基于蒙特卡羅法的沖擊力溯源系統(tǒng)不確定度評定

江文松, 王中宇, 羅 哉, 張 力, 胡曉峰

(1. 中國計量大學 計量測試工程學院, 浙江 杭州 310018;2. 北京航空航天大學 儀器科學與光電工程學院, 北京 100191;3. 北京長城計量測試技術研究所, 北京 100095)

1 引 言

沖擊力溯源是通過一條具有規(guī)定不確定度的不間斷的比較鏈,使測量的沖擊力能夠與規(guī)定參考值聯(lián)系起來的特性。沖擊力溯源技術被廣泛地應用于航空發(fā)動機推力監(jiān)測、航天器機翼載荷識別、汽車零部件性能檢測、列車受電弓沖擊試驗、武器殺傷力評估等沖擊載荷高精度測量及力傳感器動態(tài)校準領域。作為力學量計量的核心,沖擊力溯源是儀器設備性能可靠、工作穩(wěn)定和數(shù)據(jù)準確的關鍵,并逐漸成為國際質量基礎研究科學的熱點問題之一[1～3]。沖擊力溯源系統(tǒng)的測量不確定度來源于直接或間接測量過程,其中,直接測量過程是通過動態(tài)力值實現(xiàn)溯源的,間接測量過程是通過質量、加速度、位移和時間實現(xiàn)溯源的。通常利用測量不確定度表示指南(GUM)對這些測量量通過數(shù)值計算就能估計沖擊力溯源系統(tǒng)的不確定度。但是,由于該溯源系統(tǒng)具有復雜的表征模型和未知的樣本分布,GUM很難通過數(shù)值計算提高評定效率,也很難保證評定結果的準確可靠[4]。為此,Kumar G.提出了基于模糊邏輯推理的不確定度評定方法,解決參數(shù)未知、描述模糊和強非線性等知識模型的不確定性量化問題[5]。為了改善樣本分布復雜和信息未知的影響,王中宇等將灰關聯(lián)模型和自助熵理論引入復雜模型的不確定度評定上[6,7]。由于蒙特卡羅法(Monte Carlo method, MCM)不易受樣本空間和模型非線性的影響,被用于復雜傳遞模型的不確定度評定[8～10]。盡管如此, MCM在模擬次數(shù)的確定和迭代停止條件的設計鮮有研究,影響不確定度的評定精度和效率。

本文利用蒙特卡羅方法對沖擊力溯源系統(tǒng)進行測量不確定度的評定,主要包括沖擊力溯源的表征、不確定性分量的表征和不確定度建模過程,通過設計沖擊力溯源實驗實現(xiàn)測量不確定度的MCM評定。

2 沖擊力溯源的表征

溯源的沖擊力是由落錘自由碰撞產生的,通常會以半正弦脈沖信號表現(xiàn)出來,如圖1所示。

圖1 沖擊力的測量模型

沖擊力的測量模型可以表征為[11]:

(1)

式中:F為溯源的沖擊力;m1為落錘的質量;aequ(t)為落錘的等效加速度;a(xi,yi,t)為t時刻落錘上表面測點p(xi,yi)的加速度,采用激光外差干涉儀實時采集;n為落錘上表面測點p(xi,yi)的數(shù)量;ω0為沖擊時初始角頻率,與沖擊信號的脈寬有關;E為落錘的楊氏模量,選鑄鋼材料時取198×109Pa;ρ為落錘的材料密度,取7.8×103kg/m3;h為落錘下落高度。

式(1)所示沖擊力測量模型可簡化為:

(2)

3 測量不確定度的MCM評定

3.1 不確定性分量的表征

由式(2)可知,沖擊力溯源的不確定度既來源于力值發(fā)生裝置,也來源于質量和加速度的測量過程。據(jù)此分析可知溯源系統(tǒng)的不確定度主要由落錘有效碰撞質量的測量誤差、激光光軸與運動方向的不重合誤差、激光外差干涉儀的測量誤差、落錘的加速度分布不均勻、落錘的橫向偏擺等引起。分別對這些誤差項引起的不確定度進行建模。

3.1.1 有效碰撞質量誤差

有效碰撞質量是由落錘產生,它可通過電子天平測量。選取的電子天平測量精度為±0.02 g(k=2)時,落錘質量示值誤差Δm的標準差可表示為:

(3)

(4)

3.1.2 激光光軸與運動方向不重合

在理想的測量條件下,激光光軸與落錘的運動方向(即鉛垂線方向)需要嚴格平行。受二維平臺移動步距的限制,激光光軸與鉛錘線方向之間會產生一個夾角γ,使激光光軸與運動方向不重合,如圖2所示。

設激光外差干涉儀與落錘上表面測點之間的絕對測量距離為L,激光外差干涉儀測頭與測點之間的垂直距離為Lcosγ。此時,落錘表面時變位移的測量誤差為:

ΔL=L(1- cosγ)

(5)

在連續(xù)的時間歷程上,沖擊加速度是通過時變位移的二階微分得到:

(6)

式中:L(t)為時變位移量;a(t)為沖擊加速度。根據(jù)誤差的傳遞關系,時變位移誤差引起的加速度測量誤差可以表示為:

Δaγ=1- cosγ

(7)

圖2 激光光軸與鉛垂線方向不重合模型

激光光軸與運動方向的夾角γ引起的測量誤差服從投影分布,當二維平臺對激光外差干涉儀的角度調整精度在[-0.002 9,0.002 9] rad區(qū)間時,加速度誤差Δaγ的PDF服從投影分布,即:

(8)

此時的加速度誤差Δaγ的期望和方差分別為:

(9)

3.1.3 激光外差干涉儀的測量誤差

選用Polytec PSV-400型激光外差干涉儀,受到干涉儀靈敏度校準誤差、線性度校準誤差和采樣時間誤差等的綜合影響,加速度的測量誤差為0.2%(k=2),由加速度測量誤差ΔaLDI引起的相對不確定度為:

(10)

因此,加速度測量不確定度滿足均勻分布R[-0.1×10-2,0.1×10-2]。

3.1.4 落錘的加速度分布不均勻

在溯源時,通過測量落錘上表面5個均布測點的加速度并進行10次重復測量實驗,就能求得落錘撞擊時的加速度分布不均勻度。此時,落錘的加速度分布不均勻度χa(x,y,t)為:

(11)

式中:a(0,0)為同次測量時上表面中心點的加速度;n為上表面測點的數(shù)量。

3.1.5 落錘的橫向偏擺

在沖擊力溯源過程,落錘在非共振頻率點的橫向偏擺要求Txy-z≤5%,在共振頻率點的橫向偏擺要求Txy-z≤10%。相應地,落錘橫向偏擺引起的加速度測量不確定度為:

(12)

一般地,溯源過程只考慮落錘在非共振頻率點的橫向偏擺,此時的加速度測量不確定度服從均勻分布R[-0.125×10-2,0.125×10-2]。

3.1.6 落錘的尺寸測量誤差

利用示值最大測量誤差為±0.07 mm(k=2)的游標卡尺測量落錘的下落高度h時,示值誤差Δh的標準差為0.7×10-4h/2。尺寸測量的誤差滿足正態(tài)分布N(0,(0.35×10-4·h)2)。

3.1.7 電壓測量誤差

在加速度測量時,激光外差干涉儀輸出的是表示位移的電壓信號,當采用12位數(shù)據(jù)采集卡測量時,電壓輸出波形的測量及其二次微分的誤差Δu為0.1%(k=2),由此引起不確定度為:

(13)

因此,電壓測量不確定度滿足均勻分布R[-0.05×10-2,0.05×10-2]。

3.2 不確定度評定模型

沖擊力溯源系統(tǒng)的表征模型中7個輸入量可以表示為向量x=(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)=(Δm, Δaγ, ΔaLDI,χa,δxy-z, Δh, Δu)的形式。在置信概率p確定的情況下,抽樣次數(shù)Mmc滿足如式(14)所示關系[12～15]。

(14)

實際上,抽樣次數(shù)Mmc的選擇對沖擊力溯源的不確定度評定至關重要:樣本容量越大,迭代結果越穩(wěn)定,越能反映輸入量的總體分布。為了使溯源表征模型輸入量的樣本分布最佳逼近其總體分布,將M0作為初始抽樣次數(shù),利用相鄰迭代次數(shù)之間的相對誤差作為適應度函數(shù),即

(15)

然后,利用基于梅森旋轉算法(Mersenne twister)的偽隨機數(shù)生成技術,分別對具有不同樣本PDF的分量進行Mmc次抽樣。抽樣后的輸入量可以表示為如下的矩陣形式:

(16)

式中:X(Mmc)×7為一個(Mmc)×7的矩陣,其每一列中的所有元素是該列輸入量經過Mmc次模擬后抽取的樣本。當抽樣次數(shù)為r時,模擬輸出的沖擊力F(xr)為:

F(xr)=F(x1,r,x2,r,x3,r,x4,r,x5,r,x6,r,x7,r)

(17)

式中r=1,2,…,Mmc。根據(jù)式(17)就能模擬出沖擊力溯源系統(tǒng)的測量不確定度。

4 實驗與不確定度評定

4.1 沖擊力溯源裝置的工作原理

利用一套沖擊力溯源系統(tǒng)驗證上述模型的有效性。它主要由砧體底座、導軌、錘架、隔振基座、彈簧減震器、力傳感器、落錘、激光外差干涉測振儀、二維移動平臺和測量支架組成,如圖3所示。

圖3 沖擊力溯源系統(tǒng)原理圖

力傳感器安裝在砧體底座上,正面接受落錘施加的沖擊力。落錘在自由落體過程的運動參量通過激光外差干涉測量系統(tǒng)采集。激光外差干涉測量系統(tǒng)主要由測量支架、二維移動平臺和激光外差干涉測振儀等設備組成。

沖擊力溯源主要包括3步:首先,懸掛在錘架上的落錘沿著導軌提升至預設高度。然后,錘架從導軌上釋放并跟隨落錘一起沿鉛垂線方向自由下落,錘架砸落到彈簧減震器之后便懸停并與落錘分離。最后,落錘繼續(xù)下落并撞擊到砧體底座上的力傳感器產生沖擊力。

為了降低落錘橫向偏擺引起的加速度分布不均,在落錘上表面選取均勻分布的5個點作為加速度的測點。其中,中心點P0位于落錘的表面圓心,其它4個測點與中心點的直線距離均為20.0 mm,如圖4所示。利用激光外差干涉測量系統(tǒng)同時采集上述5個均勻分布測點的加速度并計算各點的加速度峰值,如表1所示。

圖4 落錘上表面加速度的測量點分布

根據(jù)表1的計算結果可以看出,落錘上表面加速度幅值不均勻度的均值為0.789%,標準差為0.065%,可見落錘的加速度分布不均勻度的震蕩區(qū)間有限。由式(11),加速度幅值不均勻度引起的不確定度服從均勻分布R[-0.789×10-2,0.789×10-2]。

4.2 溯源沖擊力的測量不確定度評定

根據(jù)MCM評定方法,將沖擊力測量模型中各不確定變量作為模型的輸入,建立輸入量的分布及特征值表征關系。利用上述測量結果計算輸入量的概率分布及其特征值,如表2所示。

選取置信概率p=95%,此時抽樣次數(shù)應滿足

Mmc>M0=2×105

將M0作為初始迭代次數(shù),迭代預設精度取0.001 N,根據(jù)式(15)中的適應度函數(shù)進行迭代抽樣,統(tǒng)計出樣本量穩(wěn)定時的抽樣結果,如圖5所示。

表1 落錘上表面的加速度峰值

表2 沖擊力溯源表征模型的輸入量分布及特征值

注:μ為期望值;σ為標準差;A為樣本區(qū)間上界;B為樣本區(qū)間下界。

圖5 樣本空間的抽樣迭代過程

由圖5可以看出適應度函數(shù)經過1193次抽樣后快速下降趨穩(wěn);當樣本量達到2.13×105次時,適應度函數(shù)已經滿足預設精度要求,為了使樣本統(tǒng)計結果更為穩(wěn)定,本文選取抽樣次數(shù)為4×105次。

模型經過Mmc次抽樣,就能統(tǒng)計出各相互獨立的輸入量對應PDF的樣本直方圖,如圖6所示。

將式(16)中每次抽取的樣本代入式(2)的沖擊力測量模型,就能模擬出該次抽樣的輸出沖擊力。將各輸入量的概率密度函數(shù)代入式(17),求出輸出量F的估計值分布及其樣本統(tǒng)計直方圖,如圖7所示,可見,輸出量的樣本近似對稱分布。

圖6 沖擊力溯源表征模型的輸入量樣本直方圖

圖7 輸出沖擊力的估計值及樣本直方圖

(18)

由輸出估計樣本的近似對稱分布,可求的擴展不確定度Up為:

(19)

式中:F′為F(xr)經過升序重排后的新序列;p為置信概率。利用式(19)可求得p=95%時的擴展不確定度U0.95=46.685 N。

相對擴展不確定度Urel為:

(20)

在對沖擊力溯源系統(tǒng)進行測量不確定度評定時,當撞擊面處的Kistler9331B力傳感器輸出峰值為5 689.894 N的沖擊力時,對應測量不確定度的評定結果如表3所示。

表3 沖擊力溯源系統(tǒng)的測量不確定度MCM評定結果

根據(jù)輸入量的樣本分布和MCM評定結果可知,沖擊力溯源系統(tǒng)的不確定度主要是由落錘上表面加速度分布不均勻和橫向偏擺引起。在進行沖擊力溯源時,通過改善落錘上表面加速度分布的均勻性和降低落錘沖擊過程的橫向偏擺,均能較好地提高溯源精度。MCM法通過適應度函數(shù)直接判定最優(yōu)抽樣次數(shù),計算時間為0.077 s。

5 結 論

沖擊力溯源系統(tǒng)的不確定度評定是動態(tài)力計量體系的關鍵技術,本文主要研究結論如下:1)利用MCM方法對動態(tài)力溯源系統(tǒng)進行不確定度評定,在95%的置信水平下,沖擊力溯源系統(tǒng)的相對擴展不確定度優(yōu)于0.818%。評定結果表明,沖擊力溯源系統(tǒng)的不確定度主要來源于落錘上表面加速度分布不均勻和橫向偏擺。2)本文建立的MCM方法是對沖擊力溯源系統(tǒng)測量不確定度評定的有效嘗試和補充。