厘清圓中概念 明晰圓中定理

文 吳 璟

畢達(dá)哥拉斯曾說(shuō)：“一切立體圖形中最美的是球形，一切平面圖形中最美的是圓形?！蔽覀冄芯苛诉@個(gè)完美的圖形后，會(huì)發(fā)現(xiàn)圓中概念和性質(zhì)定理較多。下面，吳老師來(lái)幫助同學(xué)們厘清這些概念之間的區(qū)別和聯(lián)系，準(zhǔn)確理解相關(guān)知識(shí)。

一、弧、弦、圓心角和圓周角之間的關(guān)系

對(duì)于弧、弦、圓心角、圓周角等概念的理解，除了要對(duì)概念本身進(jìn)行剖析外，還要將相關(guān)的概念進(jìn)行對(duì)比，確定相互的聯(lián)系和區(qū)別。

例1如圖1，點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，∠BIC=126°，則∠BAC=____ °。

【易混點(diǎn)】?jī)?nèi)心、外心混淆。當(dāng)點(diǎn)I是△ABC外心時(shí)，∠BAC與∠BIC是圓周角與圓心角的關(guān)系，此時(shí)∠BIC=2∠BAC；當(dāng)點(diǎn)I是△ABC內(nèi)心時(shí)，要利用內(nèi)心是三個(gè)內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算。

解：∵點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，

∴IB、IC是∠ABC和∠ACB的角平分線，

∴∠ABC=2∠IBC，∠ACB=2∠ICB。

∵∠IBC+∠ICB=180°-∠BIC=54°，

∴∠ABC+∠ACB=2（∠IBC+∠ICB）=108°，

∴∠BAC=180°-（∠ABC+∠ACB）=72°。

例2在同圓中，都是劣弧，且，則AB與2CD的大小關(guān)系是（ ）。

A.AB＞2CD B.AB＜2CD

C.AB=2CD D.不能確定

【易混點(diǎn)】在同圓或等圓中，兩條等弧所對(duì)的弦相等，從而誤認(rèn)為這樣的倍數(shù)關(guān)系也是可以傳遞的。

解：取的中點(diǎn)為 E，連接 AE 和BE。

∴CD=AE=AB。

∵在△ABE中，AE+BE＞AB，

∴2CD＞AB。

故選B。

二、計(jì)算扇形的弧長(zhǎng)和面積

求扇形的弧長(zhǎng)和面積需要兩個(gè)基本要素：圓心角度數(shù)和半徑。所以解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是找到弧所在圓的圓心，繼而確定圓心角度數(shù)和半徑即可。

【易混點(diǎn)】圓心定位錯(cuò)誤，弄混圓心角或者半徑。本題所對(duì)的圓心角不是∠ACB。由于為180°，所以連接AB，則AB是所在圓的直徑。而AC=BC=2，∠ACB=60°，所以△ABC是等邊三角形，所以AB=2，故所在圓的半徑為1，圓心角為180°。則

【正解】π。

例4如圖4，正五邊形ABCDE的邊長(zhǎng)為2，分別以點(diǎn)C、D為圓心，CD長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)F，則的長(zhǎng)為_(kāi)____。

【易混點(diǎn)】默認(rèn)CF為角平分線。求弧長(zhǎng)的關(guān)鍵是找出圓心角度數(shù)和半徑。本題的圓心角為∠BCF，半徑為BC=2，因此只需求出∠BCF即可。由正五邊形的內(nèi)角和得∠BCD=108°，而△FCD是等邊三角形，所以∠FCD=60°，那么不難求出∠BCF。則