“高等數(shù)學(xué)”中的概念和公式教法

烏仁其其格

【摘要】在“高等數(shù)學(xué)”課程的教學(xué)中，基本概念和公式占有相當(dāng)重要的位置.一方面，基本概念和公式是學(xué)習(xí)后繼課程所必需的基礎(chǔ)知識(shí);另一方面，概念本身的實(shí)際背景及公式的應(yīng)用和著眼點(diǎn)就是學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題并且掌握好數(shù)學(xué)這門(mén)課程的關(guān)鍵.但是，由于許多概念和公式具有高度的抽象性，使學(xué)生學(xué)起來(lái)感到非常困難，有些概念和公式雖然簡(jiǎn)單，但學(xué)習(xí)過(guò)程枯燥乏味.“興趣是最好的老師”，因此，教師如何恰當(dāng)?shù)剡x擇方法引導(dǎo)學(xué)生輕松愉快地接受新知識(shí)，了解概念和公式的來(lái)龍去脈，掌握解決問(wèn)題的方法，從而激發(fā)和培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，在整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中起著舉足輕重的作用.筆者就自己在“高等數(shù)學(xué)”教學(xué)實(shí)踐中對(duì)概念和公式的教學(xué)方法做一淺談.

【關(guān)鍵詞】高等數(shù)學(xué);概念;公式;教法

【基金項(xiàng)目】赤峰學(xué)院青年科研基金項(xiàng)目：cfxyqn201921.

一、引 言

“高等數(shù)學(xué)”是高校非常重要的一門(mén)必修課，其邏輯性強(qiáng)、基礎(chǔ)性強(qiáng)、抽象性強(qiáng)且應(yīng)用廣泛.然而，剛?cè)雽W(xué)的學(xué)生，對(duì)抽象定理的證明、冗長(zhǎng)例題的演算或“高等數(shù)學(xué)”實(shí)用工具的理解都沒(méi)有做好準(zhǔn)備，因而，普遍感到概念難以理解，公式不易應(yīng)用，思維難以展開(kāi)，問(wèn)題難以入手，方法難以掌握，習(xí)題難以解答.同時(shí)，部分學(xué)生不清楚這門(mén)課和自己所學(xué)專(zhuān)業(yè)之間的聯(lián)系，導(dǎo)致很多學(xué)生一開(kāi)始就對(duì)這門(mén)課沒(méi)有興趣，甚至產(chǎn)生放棄學(xué)習(xí)的念頭.很多學(xué)生對(duì)“高等數(shù)學(xué)”的學(xué)習(xí)存在一定的畏難情緒，認(rèn)為“高等數(shù)學(xué)”學(xué)著難、用著少，因此，他們的積極性不高.眾所周知，“高等數(shù)學(xué)”是理科類(lèi)非數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的各個(gè)專(zhuān)業(yè)的重要基礎(chǔ)課，近年來(lái)，也成為一部分文史類(lèi)專(zhuān)業(yè)的必修課.通過(guò)“高等數(shù)學(xué)”課的學(xué)習(xí)，一方面，使學(xué)生獲得必要的數(shù)學(xué)知識(shí)，為以后的專(zhuān)業(yè)課學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ);另一方面，也能培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維、邏輯推理和綜合分析能力.而且“高等數(shù)學(xué)”課程的教學(xué)中，基本概念和公式占有相當(dāng)重要的位置.

筆者認(rèn)為，為了提高基本概念和公式的教學(xué)質(zhì)量，促進(jìn)教學(xué)的改進(jìn)，在教學(xué)過(guò)程中，必須把抽象的內(nèi)容具體化，把復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，使教學(xué)接近于生活，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)，從而提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

如何解決這些問(wèn)題，筆者從以下幾個(gè)方面談一下看法.

二、恰當(dāng)?shù)匾龈拍詈凸?/p>

（一）“高等數(shù)學(xué)”課程和學(xué)生所學(xué)專(zhuān)業(yè)課的聯(lián)系

首先要解決數(shù)學(xué)和開(kāi)設(shè)該課的專(zhuān)業(yè)之間的聯(lián)系.很多學(xué)生上這門(mén)課的第一個(gè)問(wèn)題是：“我學(xué)這門(mén)課有什么用？”教師首先應(yīng)理解自身教學(xué)的目的，才能夠?yàn)閷W(xué)生解答此問(wèn)題，使學(xué)生明白這門(mén)課和自己專(zhuān)業(yè)的后繼課程之間的關(guān)系;即使是文科，也應(yīng)讓學(xué)生明白邏輯思維的重要性.學(xué)生也只有解決了這一問(wèn)題，才能自主學(xué)習(xí).這樣的學(xué)習(xí)也不再是被動(dòng)的、漫無(wú)目的的.

“高等數(shù)學(xué)”是高校理科和文科相關(guān)專(zhuān)業(yè)學(xué)生必修的一門(mén)重要基礎(chǔ)理論課程，比如，理科中的物理、化學(xué)、計(jì)算機(jī)、生物醫(yī)學(xué)的相關(guān)專(zhuān)業(yè)和文科中的財(cái)經(jīng)管理類(lèi)專(zhuān)業(yè)都開(kāi)設(shè)了“高等數(shù)學(xué)”課程.這門(mén)課程對(duì)各專(zhuān)業(yè)后續(xù)課程的學(xué)習(xí)具有奠基作用.例如，物理學(xué)、控制論、流體力學(xué)和電動(dòng)力學(xué)等專(zhuān)業(yè)課程都要用到“高等數(shù)學(xué)”中的數(shù)學(xué)知識(shí).另外，大學(xué)生畢業(yè)參加工作后也會(huì)用到“高等數(shù)學(xué)”所學(xué)的知識(shí)，例如，數(shù)據(jù)分析、機(jī)械設(shè)計(jì)、游戲軟件設(shè)計(jì)、城鄉(xiāng)規(guī)劃、建筑設(shè)計(jì)、風(fēng)景園林設(shè)計(jì)、房地產(chǎn)管理和測(cè)量工程等工作領(lǐng)域都涉及“高等數(shù)學(xué)”知識(shí).

（二）利用各種方法提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

興趣是最好的老師，如果能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，就能使學(xué)生真正成為教學(xué)的主體.教師時(shí)刻關(guān)注學(xué)生的思想變化，因材施教，這樣有利于培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性，從而提高學(xué)生的理論知識(shí)和實(shí)際操作技能.

“高等數(shù)學(xué)”是一門(mén)抽象的學(xué)科，教學(xué)內(nèi)容中概念較多，上課時(shí)教師必須注重它的文字講解和邏輯推導(dǎo)，但這樣將導(dǎo)致課堂教學(xué)枯燥乏味，學(xué)生很容易喪失學(xué)習(xí)興趣，最終難以達(dá)到預(yù)期的教學(xué)效果.為了解決這個(gè)問(wèn)題，教師在教學(xué)時(shí)首先應(yīng)注意面部表情和肢體語(yǔ)言，良好的表情與肢體語(yǔ)言的引導(dǎo)能夠使學(xué)生感到輕松、愉悅;其次，學(xué)科背景、實(shí)際問(wèn)題和趣味問(wèn)題的選取，也會(huì)激發(fā)學(xué)生的興趣.因此，如果把握好每個(gè)概念觸發(fā)興趣的契機(jī)，學(xué)生學(xué)習(xí)的效果就有了極大的保障.另外，實(shí)際問(wèn)題或趣味問(wèn)題的選取，會(huì)給學(xué)生愉悅的感受.

（三）從直觀(guān)到抽象，由特殊到一般

要給出數(shù)列極限的定義時(shí)，可先引出以下問(wèn)題：一根1 m 長(zhǎng)的木棒第一次平分后，變成兩個(gè)長(zhǎng)度為1 2 m的木棒;第二次平分，其長(zhǎng)度為1 22 m，第三次平分，其長(zhǎng)度為1 23 m，如此持續(xù)平分下去，我們可知，隨著平分的次數(shù)增加，木棒長(zhǎng)度越來(lái)越小以至于趨向于0，從純數(shù)學(xué)的角度來(lái)說(shuō)就得出一列數(shù)字為：1 2，1 22，1 23，…，1 2n，….隨著自然數(shù)的增加，此數(shù)列趨向于0，從而可以引出數(shù)列極限的定義為：設(shè) {xn}為一數(shù)列，如果存在常數(shù)a，對(duì)任意給定的正數(shù)ε（不論它多么?。偞嬖谡麛?shù)N，使得當(dāng)n>N時(shí)，不等式|xn-a|<ε都成立，那么就稱(chēng)常數(shù)a是數(shù)列{xn}的極限，或者稱(chēng)數(shù)列{xn}收斂于a，記為 limn→∞xn=a.

（四）引經(jīng)據(jù)典，由淺入深

要給出導(dǎo)數(shù)的定義時(shí)，可先引出以下問(wèn)題：在自由落體運(yùn)動(dòng)中，設(shè)在時(shí)間t下落的距離為s，則有公式s=〖SX（〗1 2gt2，其中g(shù)是固定的重力加速度，要求物體在t0的瞬時(shí)速度，可以先求平均速度，即用下落距離的改變量除以時(shí)間的改變量：

所求量為函數(shù)增量與自變量增量之比的極限.類(lèi)似問(wèn)題還有：加速度是速度增量與時(shí)間增量之比的極限，角速度是轉(zhuǎn)角增量與時(shí)間增量之比的極限，線(xiàn)密度是質(zhì)量增量與長(zhǎng)度增量之比的極限，電流強(qiáng)度是電量增量與時(shí)間增量之比的極限，提出這些問(wèn)題的共性就可以引出導(dǎo)數(shù)的定義為：設(shè)函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)有定義，若 存在，則稱(chēng)函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，并稱(chēng)此極限為y=f（x）在點(diǎn)x0的導(dǎo)數(shù)，從而可知物體在t0的瞬時(shí)速度為下落的距離函數(shù)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù).

（五）創(chuàng)新教學(xué)模式，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力

傳統(tǒng)的教學(xué)模式已經(jīng)不能滿(mǎn)足這一代的年輕人了，教師也發(fā)現(xiàn)課上太多學(xué)生玩手機(jī)、不聽(tīng)課，最大的原因就是學(xué)生對(duì)所學(xué)內(nèi)容不感興趣，因此，需要教師創(chuàng)新教學(xué)模式.在教學(xué)過(guò)程中，教師可以采用多樣化的教學(xué)模式，例如，問(wèn)題驅(qū)動(dòng)型教學(xué)模式，其教學(xué)效果良好.教師可以課前提出問(wèn)題，以小組合作為單位，布置預(yù)習(xí)任務(wù)，指導(dǎo)學(xué)生課外搜索相關(guān)資料，對(duì)資料進(jìn)行分析和歸納.課堂上，教師可以圍繞該知識(shí)點(diǎn)提出問(wèn)題，學(xué)生通過(guò)查找資料、認(rèn)真思考等過(guò)程解決問(wèn)題.在這一過(guò)程中，教師要不斷激發(fā)學(xué)生的求知欲，使學(xué)生從被動(dòng)學(xué)習(xí)變?yōu)橹鲃?dòng)學(xué)習(xí).例如，在講解“定積分”時(shí)，筆者給學(xué)生布置了一項(xiàng)任務(wù)：如何求曲邊梯形的面積？

課后有很多學(xué)生把思路發(fā)給筆者，也有學(xué)生覺(jué)得這是不可能的.到下一次課的時(shí)候，筆者用問(wèn)題引入的方式來(lái)講解.講解這個(gè)例子的時(shí)候不僅讓學(xué)生學(xué)會(huì)用簡(jiǎn)單的方法求出了曲邊梯形的面積，更重要的是引出了定積分的概念，讓學(xué)生知道定積分其實(shí)可以求曲邊梯形的面積，從而強(qiáng)化了學(xué)生的理解能力.

三、熟練掌握抽象的概念和公式

（一）根據(jù)教材的內(nèi)在聯(lián)系，優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容

“高等數(shù)學(xué)”教材，因?yàn)槊嫦虻氖菑V大學(xué)生，因此，非常重視基礎(chǔ)知識(shí)部分.在教學(xué)過(guò)程中對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)講解過(guò)多，可能造成浪費(fèi)學(xué)時(shí)的現(xiàn)象，從而導(dǎo)致教學(xué)效率低下.因此，根據(jù)教材的內(nèi)在聯(lián)系，優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容，是提高教學(xué)效率的有效途徑.數(shù)學(xué)是一門(mén)邏輯性強(qiáng)、內(nèi)容間聯(lián)系緊密的課程，學(xué)生抓住這個(gè)特點(diǎn)能更好地掌握所學(xué)內(nèi)容，熟練應(yīng)用概念和公式來(lái)解決問(wèn)題.例如，教師在講解函數(shù)極限、導(dǎo)數(shù)、不定積分、定積分、特別是重積分等概念之后提出思考問(wèn)題：這些概念的內(nèi)在聯(lián)系是什么？它們有哪些共性、區(qū)別？在學(xué)生做出解答以后，教師再引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)這些基本概念的定義和計(jì)算方法，通過(guò)比較共性和找出區(qū)別也達(dá)到了預(yù)期的教學(xué)目的，同時(shí)還能鍛煉學(xué)生的發(fā)散性思維和邏輯思維能力.

“高等數(shù)學(xué)”中的內(nèi)容內(nèi)在聯(lián)系緊密，例如，函數(shù)極限、導(dǎo)數(shù)、不定積分、定積分、特別是重積分等概念都有密切的內(nèi)在聯(lián)系，一般情況下前者是后者的基礎(chǔ)，后者是前者內(nèi)容的延拓或應(yīng)用、深入展開(kāi).所以，講新內(nèi)容時(shí)先回顧之前所學(xué)的有關(guān)內(nèi)容，讓學(xué)生感覺(jué)所講內(nèi)容并不陌生，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

（二）公式的應(yīng)用應(yīng)該抓住特點(diǎn)靈活運(yùn)用

“高等數(shù)學(xué)”中有很多公式，我們不能通過(guò)死記硬背公式來(lái)掌握與應(yīng)用，否則已經(jīng)產(chǎn)生記憶的公式很容易忘記或者無(wú)法應(yīng)用公式來(lái)解決問(wèn)題.而公式的應(yīng)用應(yīng)該抓住其特點(diǎn)靈活運(yùn)用.例如，兩個(gè)重要極限為

（三）引入案例教學(xué)法

案例教學(xué)法是指教師在授課過(guò)程中能夠舉出一些典型案例去解決生活、管理、經(jīng)濟(jì)等實(shí)際問(wèn)題.只有當(dāng)數(shù)學(xué)問(wèn)題和實(shí)際問(wèn)題聯(lián)系在一起時(shí)，學(xué)生才能體會(huì)數(shù)學(xué)是有用的，才能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.不過(guò)，案例教學(xué)法實(shí)施起來(lái)還是有困難的，需要教師有扎實(shí)的數(shù)學(xué)功底和專(zhuān)業(yè)背景，要求學(xué)生要去多觀(guān)察、多發(fā)現(xiàn)本專(zhuān)業(yè)的一些實(shí)例，結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)構(gòu)造問(wèn)題，從而讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的有用之處.接下來(lái)介紹一個(gè)具體的案例教學(xué)法，此例子是針對(duì)經(jīng)管類(lèi)學(xué)生提出的，讓學(xué)生明了“不同計(jì)息方式所得利息不同”，推出連續(xù)復(fù)利并加深重要極限的理解.

“高等數(shù)學(xué)”課上使用案例教學(xué)法是非常有必要的，它不僅可以影響學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，也可能影響教師本身的發(fā)展.所以教師有必要收集一些數(shù)學(xué)教學(xué)案例，也可以建立一個(gè)案例庫(kù)，這些措施可以極大地推進(jìn)案例教學(xué)的實(shí)施和開(kāi)展.“高等數(shù)學(xué)”的教學(xué)教法有很多，本文只介紹了從教學(xué)模式方面去介紹“高等數(shù)學(xué)”教師如何教學(xué).在當(dāng)今高速發(fā)展的信息時(shí)代，教師應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力、數(shù)學(xué)應(yīng)用能力和數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力.對(duì)學(xué)生，不管用什么樣的教學(xué)方法，最終目的是社會(huì)需要什么樣的人才，就應(yīng)在教學(xué)中著重培養(yǎng)什么樣的人才.

（四）精選例題法

抽象的概念或公式即使講得再深刻、再透徹，也難以使學(xué)生迅速地消化吸收.因此，教師應(yīng)通過(guò)課堂舉例這一教學(xué)手段幫助學(xué)生鞏固新知識(shí).恰當(dāng)、適時(shí)和具有啟發(fā)性的例子是課堂教學(xué)的關(guān)鍵，這樣的例子能開(kāi)闊學(xué)生的思路，加速其對(duì)新概念的吸收和消化.相反，課堂教學(xué)過(guò)程中不顧對(duì)象、脫離實(shí)際的例子則會(huì)使學(xué)生摸不著頭腦，不利于學(xué)生理解概念和公式，所以如何配合內(nèi)容精選例題值得教師注意.

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