一類新定義下的連續(xù)不可導(dǎo)的函數(shù)

馬濤

【摘要】設(shè)f（x）是定義在[a，b]上的精致函數(shù)，有

（1）f（x）在[a，b]上的弧長無限.

（2）f（x）在[a，b]上是處處連續(xù)處處不可導(dǎo)的.

【關(guān)鍵詞】函數(shù);幾乎精致;弧長

一、引 言

對處處連續(xù)處處不可導(dǎo)的這一類函數(shù)，古今有一些研究，大致可分為兩類，第一類為維爾斯特納斯以三角級數(shù)構(gòu)造的，如下

其中，11+3 2π.這類函數(shù)偏重代數(shù)性質(zhì)，忽略了幾何性質(zhì).

第二類為分子布朗運(yùn)動形成的軌跡，具有一定的幾何性，但近似于震蕩的，幾何結(jié)構(gòu)過于單一化了，且是隨機(jī)的.

新定義的這類函數(shù)，有精致的幾何結(jié)構(gòu)，且在不同量級的尺度下測量，具有不同的幾何結(jié)構(gòu)，從而使得幾何結(jié)構(gòu)變得豐富多彩，使得幾何結(jié)構(gòu)不具有確定的答案.

其中，蘊(yùn)含了分形的思想，偏重于幾何結(jié)構(gòu)，更在意于小量級下的結(jié)構(gòu)，這和量子所處的尺度相重疊，都著重于描敘精細(xì)結(jié)構(gòu)，探索微觀下的性質(zhì).

二、預(yù)備知識

數(shù)列與序列：數(shù)列{an}.→：n→+∞.序列{an}.可以使得，n<+∞.

數(shù)序基礎(chǔ)：a，b∈R ，且a≠b，那么，a，b之間必定包含R 上無窮多個數(shù);對大于或小于關(guān)系，R 上滿足完備性.

符號意義：I={1，2，3，…，n}，n∈N +，稱I為指標(biāo)集.

A，B為任意集合，A

數(shù)量級上的比較定義：a1a2是正實(shí)數(shù)集上任意兩個元素.設(shè)定‖a‖代表正實(shí)數(shù)a的數(shù)量級，等價于，n1n2.其中，a1a2，‖a1‖=10n1，‖a2‖=10n2;數(shù)量級計(jì)數(shù)表示為a=a′a，a′∈[1，10）.

稱Δx的值為精度.

無特殊聲明外，一律在閉區(qū)間討論.

定義1 有f（x）在[a，b]上有定義，也可以定義在（-∞，+∞）上.

給x0∈[a，b]，在給定的δ>0下，∪（x0，δ）<[a，b]內(nèi).[在x=a或x=b處.考慮;∪+（a，δ）或∪-（b，δ）].

滿足下述條件：

在某一點(diǎn)的右鄰域或左鄰域滿足精致定義，稱，該點(diǎn)的右邊或左邊是單邊精致的.

除特殊聲明外，一般在∪+（x0，δ）內(nèi)討論.

存在性.

顯然的，P0點(diǎn)精致性可以決定于尺度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于ε的微觀結(jié)構(gòu).

證畢.

例 如布朗運(yùn)動的幾何結(jié)構(gòu)為病態(tài)的精致函數(shù)圖像，其中改變了|ai|，|ai-1|的范圍，使得|ai|→+∞;|ai-1|→+∞.

定義2 變換φ稱為連續(xù)形變.假如滿足如下條件.

① 只對函數(shù)關(guān)系圖像有效，且：變換后關(guān)系依然為函數(shù)關(guān)系.

② 變換前后，弧長（或弧面.）具有不可伸縮性.

③ 變換前后，函數(shù)關(guān)系圖像都為連續(xù)的.

三、主要結(jié)論

定理1 f（x）是定義在[a，b]上的精致函數(shù)，則f（x）在[a，b]上的圖像總弧長趨于無窮.

證 由定義可知，f（x）在[a，b]上是連續(xù)的，則弧長是存在的.

證畢.

直觀上的反映：當(dāng)弧長為有限值，分割區(qū)間長度趨于零，則分割區(qū)間上的弧長是沒有阻礙趨近于零;當(dāng)弧長為精致弧長，分割區(qū)間長度趨于零，則分割區(qū)間上的弧長總存在精度阻礙其趨于近零.

證畢.

以上結(jié)論表明，以精致函數(shù)圖像作積分路線，被積函數(shù)正則的條件下，其第一類線路積分大多是發(fā)散的，這也是精致函數(shù)區(qū)別于一般函數(shù)的重要特征.

四、結(jié)束語

本文研究了新定義下的，處處連續(xù)處處不可導(dǎo)一類函數(shù)，并分析了其中一些性質(zhì)，得到了一些結(jié)果，如任意子區(qū)間上的弧長無限性，任意子區(qū)間內(nèi)不存在單調(diào)性，線路積分在正則條件下的發(fā)散性.

確切地說，在量子尺度的量級上更具有意義，很自然可以想到，將精致的概念進(jìn)一步推廣，擴(kuò)展到精致曲面，以及更高維度的幾何體，容易推測，它們在有限的區(qū)域內(nèi)蘊(yùn)含無窮大的邊界.

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