平行四邊形中的考點(diǎn)分析

文徐 聰

（作者單位：江蘇省無錫金橋雙語實(shí)驗(yàn)學(xué)校）

平行四邊形是初中數(shù)學(xué)中最重要的基本圖形之一，是學(xué)習(xí)和研究特殊四邊形的基礎(chǔ)。它的概念、性質(zhì)和判定，是中考重點(diǎn)考查的內(nèi)容，考查形式也豐富多樣。

一、夯實(shí)基礎(chǔ)是根本

教材中給出了平行四邊形的定義和三種判定方法，都是從四邊形的邊、角、對角線中選取恰當(dāng)?shù)臈l件得到平行四邊形，但也有一些組合是不能推出四邊形是平行四邊形的。下面以一道例題呈現(xiàn)。

例1（2018·內(nèi)蒙古呼和浩特）順次連接平面上A、B、C、D 四點(diǎn)得到一個四邊形，從①AB∥CD，②BC=AD，③∠A=∠C，④∠B=∠D 四個條件中任取其中兩個，可以得出“四邊形ABCD 是平行四邊形”這一結(jié)論的情況共有（ ）。

A.5種 B.4種 C.3種 D.1種

【分析】能夠識別平行四邊形的有：（1）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形（定義）；（2）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；（3）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；（4）兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；（5）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。滿足①②的條件的四邊形可以是等腰梯形，但等腰梯形不是平行四邊形；同理，滿足②③或②④構(gòu)不成平行四邊形。當(dāng)選①③時，四邊形ABCD 為平行四邊形；當(dāng)選①④時，四邊形ABCD 為平行四邊形；當(dāng)選③④時，四邊形ABCD 為平行四邊形。故有3種。故選C。

【點(diǎn)評】教材中的基本概念、性質(zhì)與判定是學(xué)習(xí)的根本和基礎(chǔ)，只有熟練掌握了，才能靈活運(yùn)用。

二、關(guān)注平行四邊形的核心要素

平行四邊形作為一種特殊的四邊形，在邊、角和對角線方面有許多性質(zhì)。近年來，利用平行四邊形的性質(zhì)作圖的考題也很常見，能熟練運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵。

例2（2019·江蘇無錫）我們知道，三角形具有性質(zhì)：三條中線相交于一點(diǎn)。請運(yùn)用上述性質(zhì)，只用直尺（不帶刻度）作圖。如圖1，在?ABCD 中，E 為CD 的中點(diǎn)，作BC的中點(diǎn)F。

圖1

圖2

【分析】研究平行四邊形就是要關(guān)注其基本的要素——邊、角及對角線。根據(jù)題意：已經(jīng)知道了平行四邊形一條邊上的中點(diǎn)，要求另一邊上的中點(diǎn)，自然應(yīng)該聯(lián)想到平行四邊形的對角線的交點(diǎn)。若O 為?ABCD 對角線的交點(diǎn)，這樣在△BCD 中就有了BD 邊和CD邊的中點(diǎn)，連接兩條中線BE、CO 得交點(diǎn)M，根據(jù)“三角形的三條中線相交于一點(diǎn)”可知BC 邊上的中線一定過點(diǎn)M，所以再連接DM并延長，與線段BC的交點(diǎn)即為所求。

解：連接AC、BD 交于點(diǎn)O，連接EB交AC 于點(diǎn)M，連接DM 并延長交BC 于點(diǎn)F，F(xiàn)即為所求，如圖2。

【點(diǎn)評】平行四邊形的識別、性質(zhì)與應(yīng)用是近年來中考的熱門問題，如能正確運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)、判定以及轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想，解題會變得容易上手。

三、思考問題要全面

例3（2019·云南）在中，∠A=30°，，BD=4，則的面積等于

【分析】畫出符合條件的草圖，不難發(fā)現(xiàn)，符合條件的平行四邊形的邊AB有兩種情況。本題涉及九年級內(nèi)容，同學(xué)們僅作了解即可。

解：過點(diǎn)D 作DE⊥AB 于E，∵∠A=30°，∴AE=6。在Rt △DBE中，，∴AB=AE+BE=8，或AB=AE-BE=4，∴平 行 四 邊 形ABCD 的 面 積 為或4×。故答案為或。

【點(diǎn)評】由題中給出的∠A=30°，AD=，BD=4 可以看出，在△ABD 中，兩條邊和一個角是按照“SSA”的順序給定的，這樣的三角形可能不是唯一的，△ABD 存在兩種可能，因此?ABCD 也有兩種情況。如圖3 所示，點(diǎn)B 落在以D點(diǎn)為圓心、DB為半徑的圓上。

圖3

四、注重知識間的聯(lián)系

例4（2019·福建）在平面直角坐標(biāo)系xOy 中，的三個頂點(diǎn)為O（0，0）、A（3，0）、B（4，2），則其第四個頂點(diǎn)是

圖4

圖5

【分析】由題意得出OA=3，由平行四邊形的性質(zhì)得出BC∥OA，BC=OA=3，只需將點(diǎn)B 向左平移三個單位即可得出結(jié)果。

解：∵O（0，0）、A（3，0），

∴OA=3。

∵四邊形OABC是平行四邊形，

∴BC∥OA，BC=OA=3。

∵B（4，2），

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，2）。

【點(diǎn)評】題中明確給出“?OABC”，意思是平行四邊形的四個頂點(diǎn)的順序是確定的，所以有唯一解。但很多時候會以另一種方式提問。

變式：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)O（0，0）、A（3，0）、B（4，2），以點(diǎn)O、A、B、C 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則點(diǎn)C 的坐標(biāo)是

【分析】變式與例題不同之處就是平行四邊形的四個頂點(diǎn)的順序不確定，我們必須對已知線段進(jìn)行分類討論，以線段AB為例。

圖6

解：若線段AB 為平行四邊形的邊，則OC 和AB 平行且相等，由點(diǎn)A 和點(diǎn)B 的坐標(biāo)可知，將點(diǎn)A先向右平移1個單位長度，再向上平移兩個單位長度即可得到點(diǎn)B，所以點(diǎn)O 和點(diǎn)C 之間一定也是這種平移方式。如果是點(diǎn)O 到點(diǎn)C 按此方式平移，可得點(diǎn)C1坐標(biāo)為（1，2）；相反，如果是點(diǎn)C到點(diǎn)O 按這種方式平移，則將點(diǎn)O 向反方向移動即可得到點(diǎn)C2（-1，-2），從圖4 到圖5 所示。若線段AB 為對角線，則線段OC 也是平行四邊形的對角線，并且具有相同的中點(diǎn)。從點(diǎn)O 到點(diǎn)A，可知點(diǎn)C3的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)為4+3，因此點(diǎn)C3坐標(biāo)為（7，2），如圖6 所示。綜上所述，點(diǎn)C坐標(biāo)為（1，2），（-1，-2），（7，2）。

【點(diǎn)評】利用平行四邊形的性質(zhì)，可以快速得到第四個點(diǎn)的坐標(biāo)。這種方法同樣適用于菱形、矩形、正方形存在性的探討。隨著日后學(xué)習(xí)的深入，當(dāng)平行四邊形與其他問題相結(jié)合時，越發(fā)可以顯示它的“威力”。