賞析高考中考查不等式的幾種常見背景

邵鳳梅 邱 娜

不等式是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,也是高考的重要考點(diǎn),但從命題形式來看,常以函數(shù)知識(shí)、生活實(shí)際問題為背景,考查不等關(guān)系的判斷、不等式的解法、不等式的應(yīng)用、不等式恒成立以及不等式的證明等．

1 以函數(shù)性質(zhì)為背景考查不等關(guān)系的判斷

利用函數(shù)的單調(diào)性是判斷不等關(guān)系的重要方式,如:函數(shù)f(x)在區(qū)間D內(nèi)為增函數(shù),且a,b∈D,若a>b,則f(a)>f(b);若f(a)>f(b),則a>b．據(jù)此可建立不等關(guān)系,并對(duì)變量值或函數(shù)值的大小進(jìn)行判斷．

2 以生活問題為背景考查不等式的應(yīng)用

來源于生活、應(yīng)用于生活是數(shù)學(xué)核心價(jià)值的體現(xiàn),應(yīng)用題是考查考生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要形式,因此,與不等式相關(guān)的應(yīng)用題是高考命題的常見方式．

3 以導(dǎo)數(shù)為背景考查不等式的解法

解不等式就是求不等式的解集,常見的不等式有指數(shù)不等式、對(duì)數(shù)不等式、三角不等式、一元一次不等式、一元二次不等式、分式不等式等．直接考查解不等式的問題較少,常與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用問題結(jié)合考查,即在某區(qū)間內(nèi)函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)>0(f′(x)<0),則f(x)在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增(單調(diào)遞減).求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,即為求不等式f′(x)>0(f′(x)<0)的解集．

f′(x)=6x2-2ax=2x(3x-a).

當(dāng)a=0時(shí),在(-∞,+∞)上f′(x)≥0,f(x)單調(diào)遞增.

4 考查不等式的證明或恒成立問題

求解不等式恒成立問題與不等式證明問題的本質(zhì)相同,都是構(gòu)造函數(shù),將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值．但不等式證明的構(gòu)造方法更為靈活,除了常規(guī)方法外,還可以采用局部處理或放縮處理．

(1)求a的值;

(2)求證:f(x)>-1．

(2) 由(1)知,f(x)=(2x-1)lnx+x-1=2xlnx-lnx+x-1,x∈(0,+∞),則可令

g(x)=2xlnx,h(x)=-lnx+x-1．

總之,高考命題?？汲Ｐ?不等式的考查類型并不局限于此,筆者提出以上幾種考查視角,以期對(duì)同學(xué)們復(fù)習(xí)不等式有所幫助．