小徑木半圓指接數(shù)學(xué)模型及出材理論*

楊春梅 曲 文 蔣 婷 劉九慶 馬 巖 繆 騫 于文吉

(1. 東北林業(yè)大學(xué)林業(yè)與木工機(jī)械工程技術(shù)中心 哈爾濱 150040； 2. 中國(guó)林業(yè)科學(xué)研究院木材工業(yè)研究所 北京100091)

隨著經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展，我國(guó)木材需求不斷增加，然而國(guó)內(nèi)森林資源的匱乏使二者形成供需矛盾； 同時(shí)，國(guó)家加大森林資源保護(hù)力度，全面實(shí)施天然林保護(hù)工程，從而導(dǎo)致我國(guó)制材工業(yè)原料結(jié)構(gòu)發(fā)生了根本性轉(zhuǎn)變(靳肖貝， 2015； 張愛霞， 2014)，從以天然林木材為主轉(zhuǎn)變?yōu)橐匀斯に偕帜静臑橹?，從以大徑?jí)原木為主轉(zhuǎn)變?yōu)橐灾?、小徑?jí)木材為主(李榮榮， 2016)。目前，小徑級(jí)木材的制材、應(yīng)用形式比較單一，通常直接對(duì)其進(jìn)行削片、弦切和剖分等加工，制成簡(jiǎn)單的工藝木片、板方材等，使用價(jià)值低廉，利用形式不夠豐富，產(chǎn)品附加值較低(馬巖，1990； 2005；馬巖等，2016； 朱國(guó)璽等，1994； 齊英杰等， 2008； 馬玉英， 2003)，如何高效增值利用現(xiàn)有小徑級(jí)木材資源，更新其利用技術(shù)和工藝以適應(yīng)原料結(jié)構(gòu)改變，擴(kuò)大使用范圍，已成為我國(guó)林產(chǎn)品加工業(yè)發(fā)展面臨的一大挑戰(zhàn)(Sandbergetal.， 1997； Sillettetal.， 2009； 譚志林， 2007)。指接拼板是指利用原木剖分材沿纖維平行方向在長(zhǎng)度、寬度和厚度方向拼接而成的一種板材，具有小材大用、劣材優(yōu)用、木材利用率高、構(gòu)件設(shè)計(jì)自由、多功能性等特點(diǎn)(Lietal.， 2015； 童雀菊，1996； 張金菊等， 2006)。本研究提出半圓指接工藝，并建立小徑木半圓指接數(shù)學(xué)模型，采用半圓指接工藝對(duì)小徑木進(jìn)行拼接加工，以期拓寬小徑級(jí)木材利用范圍，提高小徑木出材率。

1 小徑木半圓指接工藝

半圓指接是指將小徑木縱向鋸解為2個(gè)半橢圓形木材，按固定圓心角去板皮后再指接成單板的工藝。將去除板皮的2個(gè)半橢圓小徑木上下底顛倒對(duì)齊，第1個(gè)半圓小徑木后端面的指榫與第2個(gè)相鄰半圓小徑木前端面的指榫指接，如圖1所示。指接主要有垂直指接和水平指接2種類型，其中水平指接的優(yōu)點(diǎn)在于指榫加工以工件寬面為基準(zhǔn)，刀具厚度小，使用片銑刀數(shù)量少，銑削指榫需要的動(dòng)力小(郝志強(qiáng)等，1997)且指榫從指接板側(cè)面可見，有利于指接板正面的美觀。因此，本研究選取水平指接方式，其指接拼板如圖2所示。

圖1 指接示意

圖2 指接拼板

2 數(shù)學(xué)模型的建立

2.1 小徑木的理想數(shù)學(xué)模型

小徑木半圓指接的描述體系以理想原木(圖3)為基礎(chǔ)，理想原木截頂面數(shù)學(xué)模型為橢圓冪曲線，設(shè)原木的小頭長(zhǎng)徑為Da1，小頭短徑為Db1，大頭長(zhǎng)徑為Da2，材長(zhǎng)為l。

圖3 理想原木模型

理想小徑木的數(shù)學(xué)模型(馬巖，1990)為：

(1)

式中：a1、a2、a4、a5、a6為原木描述方程的常數(shù)。

2.2 小徑木指接的數(shù)學(xué)模型

小徑木半圓指接板是將小徑木縱向鋸解為2個(gè)半橢圓形木材，去除板皮的2個(gè)半橢圓小徑木上下底顛倒對(duì)齊，第1個(gè)半圓小徑木后端面的指榫與第2個(gè)相鄰半圓小徑木前端面的指榫指接，其指接拼板模型如圖4所示。

圖4 指接拼板模型

(2)

式中：a1、a2、a4為原木描述方程的常數(shù)；Da1為原木長(zhǎng)徑；Db1為原木短徑；H為拼板厚度。

3 半圓指接小徑木的出材率計(jì)算

在計(jì)算出材率時(shí)，拼板的材積計(jì)算過程復(fù)雜，難度較大，需先計(jì)算廢料材積，再計(jì)算合格的指接板材積。如圖5所示，廢料的第1部分為小徑木板皮材積； 第2部分為指接過程中銑去的木材材積，將其材積近似為指接弧形部分的材積，出材率的具體計(jì)算公式為：

(3)

式中：η為出材率；V為小徑木材積；V1為板皮材積；V2為指接材積。

圖5 小徑木指接材積

3.1 小徑木材積

假設(shè)小徑木形狀為截頂橢圓拋物柱，則其材積計(jì)算(馬巖， 2005)如下：

(4)

(5)

(6)

式中：Da1為小徑木小頭長(zhǎng)徑；Db1為小徑木小頭短徑；q=Da1/Da2。

3.2 板皮材積

如圖6所示，假設(shè)以圓心角60°上下去板皮，對(duì)板皮截面陰影部分進(jìn)行積分得到板皮的截面積如下：

圖6 板皮截面

(7)

原式可以化簡(jiǎn)為：

(8)

(9)

板皮材積如下：

V1=S1×l。

(10)

3.3 指接材積

小徑木以圓心角60°上下去板皮后，指接需要銑去的木材材積近似于陰影部分體積，如圖7所示。其指接陰影處截面積如下：

圖7 指接截面

(11)

式中：Da1表示小徑木小頭長(zhǎng)徑；Db1代表小徑木小頭短徑。

(12)

指接陰影處體積如下：

V2=S2×l。

(13)

利用式(3)可以對(duì)小徑木指接出材率進(jìn)行近似計(jì)算。通過實(shí)際測(cè)量5組小徑木長(zhǎng)徑和短徑，分別代入出材率計(jì)算公式(3)，因?yàn)橛?jì)算材積時(shí)材長(zhǎng)是相同的，故只需計(jì)算各截面面積即可。需要指出的是，計(jì)算結(jié)果是在理想小徑木前提下得到的，只是為了驗(yàn)證小徑木指接加工工藝可以提高小徑木出材率； 在實(shí)際應(yīng)用和計(jì)算過程中，還需要對(duì)小徑木的彎曲度、節(jié)子及其蟲眼等缺陷進(jìn)行討論(Castellani， 2009)。小徑木指接加工出材率計(jì)算結(jié)果如表1所示(以直徑190 mm為例計(jì)算驗(yàn)證過程見附錄)。

表1 小徑木指接加工出材率計(jì)算結(jié)果

由表1可知，5組小徑木出材率分別為83.13%、83.14%、83.5%、83.63%和84.78%。根據(jù)以上數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，小徑木出材率隨直徑增加而增大，與制材工藝中原木直徑越大、出材率越高的規(guī)律相吻合。與傳統(tǒng)指接工藝相比，小徑木半圓指接不需要對(duì)半橢圓形邊緣進(jìn)行去邊皮處理，既可減少工序，提高生產(chǎn)加工效率，又可減少加工過程中原木損耗，提高出材率，這種新的工藝方法擴(kuò)大了小徑木的應(yīng)用范圍。

4 結(jié)論

以建立的小徑木理想數(shù)學(xué)模型和小徑木半圓指接數(shù)學(xué)模型為基礎(chǔ)，根據(jù)小徑木指接數(shù)學(xué)模型推導(dǎo)出小徑木指接材積公式。通過實(shí)際測(cè)量幾組小徑木參數(shù)，分別對(duì)小徑木半圓指接后的理論出材率進(jìn)行計(jì)算，結(jié)果顯示出材率均在83.13%以上，且隨小徑木直徑增加出材率隨之增大，其中小徑木直徑為190 mm時(shí)出材率最高，達(dá)到84.78%。采用小徑木半圓指接工藝，可提高小徑木出材率，為小徑木實(shí)際選材提供參考。