新高考背景下中學(xué)數(shù)學(xué)數(shù)列通項(xiàng)公式的高效解題

新高考背景下中學(xué)數(shù)學(xué)數(shù)列通項(xiàng)公式的高效解題

鄒正瑞

摘要：數(shù)列通項(xiàng)公式作為數(shù)列知識的基礎(chǔ)，教師在教學(xué)的過程中應(yīng)當(dāng)積極地引導(dǎo)學(xué)生熟練地掌握通項(xiàng)公式的相關(guān)知識，并且能夠在遇到相關(guān)問題時在最短的時間內(nèi)進(jìn)行通項(xiàng)公式的求解，這樣才能保證學(xué)生在緊張的高考氛圍下，取得理想的成績。

關(guān)鍵詞：中學(xué)數(shù)學(xué);數(shù)列知識;通項(xiàng)公式;求法探究

中圖分類號：G633.6?????????? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1992-7711（2020）08-074-2

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中不難發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的數(shù)學(xué)知識基礎(chǔ)、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力和數(shù)學(xué)思維都是不盡相同的。在素質(zhì)教育的背景下，教師應(yīng)當(dāng)積極的針對學(xué)生的思維特點(diǎn)進(jìn)行教學(xué)引導(dǎo)，讓學(xué)生能夠真正的透徹理解數(shù)列相關(guān)知識。這對于學(xué)生構(gòu)建自身的數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)素養(yǎng)具有積極的促進(jìn)作用。

一、應(yīng)用遞推法求解通項(xiàng)公式

遞推法求解數(shù)列通項(xiàng)公式實(shí)際上就是運(yùn)用了數(shù)學(xué)思維中的邏輯思維，通過將數(shù)列推導(dǎo)到比原問題簡單的問題上來進(jìn)行通項(xiàng)公式的求解。比如，將繁雜的數(shù)列進(jìn)行簡化、將一般的數(shù)列進(jìn)行特殊化，這樣能夠直接的進(jìn)行通項(xiàng)公式的求解。

例一：在數(shù)列{an}中，a1=1，當(dāng)n≥2時，有an=3an-1+2，求{an}的通項(xiàng)公式。

解題思路：本題在進(jìn)行解析的過程中應(yīng)當(dāng)積極的運(yùn)用遞推法將這一數(shù)列進(jìn)行化簡。

設(shè)an+m=3an-1+m，得出an=3an-1+2m;對比an=3an-1+2得出m=1;

進(jìn)而得出an+1=3（an-1+1）;即an+1an-1+1=3。

因此得出數(shù)列{an+1}是以a1+1=2為首項(xiàng)，以3未公比的等比數(shù)列。

最后套用公式而得出通項(xiàng)公式：an=2·3n-1-1。

在應(yīng)用遞推法求解數(shù)列通項(xiàng)公式的過程中，應(yīng)當(dāng)根據(jù)題目的描述或者特征來適當(dāng)?shù)臉?gòu)筑一些輔助的數(shù)列，這樣才能夠運(yùn)用基本數(shù)列進(jìn)行快速的求解。遞推法實(shí)際上考驗(yàn)的是學(xué)生的數(shù)列基本知識和邏輯遞推能力，這就需要學(xué)生對數(shù)列相關(guān)知識具備扎實(shí)的基礎(chǔ)才能夠進(jìn)行快速的解析。

二、應(yīng)用公式法求解通項(xiàng)公式

可以說，公式法是通項(xiàng)公式求解過程中相對簡單的一類方法。這類方法主要依靠于題目中提供的數(shù)列為等比數(shù)列或者等差數(shù)列，而在看到這類數(shù)列的時候可以利用等比數(shù)列和等差數(shù)列的性質(zhì)來直接套用相應(yīng)的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解，這個時候只需要對公差或者公比進(jìn)行求解就可以得出完整的通項(xiàng)公式。

例二：數(shù)列{ an} 中，如果a1 = 1，an+1 = an +2（ n≥ 1），求通項(xiàng)公式 an。

解題思路：在進(jìn)行本題求解的過程中可以通過已知條件求出一個等差數(shù)列，然后利用公式進(jìn)行求解，相對比較簡單。

在運(yùn)用公式法進(jìn)行通項(xiàng)公式求解的時候，主要考驗(yàn)的是學(xué)生對于等差和等比數(shù)列性質(zhì)的理解和掌握，等差等比數(shù)列作為中學(xué)數(shù)列知識中的重點(diǎn)內(nèi)容，教師應(yīng)當(dāng)積極的引導(dǎo)學(xué)生對于相關(guān)知識的理解，讓學(xué)生能夠牢固的掌握等差等比數(shù)列的特點(diǎn)，并且能夠在考試的過程中，一眼判斷出是否是等差或者等比數(shù)列，這樣才能夠快速的套用相應(yīng)的公式進(jìn)行求解，真正的實(shí)現(xiàn)學(xué)生解題效率的提升。

三、應(yīng)用累加法、累乘法求解通項(xiàng)公式

累加法求解通項(xiàng)公式往往是針對那些題目中給出an，an+1，an-1遞推公式的題目，在面臨這些題目時學(xué)生第一反應(yīng)應(yīng)當(dāng)是選擇累加法將這些特殊的數(shù)列進(jìn)行累加，然后通過類推和整理，將復(fù)雜的數(shù)列逐漸的簡化。最后，求解出通項(xiàng)公式。累加法主要是反復(fù)的利用題目中所給的遞推關(guān)系來進(jìn)行數(shù)列的化簡，這樣才能夠得出（n-1）個式子，然后進(jìn)行累加，最終轉(zhuǎn)化成f（n）的前（n-1）項(xiàng)的和，在進(jìn)行累加法應(yīng)用的過程中應(yīng)當(dāng)注意相關(guān)的求和技巧的運(yùn)用。

例三：在數(shù)列{an}中，a1=2，an+1=an+2n-1，求{an}的通項(xiàng)公式。

解題思路：觀察題目可以得出a2 -a1 =1;a3-a2 =1;……;an-an-1n=2n-3。然后進(jìn)行逐項(xiàng)的累加可以得出an=n2-2n+3。

累加法求通項(xiàng)公式要求學(xué)生在進(jìn)行題目求解的過程中，能夠?qū)︻}目進(jìn)行細(xì)致的觀察。觀察到題目中存在應(yīng)用累加法通項(xiàng)公式的特征之后，能夠快速的進(jìn)行應(yīng)用。累乘法求通項(xiàng)公式的過程中需要學(xué)生能夠快速的找準(zhǔn)累乘的項(xiàng)，這樣才能夠通過對相關(guān)項(xiàng)的乘積觀察來進(jìn)行求集。并且在應(yīng)用累加法、累乘法求解通項(xiàng)公式的時候，應(yīng)當(dāng)特別的注意項(xiàng)數(shù)的計算，學(xué)生在項(xiàng)數(shù)計算的過程中非常容易出現(xiàn)馬虎，而導(dǎo)致多算一項(xiàng)或者少算一項(xiàng)的問題出現(xiàn)，而這一情況則會讓學(xué)生的最終結(jié)題結(jié)果出現(xiàn)錯誤。

四、應(yīng)用待定系數(shù)法求解通項(xiàng)公式

待定系數(shù)法適應(yīng)題目中給出an+1=qan+f（n）的條件，其主要是通過將題目中所給出的數(shù)列進(jìn)行轉(zhuǎn)化成等比數(shù)列或者等差數(shù)列，再根據(jù)數(shù)列的本質(zhì)就是一個函數(shù)的角度出發(fā)，從函數(shù)的定義域的自然集中進(jìn)行函數(shù)的解析，這種方法對于學(xué)生函數(shù)知識和數(shù)列知識的考察是十分重要的。

例四：在數(shù)列{ an}中，a1=1，an=2an-1+1（n≥ 2），求{ an}的通項(xiàng)公式。

解題思路：在本題中，根據(jù)題目條件可以得出an=2an-1+1（n≥ 2）：，因此，有an+1=2（an-1+1）。又因?yàn)樵赼1+1=2，∴{an+1}這一數(shù)列中，其作為首項(xiàng)為2，公比為2的等差數(shù)列，就可以根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)來進(jìn)行計算，因此，得出an+1=2n，經(jīng)過轉(zhuǎn)化得：an=2n-1。

在進(jìn)行待定系數(shù)法解題的過程中應(yīng)當(dāng)主要觀察題目中給出的條件能否符合待定系數(shù)法的特征，然后根據(jù)相關(guān)的特征進(jìn)行解析，這樣不僅僅可以保證解題的正確率，更是可以通過函數(shù)知識的運(yùn)用化簡整個題目，達(dá)到快速解題的目的。

五、應(yīng)用特征跟法求解通項(xiàng)公式

特征根法通過引入一些特定的系數(shù)來轉(zhuǎn)化相應(yīng)的命題結(jié)構(gòu)，并且通過變形和比較將問題轉(zhuǎn)化為基本數(shù)列，然后進(jìn)行通項(xiàng)公式的求解。在新高考的背景下，數(shù)列相關(guān)問題求通項(xiàng)的問題越來越復(fù)雜，當(dāng)無法運(yùn)用以上幾種方法進(jìn)行求解的時候，可以運(yùn)用特征根法來進(jìn)行數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解。遞推公式對應(yīng)的特征方程x2=px+q擁有兩個實(shí)數(shù)根的時候，就可以通過相應(yīng)的公式an=（cn+d）·（p2）n-1來求通項(xiàng)公式;當(dāng)特征方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根的時候，可以通過an=ex1n-1+fx2n-1來求通項(xiàng)公式;當(dāng)特征方程擁有虛的根為虛跟的時候，這種情況在中學(xué)數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)時不進(jìn)行討論。

例五：在數(shù)列{an}中，a1=1，擋n≥2的時候，an=an-1+2n-1，求{an}的通項(xiàng)公式。

解題思路：在本題的解題過程中，應(yīng)當(dāng)積極的運(yùn)用待定系數(shù)法進(jìn)行相關(guān)命題結(jié)構(gòu)的變化，然后將復(fù)雜的數(shù)列問題逐漸的轉(zhuǎn)化為基本的數(shù)列問題，最終求出通項(xiàng)公式。首先，bn=an+An+B，在an=bn-An-B， an-1=bn-1-A（n-1）-B，中代入題目給出的遞推公式中，則得出bn=12bn-1+（12A+2）n+（12A+12B-1），進(jìn)行方程組的求解可以而出

這個時候，bn=12bn-1且存在bn=an-4n+6，因此，bn=32n-1，最終得出an=32n-1+4n-6。

數(shù)列問題本質(zhì)上可以說是函數(shù)問題，將數(shù)列轉(zhuǎn)化為函數(shù)來進(jìn)行求解能夠幫助學(xué)生清晰地認(rèn)知到數(shù)列的本質(zhì)，加深學(xué)生對于數(shù)列知識的理解。

六、應(yīng)用倒數(shù)法求解通項(xiàng)公式

倒數(shù)法顧名思義就是通過將題目中給出的數(shù)列式子進(jìn)行倒數(shù)變化，然后在進(jìn)行簡化觀察求解的一種方法，這種方法主要適用于題目中給出分?jǐn)?shù)式子的情況下。

例六：在數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=2an3an+2，求{an}的通項(xiàng)公式。

解題思路：本題就是應(yīng)用倒數(shù)法進(jìn)行解析，將an+1轉(zhuǎn)化為1an+1，這樣能夠快速準(zhǔn)確的得出通項(xiàng)公式。

利用倒數(shù)法進(jìn)行解題構(gòu)造相應(yīng)的特殊函數(shù)來進(jìn)行解題，比如通過an+1=panqan+p→1an+1=pan+ppan=1an+qp這樣的形式來進(jìn)行等差數(shù)列的構(gòu)造，這樣能夠進(jìn)一步的應(yīng)用等差數(shù)列的特點(diǎn)來進(jìn)行相應(yīng)通項(xiàng)公式的解析，真正的實(shí)現(xiàn)在面臨復(fù)雜分?jǐn)?shù)式子的時候達(dá)到高效解題。

隨著素質(zhì)教育的不斷發(fā)展進(jìn)步，在中學(xué)階段教師不僅僅注重學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的夯實(shí)和理解，更是應(yīng)當(dāng)從學(xué)生未來發(fā)展的角度出發(fā)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)思想。數(shù)列知識作為中學(xué)數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)內(nèi)容，一直是高考考試中重點(diǎn)考察的內(nèi)容。在新高考的形勢下，高考對于學(xué)生綜合能力的考察越來越重視，這不僅僅需要學(xué)生具備良好的數(shù)學(xué)知識體系，更是需要學(xué)生能夠在解題的過程中快速、準(zhǔn)確的把握住數(shù)列問題的解題要點(diǎn)，從而能夠快速、準(zhǔn)確的進(jìn)行通項(xiàng)公式的求解。

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（作者單位：安徽省定遠(yuǎn)中學(xué)，安徽 定遠(yuǎn) 233200）