基于一類非局部宏?微觀損傷模型的裂紋模擬1)

盧廣達(dá) 陳建兵

(同濟(jì)大學(xué)土木工程防災(zāi)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,土木工程學(xué)院,上海 200092)

引言

工程結(jié)構(gòu)的損傷、破壞和解體往往是微裂紋形核、萌生、發(fā)展和傳播擴(kuò)散的結(jié)果.因此,準(zhǔn)確把握固體材料與結(jié)構(gòu)中裂紋的產(chǎn)生和發(fā)展過程至關(guān)重要[1].自20 世紀(jì)20 年代初Griffith 的開創(chuàng)工作[2]以來,人們對此進(jìn)行了大量的研究,并先后發(fā)展了線彈性斷裂力學(xué)[3-6]、彈塑性斷裂力學(xué)[7-11]和損傷力學(xué)[12-18].然而,固體中的裂紋萌生與傳播的模擬,迄今仍面臨一系列挑戰(zhàn)性問題.例如,經(jīng)典斷裂力學(xué)難以解決裂紋形核以及擴(kuò)展方向等問題[19].20 世紀(jì)末,通過引入能量釋放率最小化等準(zhǔn)則和裂紋面密度連續(xù)化思想,基于變分原理發(fā)展了脆性材料的相場理論,為裂紋擴(kuò)展模擬開辟了新的道路[20-21].最近,結(jié)合損傷力學(xué)和相場理論,Wu 等[22-25]提出了一類統(tǒng)一相場理論框架,對準(zhǔn)脆性材料的靜力與動(dòng)力裂紋擴(kuò)展分析問題取得了重要突破.這一途徑,從計(jì)算角度來看,屬于彌撒型裂紋模型的范疇.在傳統(tǒng)上,人們認(rèn)為斷裂力學(xué)與損傷力學(xué)是分別處理和分析裂紋出現(xiàn)之后與產(chǎn)生之前的兩種力學(xué)理論.統(tǒng)一相場模型的成功,從一個(gè)側(cè)面表明,這一認(rèn)識(shí)存在局限性.事實(shí)上,二者之間是可以相容而相得益彰的.與此同時(shí),人們意識(shí)到,僅僅在宏觀連續(xù)介質(zhì)力學(xué)尺寸不足以把握材料損傷萌生與裂紋擴(kuò)展的物理?力學(xué)本質(zhì),要從根本上解決上述問題,需要結(jié)合微細(xì)觀機(jī)理的分析,由此發(fā)展了宏微觀斷裂力學(xué)[1].另一方面,人們逐步認(rèn)識(shí)到非局部化性質(zhì)對克服經(jīng)典局部損傷力學(xué)中網(wǎng)格敏感性問題的根本性意義[26].鑒于裂紋本質(zhì)上是不連續(xù)的,20 世紀(jì)末以來人們提出了一系列新的途徑,包括內(nèi)聚裂紋模型[27]、擴(kuò)展有限元方法[28]和無網(wǎng)格方法[29].自2000 年以來,Silling 提出peridynamics(近場動(dòng)力學(xué)[30]或毗域動(dòng)力學(xué)[31])理論[32],將固體介質(zhì)的相互作用采用積分和離散形式表達(dá),給出了一類新的、具有非局部化性質(zhì)的離散裂紋萌生和擴(kuò)展模擬方法,并在一系列問題中取得了相當(dāng)?shù)某晒33-37].

雖然如此,統(tǒng)一相場理論需要額外求解相場演化方程,從而使得理論和求解的復(fù)雜程度較高.另一方面,近場動(dòng)力學(xué)方法中本構(gòu)模型的確定以及對準(zhǔn)脆性裂紋的模擬尚存在困難.為此,結(jié)合統(tǒng)一相場理論和近場動(dòng)力學(xué)的基本思想,針對準(zhǔn)脆性材料的裂紋模擬,最近提出了一類新的非局部宏?微觀損傷模型[38].在此基礎(chǔ)上,本文進(jìn)一步修正微觀損傷準(zhǔn)則,并對具有強(qiáng)非線性回彈特性的典型裂紋擴(kuò)展問題進(jìn)行分析,驗(yàn)證了所改進(jìn)模型的有效性.

1 宏?微觀損傷模型的基本理論

從微細(xì)觀層次來看,裂紋的萌生和發(fā)展從幾何上表現(xiàn)為出現(xiàn)了不連續(xù)性,從宏觀上雖依然可認(rèn)為是連續(xù)體,但與原初固體材料相比,出現(xiàn)了宏觀損傷.這一損傷將引起材料自由能的變化,使得本構(gòu)關(guān)系中出現(xiàn)非線性,因而導(dǎo)致材料表現(xiàn)出非線性行為.本節(jié)將給出這一基本路徑的理論刻畫[38].

1.1 拓?fù)鋼p傷

考慮連續(xù)固體B,其邊界為?B.該連續(xù)體中的物質(zhì)點(diǎn)記為x=(x1,x2,x3)∈B.考察物質(zhì)點(diǎn)對(x,x′),其中∈B,ξ=x′?x為兩點(diǎn)之間的空間差,則為相應(yīng)的距離,這里為向量的長度.連續(xù)體發(fā)生變形后,物質(zhì)點(diǎn)x和x′的位移分別記為u=u(x)和u′=u(x′).

根據(jù)變形幾何(如圖1 所示),可以定義物質(zhì)點(diǎn)對(x,x′)之間的變形為

其中,ν=為物質(zhì)點(diǎn)對的單位方向向量.由此,可定義物質(zhì)點(diǎn)對的伸長量為

式中,H(·)為Heaviside 階躍函數(shù),當(dāng)λ0 時(shí),H(λ)=0,否則H(λ)=1.

圖1 物質(zhì)點(diǎn)對的變形Fig.1 Deformation of material point pair

可以合理地假設(shè),當(dāng)伸長量超過給定閾值ˉλ 時(shí),物質(zhì)點(diǎn)對之間的聯(lián)系(物質(zhì)鍵) 開始弱化,直至完全分離,即物質(zhì)鍵斷裂.這一過程顯然與單調(diào)非減的加載歷史參數(shù)有關(guān).為此,可定義加載歷史參數(shù)為即物質(zhì)鍵變形歷史的最大超越伸長量,其中t為時(shí)間變量(對靜力問題應(yīng)理解為虛擬時(shí)間).

注記1物質(zhì)鍵[38]的觀念受啟發(fā)于近場動(dòng)力學(xué)方法[32-34],類似的概念也見于分子動(dòng)力學(xué)[39]和虛內(nèi)鍵模型[40]中.需要指出的是,在本文中是臨界伸長量,而不是文獻(xiàn)[38]中的臨界伸長率.

不難驗(yàn)證,歷史最大超越伸長量有dtκ0,這里,后續(xù)符號(hào)類似.因此,對于任意物質(zhì)鍵(x,x′) 可以定義一個(gè)刻畫其聯(lián)系強(qiáng)弱程度的量ω(x,x′,t).不失一般性,可以對其進(jìn)行歸一化,即ω ∈[0,1].它是歷史最大超越伸長量κ 的單調(diào)非減函數(shù),即

注記2從物理意義上看,ω 是微細(xì)觀損傷的度量,其具體形式可由分子動(dòng)力學(xué)的相互作用勢函數(shù)通過計(jì)算加以確定,或者根據(jù)理性假設(shè)給出.在本文中,假設(shè)為如下形式

其中γ>0 為模型參數(shù),它表征微細(xì)觀損傷的發(fā)展速度.不難注意到,是以γ 為參數(shù)的、Heaviside 階躍函數(shù)H(κ)的極限函數(shù)列,而Heaviside 階躍函數(shù)表征了不連續(xù)性.因此,從這個(gè)意義上說,微細(xì)觀損傷刻畫了固體在物質(zhì)鍵層次的不連續(xù)程度,這一點(diǎn)與李杰等[18]認(rèn)為損傷變量應(yīng)打破物質(zhì)空間連續(xù)性的觀點(diǎn)是一致的.

事實(shí)上,連續(xù)體中某物質(zhì)點(diǎn)處的損傷,往往不僅取決于該點(diǎn)本身,還必然與其周邊一定鄰域范圍內(nèi)的物質(zhì)點(diǎn)相互作用有關(guān).換言之,其損傷的變化,本質(zhì)上是非局部化的.記存在影響的鄰域(影響域)半徑為?,即?=diamD?(x)/2,這里D?(x)表示物質(zhì)點(diǎn)x的影響域.根據(jù)上述表述,可以進(jìn)一步提煉出損傷的數(shù)學(xué)語言:

定義1設(shè)連續(xù)體B?Rd(d=1,2,3)及其位移場u?Rd,若給定影響域半徑? > 0,存在閾值ˉλ > 0,使得物質(zhì)點(diǎn)x∈B有

則稱連續(xù)體在x處發(fā)生損傷,此時(shí)微細(xì)觀損傷ω>0.它從數(shù)學(xué)上刻畫了位移場u在空間上關(guān)于方向ν的不連續(xù)程度,因此不妨稱這一定義為ˉλ ?? 語言.

作為對照,這里給出位移場u作為d元d維向量值函數(shù)其連續(xù)性的? ?δ 語言[41].

定義2設(shè)u:B?Rd→Rd,若對任意? > 0,存在δ>0,使得x∈B有

其中Dδ(x)=,則稱向量值函數(shù)u在x處連續(xù).

注記3定義1 和定義2 恰好構(gòu)成關(guān)于函數(shù)不連續(xù)性和連續(xù)性的一組對偶表述,而這要得益于本文采用物質(zhì)鍵伸長量表征微細(xì)觀損傷的改進(jìn).需要說明的是,這一損傷的?? 語言是文獻(xiàn)[38]中尚未認(rèn)識(shí)到的,并區(qū)別于經(jīng)典連續(xù)損傷力學(xué)理論[13,17]中損傷變量只表征材料剛度退化的觀念.

對?x∈B物質(zhì)點(diǎn)給定的影響域D?(x),設(shè)任意兩物質(zhì)點(diǎn)之間的影響函數(shù)為?(x,x′),并滿足如下條件

從宏觀上看,對于固體B內(nèi)任意物質(zhì)點(diǎn)x,其損傷應(yīng)是該物質(zhì)點(diǎn)所連接的物質(zhì)鍵之微細(xì)觀損傷的加權(quán)平均.因此,對?x∈B定義宏觀層次損傷為

即根據(jù)微細(xì)觀層次的物質(zhì)鍵(x,x′) 的斷裂程度在局部空間上進(jìn)行幾何上的加權(quán)平均,它連續(xù)地刻畫了位移場在一點(diǎn)附近的整體不連續(xù)性.不難注意到,損傷區(qū)域J?={x∈B:?(x)>0}構(gòu)成了裂紋拓?fù)銳(其中dimJ=d?1)的非局部化鄰域表達(dá).因此,從這個(gè)意義上,不妨稱之為拓?fù)鋼p傷.

注記4拓?fù)鋼p傷? 雖然在形式上與光滑處理的非局部損傷[42]相同,但二者存在著本質(zhì)的區(qū)別:前者積分項(xiàng)內(nèi)的損傷變量是建立在點(diǎn)對(兩點(diǎn))意義上的,而后者則是基于一點(diǎn)的.需要指出的是,基于一點(diǎn)的非局部損傷已經(jīng)被證明存在應(yīng)力鎖死的問題[43],而拓?fù)鋼p傷則不存在此問題[38].特別地,當(dāng)微細(xì)觀損傷ω 取為Heaviside 階躍函數(shù)時(shí),則式(10)退化為近場動(dòng)力學(xué)的損傷表示[33].

注記5事實(shí)上,式(10) 以積分形式定義的拓?fù)鋼p傷與統(tǒng)一相場理論[22]中含梯度算子的橢圓泛函[44]

的作用相同,即采用非局部化思路將裂紋拓?fù)浔硎緸楹欢◣挼膹浬⑿徒缑?從而使得分析過程無需人為預(yù)設(shè)裂紋擴(kuò)展路徑.其中,式(11)的參數(shù)φ 和α 分別為相場函數(shù)和裂紋幾何函數(shù).

進(jìn)一步地,可以證明以下命題:

命題1設(shè)裂紋拓?fù)銳?Rd,以及? 和Θ 分別如式(10)和式(11)所定義,則

式中,?(d)=Υ(d)/2,其中Υ(d) 表示d維單位球域D?=1(0)的表面積測度.

需要說明的是,上式第一個(gè)等式(即橢圓泛函逼近)已經(jīng)由Braides[44]給出了證明,而第二個(gè)等式(拓?fù)鋼p傷逼近) 的具體證明因限于本文的篇幅而考慮另文給出.

1.2 能量退化因子

注意到,連續(xù)體的自由能密度必然隨著拓?fù)鋼p傷的發(fā)展(即裂紋萌生和擴(kuò)展)而退化.設(shè)能量退化因子為g,則有損連續(xù)體的自由能為

式中小應(yīng)變張量ε=?Su,其中?S(·) 表示對稱梯度算子,ψ0為無損材料的自由能密度函數(shù),即

其中E為四階彈性張量.

為簡化計(jì),在本文中暫不考慮塑性的影響.因此,這里彈性應(yīng)變和總應(yīng)變相同,后文對二者將不再加以區(qū)分.

顯然,能量退化因子與拓?fù)鋼p傷有關(guān),因而它是拓?fù)鋼p傷的函數(shù)g=g(?),表征了物質(zhì)點(diǎn)儲(chǔ)能能力的退化,稱為能量退化因子[45]且滿足如下要求[22]

其中,g(0)=1 表示物質(zhì)點(diǎn)處于線彈性無損狀態(tài);g(1)=0 則是完全損傷的刻畫,即喪失了全部的儲(chǔ)能能力; 此外,d?g< 0 表示損傷總是耗能的; 而d?g(1)=0 則保證當(dāng)?=1 時(shí),損傷驅(qū)動(dòng)力??ψ=d?g(?)ψ0趨于零,即當(dāng)一點(diǎn)的損傷發(fā)展完全后,其驅(qū)動(dòng)力應(yīng)隨之消失.

若從能量意義上說,不妨稱Φ=1 ?g(?) 為基于能量的損傷.事實(shí)上,基于拓?fù)鋼p傷的能量退化因子還可以進(jìn)一步從物理上論證,g是[0,1] 上的凸函數(shù)[38],其定性的物理解釋如下.

由于拓?fù)鋼p傷? 考慮的是影響域內(nèi)所有方向上物質(zhì)鍵損傷的幾何“平均”,而各個(gè)方向上的物質(zhì)鍵并非同時(shí)地發(fā)生損傷,因?yàn)槲镔|(zhì)鍵的伸長量在各個(gè)方向上的分布一般是不均勻的.在初始階段,只有位移場在空間變化劇烈方向上那些少數(shù)(相對于所有方向上的物質(zhì)鍵總數(shù)而言) 超過閾值的物質(zhì)鍵率先進(jìn)入損傷狀態(tài),此時(shí)拓?fù)鋼p傷? 在數(shù)值上非常小,但這些率先發(fā)生損傷的物質(zhì)鍵因變形劇烈而儲(chǔ)存了較大比重的變形能.因此,在?=0 附近處基于能量的損傷Φ 要大于拓?fù)鋼p傷?,即隨著其他方向物質(zhì)鍵損傷的發(fā)展及其能量的釋放,逐漸地一點(diǎn)鄰域內(nèi)所能釋放的變形能比重越來越小,即能量退化因子g隨著拓?fù)鋼p傷? 的增大而趨于平緩.

根據(jù)上述解釋,可以清楚地看到:在本模型中能量退化因子是拓?fù)鋼p傷的非線性函數(shù),不同于經(jīng)典連續(xù)損傷力學(xué)[13,17]1 ?? 的線性形式.借鑒于統(tǒng)一相場模型[22]的結(jié)果并加以適當(dāng)修正,可取能量退化因子為如下凸函數(shù)[38]

其中,p和q均為退化函數(shù).一些代表性取值的函數(shù)曲線如圖2 所示.

圖2 能量退化因子Fig.2 The energetic degradation factor

2 控制方程

2.1 本構(gòu)方程

根據(jù)Clausius-Duhem 不等式[17],有能量耗散率dtΞ 不等式

其中,σ為Cauchy 應(yīng)力張量.將式(13) 代入上述不等式并稍作整理,得

由前述拓?fù)鋼p傷即能量退化因子的定義和性質(zhì)可知,上述積分項(xiàng)內(nèi)第二項(xiàng)必然不大于零.因此,該不等式成立的充要條件是

式中,σ0為有效應(yīng)力張量.

注記6由此可見,能量退化因子表征了材料的物性關(guān)系,式(20)與傳統(tǒng)損傷力學(xué)理論[18]的本構(gòu)關(guān)系在形式上完全相同.其中,本文式(17)退化因子給出的是準(zhǔn)脆性材料本構(gòu),p和q的取值刻畫了材料的宏觀脆性程度,可認(rèn)為是物性參數(shù),應(yīng)根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)試件進(jìn)行標(biāo)定.

2.2 平衡方程與邊界條件

平衡方程和邊界條件與常規(guī)連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的基本表達(dá)相同.考慮圖3 所示固體B的參考構(gòu)形,容易列出平衡方程為

其中,t為內(nèi)力向量,為體力密度向量(當(dāng)不計(jì)體力時(shí),=0).

圖3 固體的構(gòu)形及其邊界Fig.3 The solid configuration and its boundary

根據(jù)Cauchy 假定,即t=σ·nP,其中nP為子集P的邊界外法向向量.由式(20)所表述的本構(gòu)關(guān)系,利用散度定理并注意到P的任意性,可得

而在邊界上則分別有

其中,nB為固體的邊界外法向向量,和分別為給定的邊界面力和邊界位移.

注記7得益于式(10)所定義的拓?fù)鋼p傷關(guān)于位移場是Lipschitz 連續(xù)的(具體證明見文獻(xiàn)[38]),本文模型仍然可以采用連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的Cauchy 假定建立平衡方程.這一點(diǎn)區(qū)別于近場動(dòng)力學(xué)積分形式的平衡方程中關(guān)于應(yīng)力散度項(xiàng)的低階逼近[46]

其中,f和T分別為近場動(dòng)力學(xué)內(nèi)力密度和內(nèi)力狀態(tài)向量.盡管通過引入高階微分算子[47]可以一定程度提高其逼近精度以及規(guī)避因內(nèi)力作用方式重構(gòu)而帶來的零能模式問題[37],但也增加了問題求解的復(fù)雜性和計(jì)算量.此外,近場動(dòng)力學(xué)方法本來的計(jì)算效率就低于有限元方法[48].

3 數(shù)值求解方法

3.1 有限元離散方程

上述問題,可以直接采用常規(guī)有限單元法進(jìn)行離散和求解.式(22)和式(23)這一邊值問題經(jīng)過弱形式逼近后,可得單元的平衡方程為

式中,Ue為單元結(jié)點(diǎn)位移向量,Ke為單元?jiǎng)偠染仃?Re為單元結(jié)點(diǎn)力向量,其中

這里Ae為單元區(qū)域,?tAe為邊界單元的力邊界,Be和Ψe分別為幾何矩陣和形函數(shù)矩陣,其表達(dá)式可在一般有限元專著中找到,茲不贅述.此外,De為彈性矩陣,對于平面應(yīng)力問題有

其中,E為彈性模量,μ為泊松比.

根據(jù)單元組集規(guī)則,可得結(jié)構(gòu)整體平衡方程為

其中,整體剛度矩陣K、整體等效載荷向量R和整體位移向量U分別為

式中,Λe為單元轉(zhuǎn)換矩陣,Ne為單元數(shù)目.

3.2 單元?jiǎng)偠染仃嚨挠?jì)算

在式(26)中,為了計(jì)算單元?jiǎng)偠染仃?需要計(jì)算給定積分點(diǎn)的能量退化因子g.這時(shí),應(yīng)通過離散化方式計(jì)算式(10) 中的拓?fù)鋼p傷?,然后將其代入能量退化因子式(17)中.此時(shí),拓?fù)鋼p傷可根據(jù)離散化后的各單元變形計(jì)算.對于常應(yīng)變單元,有

其中,xe和xe′分別為單元Ae和Ae′的形心坐標(biāo),而=vol[D?(xe)∩Ae′].若考慮采用等參單元進(jìn)行離散,則二者為相應(yīng)的高斯點(diǎn)及其權(quán)重體積.

注意到,能量退化因子是位移的函數(shù).由式(26)可知,單元?jiǎng)偠染仃囈彩俏灰频暮瘮?shù),因而由式(30)給出的整體剛度矩陣亦為位移的函數(shù).因此,平衡方程(29)是一個(gè)非線性方程.在本文中,采用改進(jìn)局部弧長法進(jìn)行求解.限于篇幅,茲不贅述.

注記8在求解中,拓?fù)鋼p傷? 是整體節(jié)點(diǎn)位移向量U的“顯式”函數(shù),即一旦求得整體節(jié)點(diǎn)位移向量U已知,直接將其代入式(31)就可以得到拓?fù)鋼p傷?,整個(gè)過程自始至終只需要求解(29) 的平衡方程,無需額外的待求解方程.這一點(diǎn)比相場模型簡單而高效,因?yàn)橄鄨瞿Ｐ椭邢鄨龊瘮?shù)和位移場均是待求未知量,需要采用聯(lián)立或交替的策略求解平衡方程和額外的相場演化方程[49].

4 典型實(shí)例分析

以Ingraffea 和Grigoriu 所做的有機(jī)玻璃剪切梁試件[50]為例,來驗(yàn)證和分析本模型的有效性.注意到,該試件以其強(qiáng)非線性回彈特性而著稱,是檢驗(yàn)數(shù)值模型優(yōu)良性的經(jīng)典算例.近些年來,經(jīng)過該算例檢驗(yàn)的數(shù)值模型有基于混合(應(yīng)變/位移)元的各向同性損傷模型[51]和統(tǒng)一相場模型[23]等.分析中試件按平面應(yīng)力問題處理,其材料參數(shù)按文獻(xiàn)[51]取:彈性模量E=3.102 GPa,泊松比μ=0.35.宏?微觀損傷模型中的參數(shù)取:影響域半徑?=4 mm,臨界伸長量=1.38×10?2mm,γ=2.0×105,以及p=4 和q=4.

4.1 不含圓孔情況

注意到,經(jīng)典的局部損傷力學(xué)存在網(wǎng)格敏感性[18]:一旦所分析的固體存在或出現(xiàn)初始裂紋時(shí),當(dāng)計(jì)算點(diǎn)的間距加密時(shí),基于經(jīng)典局部損傷力學(xué)的分析結(jié)果,將會(huì)出現(xiàn)即使是很微小的外力作用就可以引起嚴(yán)重的損傷(當(dāng)網(wǎng)格非常密集時(shí),更甚者會(huì)出現(xiàn)不需要任何外力就可以使固體發(fā)生破壞的問題) 這一違背物理真實(shí)的現(xiàn)象.

為了考察本文損傷模型的網(wǎng)格敏感性問題,在有限元離散時(shí)采用3 種不同疏密程度的三角形網(wǎng)格進(jìn)行劃分.為此,首先考慮不含圓孔的情況,試件形狀和尺寸如圖4 所示.

圖4 剪切梁基本尺寸(切口寬度為2 mm)Fig.4 Size of the shear beam(The notch width=2 mm)

具體地,考慮在切口一定范圍的區(qū)域進(jìn)行單元加密處理,3 種不同疏密程度的單元總數(shù)目分別為17 308,23 564 和55 262,單元分布情況見圖5.

圖5 有限元網(wǎng)格劃分Fig.5 Finite element meshes

圖6 裂紋發(fā)展模式Fig.6 The crack development modes

圖6 裂紋發(fā)展模式(續(xù))Fig.6 The crack development modes(continued)

圖7 不同網(wǎng)格的載荷?位移曲線Fig.7 Load-deformation curves for different meshes

采用本文方法進(jìn)行分析和求解.3 種不同網(wǎng)格劃分情況下的裂紋擴(kuò)展模式如圖6 所示.與圖6(d)的試驗(yàn)結(jié)果對比可見,3 種不同網(wǎng)格的分析結(jié)果均與試驗(yàn)結(jié)果相符,且隨著網(wǎng)格加密裂紋擴(kuò)展路徑趨于試驗(yàn)結(jié)果.圖7 進(jìn)一步給出了外加載荷?切口張開位移和外加載荷?加載點(diǎn)位移曲線.特別值得指出的是,圖7(b)表現(xiàn)出一般數(shù)值方法很難處理的強(qiáng)非線性回彈性質(zhì).從圖中可見,3 種不同網(wǎng)格的數(shù)值分析結(jié)果具有良好的一致性.可見采用本文建議方法分析的結(jié)果克服了經(jīng)典局部損傷力學(xué)所面臨的網(wǎng)格敏感性問題.

圖8 是載荷?切口張開位移和載荷?加載點(diǎn)位移曲線與試驗(yàn)結(jié)果的對比.從圖8(a)可見,數(shù)值模擬的載荷?切口張開位移曲線與試驗(yàn)曲線的吻合良好.在圖8(b)中,雖然未能完美吻合,但載荷?加載點(diǎn)位移曲線的最大載荷與最終加載點(diǎn)位移與實(shí)驗(yàn)值的接近,且總體的定性特征一致.

圖8 數(shù)值與試驗(yàn)結(jié)果比較Fig.8 Comparisons between the numerical and experimental results

圖9 和圖10 分別給出了本文建議方法與基于混合元的各向同性損傷模型[51]和統(tǒng)一相場模型[23]分析所獲得的載荷?變形曲線與裂紋模式的對比,可見三者較為一致.

圖9 與其他數(shù)值模型的載荷?位移曲線比較Fig.9 The load-deformation curves compared with other numerical models

圖10 與其他數(shù)值模型破壞模式的比較Fig.10 The comparisons of failure modes with other numerical models

圖11 典型載荷步損傷與位移云圖Fig.11 Damage and displacement field at typical loading steps

圖11 典型載荷步損傷與位移云圖(續(xù))Fig.11 Damage and displacement field at typical loading steps(continued)

圖11 是圖8 的載荷?變形曲線中幾個(gè)典型階段的損傷云圖和位移云圖演化情況.從圖中可見,裂紋隨著加載過程而不斷發(fā)展,同時(shí)位移場在裂紋兩側(cè)出現(xiàn)顯著的不連續(xù)性.特別值得注意的是,當(dāng)外加載荷已經(jīng)達(dá)到峰值的時(shí)候,裂紋才剛剛具有肉眼可見的發(fā)展(圖11(a)),從圖11(b)亦可見,此時(shí)位移場尚未出現(xiàn)顯著的不連續(xù)性.當(dāng)裂紋明顯萌生和發(fā)展時(shí)(圖11(c),圖11(e),圖11(g)),試件的載荷?變形曲線已經(jīng)進(jìn)入顯著的下降段(圖8(a))或回彈段(圖8(b)).換言之,對于此類問題,當(dāng)出現(xiàn)肉眼可見的裂紋時(shí),裂紋已經(jīng)進(jìn)入不穩(wěn)定發(fā)展階段.這與人們從實(shí)際工程的損傷和斷裂分析中獲得的經(jīng)驗(yàn)完全相符.

4.2 含圓孔情況

考慮含圓孔情況,試件形狀與尺寸如圖12 所示.類似地采用3 種不同疏密程度的三角形網(wǎng)格進(jìn)行劃分,單元數(shù)目和網(wǎng)格劃分具體情況見圖13.

圖12 剪切梁基本尺寸(切口寬度為2 mm)Fig.12 Size of the shear beam(the notch width=2 mm)

圖13 有限元網(wǎng)格劃分Fig.13 Finite element meshes

圖14 裂紋發(fā)展模式Fig.14 The crack development modes

采用本文建議的方法,得到3 種不同的網(wǎng)格劃分獲得的裂紋最終發(fā)展模式如圖14 所示.與圖14(d)的試驗(yàn)結(jié)果對比表明,3 種網(wǎng)格均能良好地捕捉裂紋發(fā)展過程,并給出了試驗(yàn)未展示的裂紋后續(xù)擴(kuò)展部分.圖15 給出了載荷?變形曲線的分析結(jié)果.同樣地,在圖15(b) 中也表現(xiàn)出強(qiáng)非線性回彈特性.由此可見,采用不同的網(wǎng)格時(shí),無論是載荷?裂紋張開位移曲線、還是載荷?加載點(diǎn)位移曲線都具有很好的一致性,不存在經(jīng)典局部損傷力學(xué)中的網(wǎng)格敏感性問題.

圖15 不同網(wǎng)格的載荷?位移曲線Fig.15 Load-deformation curves for different meshes

圖16 是采用網(wǎng)格C 時(shí)的載荷?變形曲線.與圖8 類似,此時(shí)載荷?加載點(diǎn)位移曲線出現(xiàn)了明顯的回彈現(xiàn)象.

圖17 是與圖16 中標(biāo)注的典型階段相應(yīng)的損傷云圖與位移云圖.與前述情況類似地可見,當(dāng)外載荷達(dá)到峰值時(shí),試件中才剛剛出現(xiàn)可見裂紋的擴(kuò)展.而且,裂紋兩側(cè)位移場出現(xiàn)顯著的不連續(xù)性.有意思的是,當(dāng)存在圓孔時(shí),裂紋的發(fā)展會(huì)被圓孔所誘導(dǎo)(圖17(c)),并最終穿透圓孔繼續(xù)發(fā)展(圖17(e)).值得注意的是,在被圓孔俘虜后,當(dāng)裂紋進(jìn)一步穿透圓孔時(shí),出現(xiàn)了載荷的小幅上升(見圖16),然后繼續(xù)下降,直至完全破壞并基本喪失承載力.

圖16 載荷?位移曲線(網(wǎng)格C)Fig.16 The load-deformation curve(mesh C)

圖18 是本文模型與統(tǒng)一相場模型分析結(jié)果[23]的對比.可見二者的裂紋擴(kuò)展模式是基本一致的.

5 結(jié)論

在連續(xù)損傷力學(xué)的框架下,結(jié)合相場理論與近場動(dòng)力學(xué)的基本思想,基于一類新的非局部宏?微觀損傷模型,實(shí)現(xiàn)了典型試件的裂紋發(fā)展過程模擬和分析.主要結(jié)論如下.

(1)本文對非局部宏?微觀損傷模型進(jìn)行了改進(jìn).該模型可以方便地在連續(xù)介質(zhì)力學(xué)與有限元離散的框架下求解.與統(tǒng)一相場模型相比,不需要求解額外的相場演化方程.與近場動(dòng)力學(xué)相比,不需要根據(jù)連續(xù)介質(zhì)力學(xué)重新確定本構(gòu)關(guān)系.

(2)應(yīng)用該損傷模型分析固體破壞問題,不需要人為預(yù)設(shè)裂紋擴(kuò)展路徑,可自動(dòng)描述和跟蹤裂紋擴(kuò)展.不僅可以獲得正確的裂紋模式,而且可以定量地獲得載荷?變形曲線.

圖17 典型載荷步損傷與位移云圖Fig.17 Damage and displacement field at typical loading steps

圖18 與統(tǒng)一相場模型破壞模式的比較Fig.18 The failure mode compared to that obtained by the unified phase field model

(3)該損傷模型是一類非局部化模型,不存在經(jīng)典局部損傷力學(xué)所面臨的網(wǎng)格敏感性問題.

本文的研究工作初步驗(yàn)證了非局部宏?微觀損傷模型的有效性.在未來工作中,尚有大量研究工作需要深入推進(jìn),例如基本參數(shù)與斷裂能之間的內(nèi)在關(guān)系、塑性變形的考慮、各向異性問題、動(dòng)態(tài)裂紋擴(kuò)展與分叉等挑戰(zhàn)性問題.