“一元”升至“二元”“二元”回歸“一元”

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在七年級(jí)上學(xué)期，我們學(xué)習(xí)了“第4章 一元一次方程”，由此拉開了初中代數(shù)“方程”板塊的序幕。在本學(xué)期，我們又開始學(xué)習(xí)“第10章 二元一次方程組”，顯然本章是一元一次方程內(nèi)容的延續(xù)，當(dāng)然也是后續(xù)方程知識(shí)的前奏和基礎(chǔ)。方程是初中非常重要的代數(shù)核心知識(shí)，可以看成是獨(dú)立的一個(gè)知識(shí)板塊，也可以看成是數(shù)與式的運(yùn)用。全面整體認(rèn)識(shí)“二元一次方程組”，既有利于提高對(duì)一元一次方程的認(rèn)識(shí)，又能為后續(xù)方程學(xué)習(xí)奠定扎實(shí)的基礎(chǔ)。

一、對(duì)方程定義的再認(rèn)識(shí)

含有未知數(shù)的等式叫作方程。只含有一個(gè)未知數(shù)（元），并且未知數(shù)的次數(shù)都是1（次），像這樣的方程叫作一元一次方程。從一元一次方程的定義可以看出，方程的名稱是由“元”和“次”來確定的。當(dāng)“元”（也就是未知數(shù)的個(gè)數(shù)）增加，“次”不增加時(shí)，就會(huì)得到二元一次方程、三元一次方程、……、n元一次方程。顯然，二元一次方程就是在一元一次方程的基礎(chǔ)上增加了一個(gè)元，不增加次。當(dāng)“次”（也就是未知數(shù)的最高次數(shù)）增加，“元”不增加時(shí)，就會(huì)得到一元二次方程、一元三次方程、……、一元n次方程，而一元二次方程就是在一元一次方程的基礎(chǔ)上增加了次，不增加元的產(chǎn)物，也是后面九年級(jí)我們要研究的內(nèi)容。如果給出一個(gè)二元二次方程、……、n元n次方程，通過以上的分析，你一定可以理解這是怎樣的一個(gè)方程。

二、對(duì)方程解法的再認(rèn)識(shí)

對(duì)于一元一次方程，我們通過“去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1”等基本步驟，可以求出方程的解，并且我們發(fā)現(xiàn)，一般的一元一次方程有一個(gè)唯一的解。對(duì)于二元一次方程，我們發(fā)現(xiàn)，由于方程中有兩個(gè)未知數(shù)，它們之間相互制約，結(jié)果一個(gè)二元一次方程有無數(shù)個(gè)解，這就預(yù)示著二元一次方程的解具有不確定性，而這不是數(shù)學(xué)和生活中希望出現(xiàn)的現(xiàn)象。為了使方程的解由無限變成有限，由有限再到唯一，于是，就把兩個(gè)方程放在一起組成二元一次方程組。此時(shí)我們發(fā)現(xiàn)，二元一次方程組一般情況下有唯一的解。同理，數(shù)學(xué)上還會(huì)出現(xiàn)三元一次方程組、n 元一次方程組，感興趣的同學(xué)可以對(duì)此進(jìn)行深究。

三、對(duì)方程組消元的再認(rèn)識(shí)

如果說，從一元一次方程到二元一次方程（組），是從“一元”上升到“二元”，那么二元一次方程組的“代入法”和“加減法”的消元解法，實(shí)際上就是從“二元”回歸“一元”。換言之，就是把新的二元一次方程組化歸到舊的一元一次方程。轉(zhuǎn)化、化歸，這是數(shù)學(xué)的精華，把復(fù)雜的轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的，把新知識(shí)轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學(xué)過的舊知識(shí)。由此可以看出，對(duì)于解三元一次方程組，可以先消去一元變成二元一次方程組，再消去一元變成一元一次方程。這樣對(duì)于解方程組的問題，我們的思路就非常明確了，就是通過不斷地“消元”，從三元變成二元，從二元變成一元，最后化歸到最簡(jiǎn)單和最特殊的一元一次方程。那么，對(duì)于增加了次數(shù)的方程如何來解呢？聰明的你一定會(huì)想到，那就是“降次”。把高次的逐步降成低次，三次的降成二次，二次的降成一次，這樣，一個(gè)一元高次方程最后也化歸成最簡(jiǎn)單和最特殊的一元一次方程。

四、對(duì)方程單元的再認(rèn)識(shí)

回顧已經(jīng)學(xué)習(xí)過的一元一次方程這章的內(nèi)容，我們分別學(xué)習(xí)了一元一次方程和解的定義、一元一次方程的解法、一元一次方程的應(yīng)用三大塊內(nèi)容?，F(xiàn)在再來看本章學(xué)習(xí)的軌跡就非常清晰了，首先我們學(xué)習(xí)了二元一次方程和解的定義，接著學(xué)習(xí)二元一次方程的解法，發(fā)現(xiàn)它的解有無數(shù)個(gè)，具有不確定性，于是我們又學(xué)習(xí)二元一次方程組和解的定義，再學(xué)習(xí)二元一次方程組的消元解法，最后學(xué)習(xí)二元一次方程組的應(yīng)用。我們發(fā)現(xiàn)解法和應(yīng)用是每一個(gè)方程單元的重點(diǎn)核心內(nèi)容，尤其是在解方程的基礎(chǔ)上的方程應(yīng)用，是體現(xiàn)學(xué)以致用、數(shù)學(xué)價(jià)值的內(nèi)容，必須引起我們的高度重視。

五、對(duì)方程建模的再認(rèn)識(shí)

方程是解決現(xiàn)實(shí)世界中具有數(shù)量相等關(guān)系的生活問題的一個(gè)重要模型。一元一次方程重點(diǎn)解決具有一個(gè)等量關(guān)系的生活問題，二元一次方程組重點(diǎn)解決具有兩個(gè)等量關(guān)系的生活問題，其他方程以此類推。怎樣把實(shí)際問題變成方程問題呢？這就是數(shù)學(xué)中的方程建模。具體流程如下：把“實(shí)際問題”變成一個(gè)“數(shù)學(xué)問題”;把“數(shù)學(xué)問題”變成一個(gè)“方程問題”（一元一次方程或二元一次方程組）;求出“方程（組）問題的解”;檢驗(yàn)這個(gè)解是否符合實(shí)際問題，進(jìn)而得到“實(shí)際問題的解”，從而解決實(shí)際問題。建立方程模型的標(biāo)志之一是實(shí)際問題中必須含有數(shù)量的相等關(guān)系。當(dāng)然，如果出現(xiàn)的數(shù)量關(guān)系是不等關(guān)系，那就要用到我們接下來要學(xué)習(xí)的“不等式”的知識(shí)板塊了。

對(duì)于方程，我國古代很早就有人研究。方程這個(gè)名詞，最早見于我國古代算書《九章算術(shù)》。在公元前一世紀(jì)的時(shí)候已有多元方程組、一元二次方程及不定方程等幾種?？梢?，對(duì)方程的研究從古到今從未停止過。現(xiàn)在我們可以把方程看成是表達(dá)數(shù)量之間相等關(guān)系的“天平”，也可以把方程看成是“未知”中的“已知”。雖然我們?cè)跊]有求解方程之前看到的是未知數(shù)，但事實(shí)上，這個(gè)未知數(shù)是一個(gè)早就確定的已知數(shù)。在方程板塊知識(shí)中還有很多有趣、有用、有挑戰(zhàn)性的問題，如費(fèi)馬大定理等，有志勇攀數(shù)學(xué)高峰的同學(xué)不妨去探究一番。

（作者單位：江蘇省無錫市新吳區(qū)教師發(fā)展中心）