一類具有高危人群及醫(yī)院治療的模型分析*

李文智， 薛亞奎

(中北大學(xué) 理學(xué)院，山西 太原 030051)

1 引 言

縱觀人類歷史，傳染病一直是危害人類生存與發(fā)展的巨大挑戰(zhàn).目前，人類對(duì)于傳染病的預(yù)防以及治療都有了很大的進(jìn)步，但傳染病的突發(fā)性是不可預(yù)測(cè)的，所以仍要保持高度警惕.對(duì)于某些傳染病而言，易感者中會(huì)存在患病風(fēng)險(xiǎn)更高的職業(yè)，這類人群就是傳染病的高危人群.如非典時(shí)期，一線的醫(yī)護(hù)人員就是一類高危人群[1]；又如在布魯氏菌病的傳播中，獸醫(yī)也是易受感染的高危險(xiǎn)人群[2].

1927年Kermack和Mckendrick提出了用動(dòng)力學(xué)方法來(lái)研究流行病的傳播[3].此后，根據(jù)流行病的特點(diǎn)，建立不同的數(shù)學(xué)模型，再現(xiàn)疾病流行的規(guī)律，為疾病流行狀況的預(yù)測(cè)和防治策略提出了理論依據(jù)[4-7].近年來(lái)，許多作者研究了常微分方程的流行病學(xué)模型，這些系統(tǒng)的重要研究主題是閾值的存在(該閾值可區(qū)分傳染病是否會(huì)消亡)，無(wú)病平衡點(diǎn)和地方平衡點(diǎn)的局部和全局穩(wěn)定性，周期解的存在，持久性和疾病的滅絕[8-11].由于易感者中存在某些特定職業(yè)的高危人群，因此通過(guò)將易感人群分類來(lái)建立數(shù)學(xué)模型，可以更好地分析某些傳染病的流行規(guī)律.本文劃分易感者中的高危人群和低危人群，且考慮患者存在接受醫(yī)院治療或通過(guò)體內(nèi)抗體等因素自然抵抗疾病的情況，研究在飽和治療率內(nèi)的醫(yī)院治療對(duì)于疾病傳播控制的影響.

2 模型的建立

通過(guò)對(duì)易感者分類為高危人群和低危人群，把疾病流行區(qū)域的人口總數(shù)N(t)分為五類：高危易感者S1(t)、低危易感者S2(t)、潛伏者E(t)、感染者I(t)和恢復(fù)者R(t)，所以

N(t)=S1(t)+S2(t)+E(t)+I(t)+R(t)

建立的傳染病模型為

(1)

由于模型(1)的其他方程均不含有R,所以只需要以下的子系統(tǒng)

(2)

其中Λ表示人群的輸入率；μ表示人類的自然死亡率；β1表示低危易感者與染病者接觸的感染率；β2表示高危易感者與染病后死亡者接觸的感染率；σ表示低危易感者轉(zhuǎn)換為高危易感者的轉(zhuǎn)化率；δ表示高危易感者轉(zhuǎn)換為低危易感者的轉(zhuǎn)化率；ε表示潛伏期的爆發(fā)率；γ表示染病者的自然恢復(fù)率；α表示感染者的因病死亡率；k為治愈率，一般k>0.

3 基本再生數(shù)和平衡點(diǎn)存在性

(3)

εE*-αI*-μI*-γI*-kI*=0

整理求得

P(I*)=AI*2+BI*+C=0

其中

則可得下列關(guān)于平衡點(diǎn)的存在性的結(jié)果：

1)若R0>1(此時(shí)C<0)，則模型存在唯一的地方病平衡點(diǎn)；

2)若R0>1,且B<0,則模型存在兩個(gè)地方病平衡點(diǎn)；

3)若B<0,且R0=1時(shí)，模型存在唯一的地方病平衡點(diǎn).

4 平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

定理4.1 如果R0<1,模型(2)的無(wú)病平衡點(diǎn)P0在Γ內(nèi)是全局漸近穩(wěn)定的；如果R0>1,無(wú)病平衡點(diǎn)P0是不穩(wěn)定的.

證明：模型(2)在無(wú)病平衡點(diǎn)P0處的線性化系統(tǒng)的Jacobian矩陣為：

對(duì)應(yīng)的特征方程為：

其他根的特征方程簡(jiǎn)記為

其中

由此可得，當(dāng)R0<1時(shí)，λ3和λ4都為負(fù)，系統(tǒng)(2)在無(wú)病平衡點(diǎn)P0處是局部漸近穩(wěn)定的；當(dāng)R0>1時(shí)，解存在正根，系統(tǒng)(2)的無(wú)病平衡點(diǎn)不穩(wěn)定.

構(gòu)造Lyapunov函數(shù)：

對(duì)V關(guān)于模型(2)求導(dǎo)：

系統(tǒng)(2)在無(wú)病平衡點(diǎn)處可知

定理4.2 如果R0>1,系統(tǒng)(2)的地方病平衡點(diǎn)P*在Γ內(nèi)是全局漸近穩(wěn)定的.

證明：模型(2)在地方病平衡點(diǎn)P*=(S*,E*,I*,D*)處的線性化系統(tǒng)的Jacobian矩陣為：

特征方程簡(jiǎn)記為λ4+a1λ3+a2λ2+a3λ+a4=0,地方病平衡點(diǎn)P*是局部漸近穩(wěn)定的，當(dāng)且僅當(dāng)特征方程的所有特征根具有負(fù)實(shí)部，根據(jù)Routh-Hurwitz判據(jù)，若Hk>0,特征方程的所有特征根均具有負(fù)實(shí)部.

其中

a1=(β1I*+σ+μ)+(β2I*+δ+μ)+(ε+μ)+(α+μ+γ+k)

a2=(α+μ+γ+k)(ε+μ)+(α+μ+γ+k)(β1I*+σ+μ)+(α+μ+γ+k)(β2I*+δ+μ)+

(ε+μ)(β1I*+σ+μ)+(ε+μ)(β2I*+δ+μ)+(β1I*+σ+μ)(β2I*+δ+μ)-δσ-

a3=(β1I*+σ+μ)(ε+μ)(α+μ+γ+k)+(α+μ+γ+k)(β2I*+δ+μ)(ε+μ)+

(α+μ+γ)(β1I*+σ+μ)(β2I*+δ+μ)+(ε+μ)(β1I*+σ+μ)(β2I*+δ+μ)-

με(β1S1*+β2S2*)-εβ1S1*(β2I*+δ+μ)-εβ2S2*(β1I*+σ+μ)-

(α+μ+γ+k)δσ-(ε+μ)δσ

a4=(α+μ+γ+k)(β1I*+σ+μ)(ε+μ)(β2I*+δ+μ)-δσ(α+μ+γ+k)(ε+μ)-

通過(guò)計(jì)算可知

因此R0>1時(shí)，系統(tǒng)的地方病平衡點(diǎn)P*是局部漸近穩(wěn)定的.

構(gòu)造Lyapunov函數(shù)：

當(dāng)f(z)=z-1-lnz,z∈R+,當(dāng)且僅當(dāng)z=1時(shí)f(z)=0

對(duì)L關(guān)于模型(2)求導(dǎo)得：

則通過(guò)替換可求得：

5 數(shù)值模擬和討論

運(yùn)用軟件MATLAB進(jìn)行數(shù)值模擬，考慮不同的醫(yī)院治愈率在平衡點(diǎn)處的穩(wěn)定性，且醫(yī)院治愈率在飽和治愈率內(nèi)，則有以下情形.

(a)k=0.3 (b)k=0.6

圖1 參數(shù)k對(duì)無(wú)病平衡點(diǎn)處穩(wěn)定性的影響

Fig.1 The effect of parameterkon the stability of disease-free equilibrium point

圖1中，(a)為取參數(shù)Λ=10,σ=0.01,α=0.25,γ=0.05,β1=0.005,β2=0.015,μ=0.05,ε=0.02，k=0.3,δ=0.005,無(wú)病平衡點(diǎn)P0在可行域內(nèi)是全局漸近穩(wěn)定的.通過(guò)改變醫(yī)療治愈率(飽和治愈率內(nèi))， 研究其對(duì)穩(wěn)定性的影響.(b)為改變醫(yī)療治愈率，k=0.6,無(wú)病平衡點(diǎn)P0在可行域內(nèi)是全局漸近穩(wěn)定的，R0隨著醫(yī)療治愈率的增加而減小，疾病趨于消亡的時(shí)間也相應(yīng)地縮短.

(a)k=0.3 (b)k=0.6

圖2 參數(shù)k對(duì)地方病平衡點(diǎn)處穩(wěn)定性的影響

Fig.2 The effect of parameterkon the stability of endemic equilibrium point

圖2中，(a)為取參數(shù)Λ=50,σ=0.01,α=0.25,γ=0.05,β1=0.005,β2=0.015,μ=0.05,ε=0.02，k=0.3,δ=0.005,地方病平衡點(diǎn)P*是全局漸近穩(wěn)定的.同樣通過(guò)改變醫(yī)療治愈率影響因子，來(lái)探討其對(duì)傳染病的影響效果.(b)為改變醫(yī)療治愈率，k=0.6,地方病平衡點(diǎn)P0在可行域內(nèi)是全局漸近穩(wěn)定的，R0隨著醫(yī)療治愈率的增加而減小，疾病趨于穩(wěn)定的時(shí)間也相應(yīng)縮短.

6 結(jié) 語(yǔ)

建立了易感者分為高危人群和低危人群的模型，分析其平衡點(diǎn)的存在性和穩(wěn)定性，通過(guò)第二代生成矩陣的方法得到了疾病能否流行的閾值R0,通過(guò)構(gòu)造Lyapunov函數(shù)，并運(yùn)用Lassalle不變性原理，得到以下的兩個(gè)結(jié)論：其一是發(fā)現(xiàn)病毒能否得到有效控制主要由基本再生數(shù)R0決定，而提高醫(yī)療治愈率是控制病毒爆發(fā)的有效途徑，從模型的計(jì)算中可以得到如果R0<1,無(wú)病平衡點(diǎn)P0是全局漸近穩(wěn)定的；如果R0>1,地方病平衡點(diǎn)P*是全局漸近穩(wěn)定的，并通過(guò)數(shù)值模擬，驗(yàn)證了模型的穩(wěn)定性；其二是提高醫(yī)院的醫(yī)療設(shè)備率，增大對(duì)醫(yī)療機(jī)構(gòu)的投資，對(duì)床位以及資源設(shè)施的完善，并且通過(guò)政府的宣傳，加大高危工作人員的防護(hù)措施，減少發(fā)病率，從而減少大規(guī)模的感染發(fā)生.因此，研究具有不同易感人群的傳染病模型對(duì)于預(yù)測(cè)和控制傳染病的流行都有重要的理論價(jià)值和實(shí)際意義.