability

圖8 麥克風(fēng)振蕩頻率對相位穩(wěn)定性的影響Fig.8 Effect of oscillation frequency of microphonics on phase stability

(22)

依據(jù)CiADS的幅相穩(wěn)定性要求(0.1%和0.1°)和162.5 MHz超導(dǎo)腔的設(shè)計(jì)參數(shù)(fHBW=100 Hz，Q=0.812 5×106)，通過仿真得到f′d的最大容許值f′d(max)與f′m的關(guān)系(圖9)。方便起見，f0和fm分別以162.5 MHz和100 Hz為單位量。該結(jié)果具有普適性，對于任意頻率和帶寬的諧振腔，只要其Q值無量級性差異，在相同的幅相穩(wěn)定性要求下，均可利用圖9得到麥克風(fēng)振蕩的邊界值。

圖9 f′d(max)和f′m的關(guān)系Fig.9 Relationship between f′d(max) and f′m

表1列出了滿足CiADS超導(dǎo)腔幅相穩(wěn)定性要求的最大頻率偏移量的仿真結(jié)果。其中，fm的頻率范圍為50～200 Hz，加速器機(jī)械振動源和超導(dǎo)腔機(jī)械本征模主要集中在該頻段。作為比較，根據(jù)圖9也得到了325和650 MHz的最大頻率偏移量(表1括號中的數(shù)字)，可發(fā)現(xiàn)兩者的差異較小。

表1 滿足CiADS超導(dǎo)腔幅相穩(wěn)定性要求的麥克風(fēng)最大頻率偏移量Table 1 Maximum frequency shift of microphonics tolerated by CiADS cavity stability

4 結(jié)論

本文基于諧振腔的沖擊響應(yīng)模型，得到了一種適用于各種線性諧振系統(tǒng)在時(shí)變狀態(tài)下的離散化電壓迭代方法，并利用該方法研究了超導(dǎo)腔的麥克風(fēng)效應(yīng)對腔體穩(wěn)定性的影響。仿真結(jié)果表明，麥克風(fēng)振蕩主要影響腔的相位穩(wěn)定性，其中，麥克風(fēng)振蕩頻率偏移量的影響取決于它與腔體半帶寬的比值，而振蕩頻率的影響與腔的諧振頻率相關(guān)。根據(jù)CiADS超導(dǎo)腔的幅相穩(wěn)定性的要求(0.1%和0.1°)，得到了具有普適性的麥克風(fēng)振蕩強(qiáng)度關(guān)系圖和典型的麥克風(fēng)振蕩頻率所允許的最大頻率偏移，為CiADS超導(dǎo)腔機(jī)械穩(wěn)定性設(shè)計(jì)提供了依據(jù)。