關于通過線圈某一面磁通量的討論

陳敏華

摘? ? 要：由于混淆面和面積的概念，人們不經(jīng)意地會混淆通過線圈某一側面的磁通量和通過每匝線圈同一側面的磁通量.要消除這一概念上的混淆，必須認識到面和面積屬于兩個不同的范疇.

關鍵詞：線圈;磁通量;面;面積;范疇

一、問題的提出

在人民教育出版社出版的普通高中課程標準實驗教科書《物理》（選修3-2）中有這樣一道練習題：

有一個1000匝的線圈，在0.4s內(nèi)通過它的磁通量從0.02Wb增加到0.09Wb，求線圈中的感應電動勢.如果線圈的電阻是10Ω，把一個電阻為990Ω的電熱器連接在它的兩端，通過電熱器的電流是多大？

此題已經(jīng)給出了通過線圈的磁通量，為什么還要告訴線圈的匝數(shù)？顯然，教材編者混淆了通過線圈的磁通量和通過每匝線圈的磁通量.并且，根據(jù)這冊教材的《教師教學用書》上所提供的解答，編者確實把“通過它的磁通量”當作“通過每匝線圈的磁通量”了.之所以會混淆這兩個不同的概念，其原因是混淆了面和面積這兩個概念.

面和面積有何區(qū)別？這正是這道題所引發(fā)出來的問題.

二、磁通量的定義

設某一矢量（vector）的位置分布為[V →]（[r]），其中[r]為位置矢量.[V →]（[r]）通過某一面（surface）S的通量（flux）Φ被定義為兩個矢量的標積的面積分：

Φ=[SV →]（[r]）·[dA →]

式中，[dA →]為面S所對應的面積（area）[A →]的微分.

在對通量這一概念的理解上，特別要注意以下兩點.

（一）通量一定是針對某一側面來說的

通量的定義式是一個面積分，因此，它是針對面來說的.面是我們通過感官和大腦對物體觀察的結果，是我們對物體抽象的結果.我們通過感官和大腦能從物質(zhì)中抽象出所謂的性質(zhì)、現(xiàn)象、狀態(tài)等信息.在亞里士多德的《范疇集》中[1]，共列出了十大范疇，其中前四大范疇分別是物質(zhì)（substance）、性質(zhì)（quality）、數(shù)量（quantity）和關系（relation）.面是我們觀察到的現(xiàn)象.顯然，面屬于性質(zhì)這一范疇.我們把性質(zhì)這一范疇下的諸如面、運動、電性、磁性、熱等物理概念稱為定性概念（qualitative concept）.

物理量是用來描述性質(zhì)的，屬于數(shù)量這一范疇.我們把數(shù)量這一范疇下的概念稱為定量概念（quantitative concept）.因此，物理量是定量概念.

在物理教育中，我們必須向?qū)W生表明，面是定性概念，而面積是定量概念.但在有些教材中經(jīng)常用表示面的符號S來表示面積.這是混淆面和面積概念的表現(xiàn).嚴格地說，面積應該用A來表示.

這里我們所說的面包括曲面和平面（平面實際上是曲面的特例）.一個平面對應一條法線.具有連續(xù)轉動法線的曲面稱為光滑曲面.由有限多塊不相交的光滑曲面連成的面稱為簡單曲面[2].這里所說的面指的都是簡單曲面（包括平面）.

通常所說的“面”又包括兩個側面，而這兩個側面對應著正負號不同的面積矢量.舉個簡單的例子，對于一張紙（圖1），它有左右兩個側面S1和S2，對應的面積矢量分別為[A1→]和[A2→].顯然，[A1→=-][A2→].

對于圖1中不同的側面，某一矢量的通量剛好相差一個正負號.對于某一矢量，當這張紙轉動180度后，它對某一側面的通量就改變了原來的兩倍.因此，在計算某一矢量的通量時，一定要明確是對哪個側面來說的.

（二）通量一定是針對某一矢量來說的

前面已經(jīng)說過，通量是兩個矢量標積的面積分.在這兩個矢量中，其中一個是面積矢量的微分.

如果這個面積分中的另一個矢量是速度[v→]，比如水流的流速，則其通量是水的流量（volume flow）：

Q=[Sv →]·[dA →]

如果這個面積分中的另一個矢量是電流密度[j→]，則其通量是電流（electric current）：

I=[Sj →]·[dA →]

如果這個面積分中的另一個矢量是電位移[D →]，則其通量是電通量（electric flux）：

Φe=[SD →]·[dA →]

如果這個面積分中的另一個矢量是磁感應強度[B →]，則其通量是磁通量（magnetic flux）：

Φm=[SB →]·[dA →]

對于勻強磁場，我們有：

Φm=[SB →]·[dA →]=[B →][Sd][A →]=[B →·A →]

另外，功率（能流密度矢量的通量）和力（動量流密度矢量的通量）也屬于通量的概念.功率實際上就是能流，力實際上就是動量流.

三、拓撲學解釋

在拓撲學中有這樣一條原理：一個區(qū)域的邊界不再有邊界[3].具體地說，一個空間區(qū)域的邊界是一個閉合的面，這個面不再有邊界;一個面的邊界是一條閉合的線，這條線不再有邊界.

比如一個球體的邊界是一個閉合的球面，這個球面不再有邊界.再比如圖1中的這張紙有左右兩個側面.因此，它有兩條邊界線.如果將它卷成一個圓筒，它仍有內(nèi)外兩個面和兩條邊界線.如果將它卷成如圖2所示的莫比烏斯帶（M?bius strip），它就只有一個面了，且只有一條邊界線.實驗表明，給用金屬片制成的莫比烏斯帶帶上電，其電荷分布在整個“內(nèi)外”表面上，不像法拉第圓筒實驗中那樣電荷只分布在其外表面上，而不分布在內(nèi)表面上[4].

一個線圈實際上有兩個側面.所謂“通過線圈的磁通量”實際上是指“通過線圈其中一個側面的磁通量”.根據(jù)拓撲學原理，每一獨立的面只有一個閉合的邊界，這個邊界不再有邊界.仔細分析我們會發(fā)現(xiàn)，n匝線圈的每一匝線圈的側面的邊界線是不閉合的，并沒有單獨構成一個側面，而是構成整個線圈的一個側面的一部分.因此，如果通過每匝線圈的某一側面的磁通量都相等，則通過線圈的同一側面的面積是線圈橫截面面積的n倍;通過線圈的某一側面的磁通量是通過每匝線圈的同一側面磁通量的n倍.在一般情況下，通過線圈的某一側面的磁通量是通過每匝線圈同一側面磁通量之和.因此，通過線圈的某一側面的磁通量又叫作全磁通（或磁通匝鏈數(shù)）[5].

在物理學中，我們通常用磁感線來形象地描述磁感應強度[B →].這樣，也有利于我們直覺地理解通過線圈的磁通量.

圖3用四種不同的方式畫出了一個2匝線圈.這四個圖在拓撲學意義上是等效的[6].從圖（d）中我們清楚地看出，一個線圈確實只有兩個側面（無論匝數(shù)有多少）;對于一個2匝線圈，每根磁感線都2次分別穿過它的其中任何一個側面.因此，對于匝數(shù)為n的線圈，每根磁感線要穿過這個線圈的其中一個側面n次，即磁感應強度[B →]對積分[SB →·d][A →]貢獻了n次.

四、結束語

通量是物理學的重要概念，也是常用的概念，諸如功率、電流、電通量、磁通量、力等都屬于通量的概念.

要正確理解通量這一概念，關鍵要區(qū)分面和面積這兩個概念.面屬于性質(zhì)的范疇，面積屬于數(shù)量的范疇.

要正確計算通過線圈的磁通量，我們還必須區(qū)分線圈的面和每匝線圈的面.我們不能混淆線圈的某一側面和每匝線圈的同一側面，否則就會混淆通過線圈的某一側面的磁通量和通過每匝線圈的同一側面的磁通量.上面我們提到的現(xiàn)行教材中的那道題和教師教學用書中的相應題解中的錯誤，就是這種混淆概念引起的.

參考文獻：

[1]亞里士多德. 形上學[M]. 呂穆迪，譯. 北京：北京時代華文書局，2014：83.

[2]謝樹藝. 矢量分析與場論[M]. 北京：人民教育出版社，1978：26.

[3]YANG C N. Einsteins impact on theoretical physics[J]. Physics Today， 1980， 33（6）： 42-49.

[4]STEWART S. Flexible Faraday cage with a twist： Surface charge on a M?bius strip[J]. The Physics Teacher， 2007， 45（5）： 268-269.

[5]趙凱華，陳熙謀. 電磁學[M]. 北京：高等教育出版社，1985：462.

[6]HERRMANN F. Hochschulskripten Elektrodynamik[EB/OL]. （2015）[2019-12-27]http：//www.physikdidaktik.uni-karlsruhe.de/kpk_material.html

（本文中的一些觀點是筆者在與德國Friedrich Herrmann教授、國內(nèi)物理教育同行討論中形成的，在此向他們表示衷心感謝）