“反例法”在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

張慶大

[摘要]在數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用“反例法”可以有效提高解題效率，拓寬解題思路.教師在課堂教學(xué)和問題訓(xùn)練中應(yīng)讓學(xué)生充分體會反例，進一步訓(xùn)練學(xué)生的辯證思維.

[關(guān)鍵詞]中學(xué)數(shù)學(xué);反例法;解題

[中圖分類號]

G633.6

[文獻標識碼] A

[文章編號] 1674-6058（2020）17-0014-02

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，師生往往是指出正確的命題，并專注于獲得正確的解決方案，而忽略了如何找出錯誤.舉反例是發(fā)現(xiàn)并糾正錯誤的普遍方式.反例可以豐富和深化學(xué)生的抽象理解，特別是對一些數(shù)學(xué)理論的掌握大有裨益;反例也可以形成清晰認知，特別是對數(shù)學(xué)性質(zhì)、概念、定理等的理解.教師列舉的反例必須遵循從一般到特殊的原則，并具備形象化、直觀性、代表性等諸多特性，使學(xué)生容易學(xué)習(xí)、掌握、理解，學(xué)生的感知印象能夠在理解反例中得以增加，使學(xué)生透徹理解所學(xué)的知識.

一、反例的概念

在數(shù)學(xué)中，反例一般指的是對某理論和概念的結(jié)論相反的例子，但其條件完全相同.從某種程度上說，所有例子都可以作為反例來使用，因為它總是可以指出一定的命題是錯誤的.然而，我們所研究的反例，它是一種基于已在數(shù)學(xué)領(lǐng)域被證明并且具有一定作用的理論和邏輯推理的反面教材.一個反例可以看作是證明的特殊方法.一般來說，反例有許多個，我們列舉反例時，只需要選出其中的一個就可以了.數(shù)學(xué)的反例可以分成下面的幾種.

1.基本形式的反例

數(shù)學(xué)命題可以分成四種基本的形式：全稱否定判斷，全稱肯定判斷，特稱否定判斷，特稱肯定判斷.（如表1）.

2.關(guān)于必要條件假言判斷和充分條件假言判斷的反例

充分條件就是某種事物是另一種事物的充分條件，前者可以推出后者.能夠表述為“P→Q”，即“有P必然有Q”.反過來“沒有P，不一定說明沒有Q”.能夠舉出反例“沒有P，卻可以有Q”.這種反例則稱為關(guān)于充分條件假言判斷的反例.

必要條件就是某一種事物是另一種事物的必要條件，后者能推出前者.能夠表述為“P Q”，也就是說“沒有P，一定沒有Q”，但是“有了P，卻不一定有Q”.能夠舉出反例“有了P，沒有Q”.

3.條件變化型反例

條件變化型反例是在數(shù)學(xué)命題中的條件改變后發(fā)生的，且結(jié)論與原先條件下會有不同，條件的變化可以分為較多的形式.如命題條件的增減以及相應(yīng)參數(shù)的改變.這樣的反例形式對于教學(xué)和理論的研究有著較大的作用.

二、反例的作用

通過舉出反例的方法，可以進一步促進新的方法和概念的產(chǎn)生.在數(shù)學(xué)的歷史發(fā)展過程中，很多理論的更新以及創(chuàng)造都是由反例得出的.這也讓反例在數(shù)學(xué)領(lǐng)域不斷被應(yīng)用，并起到重要的作用.在數(shù)學(xué)定理和概念中有許多結(jié)構(gòu)復(fù)雜的情況，貫穿其中的結(jié)論，有時很難理解.反例可以使概念更加清晰、明確，并能使定理、結(jié)論之間的充分性和必要性非常明顯.數(shù)學(xué)中有特別多這樣的反例.數(shù)學(xué)是一門嚴謹?shù)膶W(xué)科，有很強的學(xué)科性，有自己獨特的思維特色和獨立的邏輯推理體系，不能僅僅憑借著直觀和客觀去了解和理解它，這樣會對其形成模糊的認知.然而數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中，讓學(xué)生了解嚴謹?shù)倪壿嬐评砗退季S特點的同時，還應(yīng)該掌握各類的反例，這樣才能夠使學(xué)生牢牢鞏固數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本技能，提高數(shù)學(xué)修養(yǎng)與培養(yǎng)科學(xué)思維及創(chuàng)新能力.

三、構(gòu)造反例的方法

1.分類法

分類是數(shù)學(xué)思維的一種非常重要的方式.通過將一堆事物進行歸類，將其中具有一定特征的事物放到一起的方法就叫作分類法.它可以減少尋找反例的范圍，避免盲目使用反例進行論證.如何利用分類法列舉出反例就成了關(guān)鍵問題.一般地，可以先把題設(shè)條件分成甲、乙兩大類，命題成立屬于甲類，命題不成立屬于乙類;然后再在乙類中舉出一個相反的例子.

[例1]命題“平面外的兩條平行線在該平面內(nèi)的射線是平行線”對嗎？為什么？

分析：這個命題在已經(jīng)給出的條件下看似正確，但是卻沒有考慮兩條平行線是否與平面平行.這樣很容易舉出反例進行說明.

如圖1所示，當(dāng)兩條平行線a、b都與平面a垂直時，它們在a內(nèi)的射影為兩個不同點A、B，而不是兩條相互平行的線.因此該命題是錯誤的.

分類法可以有效識別命題中的條件，并且可以避免遺漏相關(guān)條件以至于推出的結(jié)論出現(xiàn)錯誤.

2.特殊化法

特殊化法就是在命題的條件下，舉出一些較為特殊和極端的例子，以證明該命題是否正確.

分析：把x=-2代入不等式中可知x=-2是它的一個解，所以B、C、D都不對，故選A.

由本題x=-2就是B、C、D的一個反例.可以看出舉反例是解選擇題的一種巧妙方法.

3.窮舉法

[例3]命題“在△ABC中，BC邊上的高AD等于BC，H是垂心，M是BC的中點，則MH+DM=1/2Bc”是否正確？為什么？

分析：這道題的易錯點在于，常規(guī)的方法只考慮角B和角C小于90°的情況，而忽略了其他的情況.

當(dāng)∠C=90°時，如圖2所示.

關(guān)于三角形的命題，在解答時不能只考慮一種角度，而是要考慮多種角度在命題條件下是否成立.

4.推理分析法

推理反例主要是通過命題給出的條件，根據(jù)相關(guān)的理論和原理推出相應(yīng)的結(jié)論.

這些都是常見的解決實際應(yīng)用題的方法，對學(xué)生的思維訓(xùn)練非常好.國外研究者對于反例的作用早有闡釋，并且證明其在應(yīng)用中可以激發(fā)學(xué)生去探索數(shù)學(xué)奧秘.因此，在課堂教學(xué)和習(xí)題訓(xùn)練中讓學(xué)生充分體會反例，有利于學(xué)生有效學(xué)習(xí)，能進一步訓(xùn)練學(xué)生的辯證思維.

[參考文獻]

[1]黃建橋巧用反例學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)：論初中數(shù)學(xué)教學(xué)反例的運用[J]教育界：綜合教育研究，2018（1）：77-78.

[2]盧成，俞春三視圖表示的幾何體不唯一的另一反例[J]中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2017（6）：29

（責(zé)任編輯 黃桂堅）