基于Burg法的城市軌道交通快速線路軌道不平順譜研究

金 鋒,肖 宏,崔旭浩

(北京交通大學(xué) 軌道工程北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100044)

軌道不平順是軌道結(jié)構(gòu)的基本屬性之一，與輪軌間非線性接觸狀態(tài)密切相關(guān)，是線路設(shè)計(jì)的基本輸入?yún)?shù)。截至2019年9月，我國(guó)已有39個(gè)城市開(kāi)通城市軌道交通線路，盡管運(yùn)營(yíng)里程已超過(guò)6 000 km,但至今我國(guó)尚未建立通用的城市軌道交通不平順譜。而根據(jù)新一輪北京軌道交通線網(wǎng)規(guī)劃(2017—2035年),我國(guó)將穩(wěn)步推進(jìn)快速、大規(guī)模修建城市軌道交通線路的步伐?？梢?jiàn)，基于采集的大量軌檢數(shù)據(jù)開(kāi)展城市軌道交通不平順譜研究，不僅重要而且緊迫。

近年來(lái)，隨著城市規(guī)模的不斷擴(kuò)張，部分城市軌道交通線路的速度也大幅提升，其中北京地鐵6號(hào)線的速度最高可達(dá)100 km/h。北京地鐵6號(hào)線首次采用8節(jié)B型地鐵列車并使用接觸網(wǎng)供電方式，是首次采用100 km/h列車的市區(qū)主干線，是第一條采用快慢車且設(shè)置快車越行站的線路。以往城市軌道交通在低速狀態(tài)下可以采用鐵路干線譜、國(guó)外譜等進(jìn)行保守設(shè)計(jì)，然而隨著速度的增加，半徑小、速度高的動(dòng)力特征就愈發(fā)顯著。如果還采用傳統(tǒng)的軌道譜進(jìn)行設(shè)計(jì)，不僅會(huì)引起軌道零部件傷損，如扣件折斷[1]等，嚴(yán)重時(shí)設(shè)計(jì)的線路還會(huì)直接影響列車的運(yùn)營(yíng)安全。因此，對(duì)城市軌道交通快速線進(jìn)行深入研究并建立對(duì)應(yīng)的軌道譜，對(duì)我國(guó)軌道交通建設(shè)具有非常重要的意義。

針對(duì)軌道不平順譜，國(guó)內(nèi)外已開(kāi)展了相關(guān)研究。文獻(xiàn)[2]分析了滬寧線不平順譜的特征，并使用相干分析的方法進(jìn)行了影響車輛加速度不平順因素的辨別。文獻(xiàn)[3]提出一種新的窗函數(shù)，一定程度上緩解了譜估計(jì)過(guò)程中的邊界效應(yīng)。文獻(xiàn)[4]分析了鋼軌接頭處的不平順功率譜，并使用了小波分析方法。文獻(xiàn)[5]通過(guò)對(duì)大量基礎(chǔ)數(shù)據(jù)的總結(jié)提出了中國(guó)干線鐵路通用軌道譜。文獻(xiàn)[6]對(duì)朔黃重載鐵路進(jìn)行了不平順譜的估計(jì)，并使用HHT(Hilbert-Huang Transform)從時(shí)域與頻域上進(jìn)行了軌道不平順?lè)的芰康姆治?。?guó)外譜如美國(guó)六級(jí)譜[7]與德國(guó)干擾譜[8]，更是廣泛應(yīng)用于相關(guān)的設(shè)計(jì)與研究工作之中。

綜上可以看出，通過(guò)不斷研究[9-13]，已經(jīng)獲得不同類型的軌道譜，包括高速鐵路譜、客運(yùn)專線譜、凍脹地區(qū)軌道譜、重載鐵路譜等。但至今，我國(guó)尚未建立軌道交通不平順譜，尤其是軌道交通快速線路譜，這嚴(yán)重影響了軌道交通的合理設(shè)計(jì)、檢測(cè)評(píng)估，并大大阻礙了軌道新產(chǎn)品、新技術(shù)的研發(fā)與推廣。

因此，本文以綜合軌檢車測(cè)量的北京地鐵6號(hào)線正常狀態(tài)幾何形位檢測(cè)數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，通過(guò)多尺度小波分析及異常值剔除算法，引入并推導(dǎo)現(xiàn)代譜估計(jì)中的Burg法，進(jìn)行城市軌道交通快速線路不平順譜研究。

1 不平順數(shù)據(jù)預(yù)處理

由于人工標(biāo)定、傳感器漂移、數(shù)據(jù)傳輸、天氣等原因，會(huì)導(dǎo)致軌檢車進(jìn)行軌檢作業(yè)時(shí)獲取的軌檢數(shù)據(jù)存在明顯的異常值，為了消除數(shù)據(jù)異常值的影響，需要針對(duì)軌道不平順的特性選擇適宜的濾波算法進(jìn)行軌檢數(shù)據(jù)的預(yù)處理。

1.1 異常值剔除算法

使用逐點(diǎn)遍歷法對(duì)原始軌檢車檢測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行異常值剔除。與相鄰值比較法相比，逐點(diǎn)遍歷法解決了出現(xiàn)連續(xù)多個(gè)超限不平順?lè)禃r(shí)方法失效的問(wèn)題。

圖1為逐點(diǎn)遍歷法剔值處理后與原始輸入數(shù)據(jù)的對(duì)比圖。從圖1可以看出，使用該方法進(jìn)行異常值消除的效果比較明顯，有效地剔除了錯(cuò)誤項(xiàng)。

圖1 異常值剔除后與原始數(shù)據(jù)對(duì)比

1.2 多尺度趨勢(shì)項(xiàng)消除算法

軌距、軌向等不平順由于其結(jié)構(gòu)特性，存在明顯的趨勢(shì)項(xiàng)，其均值不為0，從圖1就可以看出圖形中軸趨于負(fù)值，這也說(shuō)明需要進(jìn)行趨勢(shì)項(xiàng)的消除。

考慮到軌檢車采樣過(guò)程中信號(hào)頻率范圍較寬，且不是嚴(yán)格的周期信號(hào)，本文采用小波分析方法進(jìn)行多尺度趨勢(shì)項(xiàng)消除。

1.2.1 多尺度趨勢(shì)項(xiàng)消除算法

正交小波變換中用到兩個(gè)濾波器組h(j)與g(j)，分別表示低通濾波器與高通濾波器，兩者關(guān)系為g(j)=(-1)jh(1-k)。令需要處理的信號(hào)f(j)為原始信號(hào)，且取a0(j)=f(j)，則信號(hào)分解、重構(gòu)算法[14]為

(1)

(2)

(3)

式中：i為分解次數(shù)。式(1)、式(2)為分解算法，式(3)為重構(gòu)算法，通過(guò)分解可將實(shí)測(cè)軌道不平順數(shù)據(jù)中低頻成分與高頻成分分離開(kāi)來(lái)，其中所需要的不平順數(shù)據(jù)為高頻部分，低頻部分則為曲線超高等的趨勢(shì)項(xiàng)，在重構(gòu)過(guò)程中將低頻信號(hào)選擇性地過(guò)濾可達(dá)到消除趨勢(shì)項(xiàng)的目的。

對(duì)于理想濾波器，在2j尺度上，h(f)和g(f)的頻率范圍分別為[0,fs/2j+1]和(fs/2j+1,fs/2j]，軌檢車每隔0.25 m采樣一次，采樣空間頻率fs為4，而我們所關(guān)注的軌道譜中主要不平順波長(zhǎng)范圍為1～32 m，需要分解6次才能達(dá)到濾波目的?？紤]到軌道結(jié)構(gòu)的特殊性，需要對(duì)小波分析所使用的小波基進(jìn)行嚴(yán)格的篩選與對(duì)比。

1.2.2 小波基選取對(duì)比

在小波分析的過(guò)程中扮演最重要角色的就是小波基，目前較為流行的有正交小波Daubechies小波(dbN)、雙正交小波Biorthogonal(biorN.N)、近似對(duì)稱的Symlet小波(symN)和Coiflet小波(coifN)等。其中N為小波分解層數(shù)，分解層數(shù)越多小波消失矩階數(shù)越高，濾波越徹底。

為了篩選出最適合城市軌道交通濾波處理的母小波，進(jìn)行了各種小波分解重構(gòu)后結(jié)果的對(duì)比，見(jiàn)圖2。

圖2 各種母小波結(jié)果對(duì)比

從圖2可以看出，通過(guò)小波的變換之后,基于各小波基的結(jié)果均比較明顯，趨勢(shì)項(xiàng)消除質(zhì)量均滿足軌道不平順譜分析的要求。為了取最優(yōu)小波基，列出相關(guān)的評(píng)價(jià)指標(biāo)進(jìn)行篩選，如表1所示。

表 1 小波基處理結(jié)果對(duì)比

從表1可以看出，與源數(shù)據(jù)相比，經(jīng)過(guò)小波處理后數(shù)據(jù)的期望值與方差均有減小，結(jié)合圖2中處理后小波的形態(tài)，可以看出對(duì)軌道譜估計(jì)有影響的低頻趨勢(shì)項(xiàng)已經(jīng)被較好地處理；其次，從表1還可以看到coif5母小波的期望值與方差兩個(gè)指標(biāo)值均是最優(yōu)。因此，本文采用coif5母小波進(jìn)行趨勢(shì)項(xiàng)消除工作。

1.2.3 趨勢(shì)項(xiàng)消除

使用coif5小波基，進(jìn)行6次多尺度分解重構(gòu)得到了預(yù)處理后的軌距、高低、軌向不平順數(shù)據(jù)。限于篇幅，僅將部分預(yù)處理結(jié)果展示，見(jiàn)圖3。

圖3 趨勢(shì)項(xiàng)消除對(duì)比總圖

從圖3可以看出，軌距、高低等使用小波處理均有良好的效果，數(shù)據(jù)基線均已歸零。

2 軌道譜獲取方法的優(yōu)化

2.1 軌道譜估計(jì)方法的選擇

由于軌道不平順影響因子眾多導(dǎo)致其幅值的不確定性，使其有明顯的隨機(jī)特性。為了描述隨機(jī)過(guò)程，本文使用功率譜密度(Power Spectral Density，PSD)函數(shù)進(jìn)行隨機(jī)過(guò)程的描述。由于獲取的信號(hào)長(zhǎng)度不為無(wú)限長(zhǎng)，不具備平方可積條件，這對(duì)工程上使用傅里葉變換獲取功率譜密度函數(shù)造成了障礙。

目前，工程上普遍使用經(jīng)典譜估計(jì)方法進(jìn)行軌道譜的估計(jì)。經(jīng)典譜估計(jì)方法主要由周期圖法與其優(yōu)化方法組成。經(jīng)典譜估計(jì)方法是以傅里葉分析為理論基礎(chǔ)的一種較為成熟的譜估計(jì)方法，又稱為非參數(shù)模型譜估計(jì)，包括間接法和直接法。間接法是以有限序列數(shù)據(jù)的相關(guān)函數(shù)為媒介來(lái)估計(jì)原始數(shù)據(jù)的功率譜，其理論基礎(chǔ)是維納-辛欽定理，在1958年由Blackman和Tukey提出[15]。作為早期的譜估計(jì)方法，間接法在延遲參數(shù)較大時(shí)會(huì)導(dǎo)致計(jì)算量過(guò)大，且估計(jì)的精度不高，所以一般使用直接法[16]。直接法又稱周期圖法，其通過(guò)直接利用有限序列數(shù)據(jù)的傅里葉變換來(lái)估計(jì)其功率譜，是經(jīng)典譜估計(jì)的一個(gè)常用方法，目前所提出的中國(guó)干線譜、高速譜使用的均是周期圖法或其改進(jìn)方法。

直接法的方差計(jì)算十分復(fù)雜，由Jenkins 的結(jié)論[17]可知，方差可以表述為

(4)

式中:IN(ω)為直接法功率譜估計(jì)量;Px(ω)為真實(shí)功率譜;ω為圓頻率;N為數(shù)據(jù)長(zhǎng)度。當(dāng)N較大時(shí)，直接法方差可近似表示為

(5)

式(5)表明，直接法的方差不隨著數(shù)據(jù)量N的增大而趨于0，因此不是功率譜的一致估計(jì)[18]。

為了優(yōu)化其方差性能，又提出了Bartlett法與Welch法進(jìn)行軌道譜的估計(jì)。

Bartlett法基本思想是將原始數(shù)據(jù)進(jìn)行分段，使用矩形窗函數(shù)進(jìn)行功率譜的估計(jì)并進(jìn)行平均，由于各段數(shù)據(jù)越少，估計(jì)的偏差越大，這種方法以估計(jì)的偏差增大為代價(jià)，達(dá)到減小方差的目的。

相較于Bartlett法，Welch法在進(jìn)行分段時(shí)需要將每段信號(hào)樣本進(jìn)行重疊，在同樣的分段數(shù)下各段數(shù)據(jù)變長(zhǎng)，限制了偏差大小的范圍，減小了方差，提升了經(jīng)典法功率譜的估計(jì)效果。各段重疊50%可使方差減少一半，但是更多的重疊并不能進(jìn)一步降低方差。

由于可使用FFT算法進(jìn)行快速計(jì)算，周期圖法及其優(yōu)化算法廣泛應(yīng)用于目前軌道譜的估計(jì)，但是其具有以下缺點(diǎn)：

(1)經(jīng)典譜分辨率較低。

(2)經(jīng)典譜估計(jì)方法得到的軌道譜估計(jì)方差性能較差，不是真實(shí)軌道譜的一致估計(jì)，并且在數(shù)據(jù)點(diǎn)增加時(shí)譜曲線起伏加劇。

(3)經(jīng)典譜估計(jì)方法的平滑和平均與窗函數(shù)的使用緊密關(guān)聯(lián)。沒(méi)有一個(gè)窗函數(shù)能使譜估計(jì)在方差、偏差和分辨率各方面同時(shí)得到改善，使用平滑和平均主要用來(lái)改善周期圖的方差性能，但往往又降低了分辨率、增加了偏差。

(4)由于假定信號(hào)在數(shù)據(jù)觀測(cè)區(qū)間以外等于0，因此估計(jì)結(jié)果較難與實(shí)際軌道譜相匹配，這種現(xiàn)象在數(shù)據(jù)序列較短時(shí)尤其明顯，經(jīng)典法不適用于短序列信號(hào)的軌道譜估計(jì)。

2.2 Burg法理論推導(dǎo)

經(jīng)典譜估計(jì)的分辨率與信號(hào)的有效長(zhǎng)度成反比，而現(xiàn)代譜估計(jì)的分辨率可以不受此限制。因?yàn)閷?duì)于給定的N點(diǎn)有限長(zhǎng)序列x(n)，雖然其估計(jì)出的相關(guān)函數(shù)也是有限長(zhǎng)的，但現(xiàn)代譜估計(jì)方法隱含著數(shù)據(jù)和自相關(guān)函數(shù)的外推，使其可能的長(zhǎng)度超過(guò)給定的長(zhǎng)度，因而AR(Auto Regressive)模型譜的分辨率較高。

Burg法是AR系數(shù)求解算法中較為優(yōu)秀的方法，已經(jīng)逐漸應(yīng)用于其他學(xué)科功率譜的估計(jì)。因此本節(jié)主要引入Burg法并進(jìn)行推導(dǎo)，開(kāi)展軌道不平順譜估計(jì)的研究。

Burg法的基本思想是，令前后預(yù)測(cè)誤差功率ρf與ρb之和為最小

(6)

計(jì)算過(guò)程中前后誤差分別為ef(n)與eb(n)，這時(shí)有

(7)

(8)

上式中，當(dāng)AR模型法階次m由1增至p時(shí)，eb(n)有如下的遞推關(guān)系

(9)

(10)

按照式(10)進(jìn)行計(jì)算后，在階次m狀態(tài)下的AR模型系數(shù)可以由Levinson遞推算法求出，即

(11)

在上述Burg算法的推導(dǎo)中可以看到，AR模型的階數(shù)直接關(guān)系到軌道不平順譜估計(jì)質(zhì)量，若階數(shù)太小則譜估計(jì)曲線過(guò)于平滑，若階數(shù)太大譜估計(jì)曲線會(huì)出現(xiàn)虛假譜峰，圖4為一段軌道不平順數(shù)據(jù)不同階數(shù)的對(duì)比。

因此，如何選取AR模型合適的階數(shù)成為使用Burg法估計(jì)軌道不平順譜的一個(gè)難點(diǎn)。

圖4 Burg法不同階數(shù)估計(jì)結(jié)果對(duì)比

當(dāng)預(yù)測(cè)誤差功率P達(dá)到指定的閾值，或者不再發(fā)生變化時(shí)，這時(shí)的階數(shù)即是應(yīng)選的正確階數(shù)。

為了保證城市軌道交通譜對(duì)應(yīng)現(xiàn)代譜估計(jì)階數(shù)的科學(xué)性，使用赤池信息準(zhǔn)則[19](Akaika’s Information theoretic Criterion，AIC)進(jìn)行階數(shù)估計(jì)。

AIC準(zhǔn)則通過(guò)使下式達(dá)到最小估計(jì)模型階次

(12)

可以證明，AIC表示AR模型估計(jì)的PDF(Probability Density Function)與數(shù)據(jù)真實(shí)PDF之間的Kullback-Leibler距離的估計(jì)值，此種定階方法不僅適用于AR模型階次，還可用于MA(Moving Average)模型與ARMA(Auto Regressive Moving Average)模型階次的確定[20]。

2.3 軌道譜估計(jì)質(zhì)量的對(duì)比

如2.1節(jié)所述，Welch法作為周期圖法的優(yōu)化算法，使用加窗、數(shù)據(jù)重疊等手段減小方差。本文通過(guò)Welch法進(jìn)行了軌道譜方差性能的改進(jìn)。

圖5為Welch法與Burg法進(jìn)行譜估計(jì)的對(duì)比，從圖5可以看出，Burg法相較于Welch法方差性能更好，并由于使用了與直接法、Welch法截然不同的計(jì)算手段，跳出了方差、偏差與分辨率之間的矛盾循環(huán)，在降低方差的同時(shí)，還保證了其分辨率與譜估計(jì)的準(zhǔn)確性。

圖5 Welch法與Burg法功率譜結(jié)果對(duì)比

如2.1節(jié)所述，直接法及其改進(jìn)算法結(jié)果均不是實(shí)際譜的一致估計(jì)，而B(niǎo)urg法獲取的結(jié)果則是實(shí)際譜的一致估計(jì)。Burg法與最常用的直接法、Welch法的譜估計(jì)特性比較如表2所示。

表2 不平順譜估計(jì)方法對(duì)比

從表 2各項(xiàng)對(duì)比結(jié)果中可知，Burg法作為現(xiàn)代譜估計(jì)方法，由于計(jì)算方式的進(jìn)步，相較于直接法、Welch法等經(jīng)典譜估計(jì)方法在分辨率、譜的一致性、方差性能、適用范圍等類別中均有優(yōu)勢(shì)，契合日漸提高的軌道不平順譜估計(jì)精度與不平順幾何形位設(shè)計(jì)的需要。

3 城市軌道交通譜的擬合

根據(jù)城市軌道快速線軌道不平順譜的分布規(guī)律及特點(diǎn)，通過(guò)使用計(jì)算機(jī)窮舉法進(jìn)行擬合公式的適應(yīng)性計(jì)算，歸納、統(tǒng)計(jì)分析不同擬合公式，確定了適合城市軌道交通的不平順譜擬合模型，包括軌距、高低及軌向，其表達(dá)式為

軌距：

(13)

高低：

(14)

軌向：

(15)

使用Levenberg-Marquardt最小二乘理論對(duì)Burg法得出的軌道譜估計(jì)結(jié)果進(jìn)行模型參數(shù)擬合，擬合結(jié)果見(jiàn)圖6～圖8。由圖6～圖8可知，擬合曲線可以較好地表述基于Burg法譜估計(jì)結(jié)果的各波長(zhǎng)段特征，其中在1～2 m小波長(zhǎng)區(qū)段，相對(duì)而言存在少量可接受的數(shù)據(jù)擬合誤差。表3為高低、軌距、軌向三種不平順擬合的公式參數(shù)及計(jì)算結(jié)果。從表3可知，三者擬合優(yōu)度均在0.95以上，擬合質(zhì)量較高。

圖6 軌距不平順擬合結(jié)果

圖7 高低不平順擬合結(jié)果

圖8 軌向不平順擬合結(jié)果

表3 北京地鐵6號(hào)線軌道譜擬合結(jié)果

4 城市軌道交通譜的分析

由于城市軌道交通結(jié)構(gòu)本身的特殊性，其軌道不平順也展現(xiàn)出不同的特性。圖9～圖11為城市軌道交通譜與其他譜的對(duì)比。

由圖9可知，對(duì)于軌距不平順，北京地鐵快速線路譜總體上要優(yōu)于美國(guó)六級(jí)譜、120 km/h通用軌道譜，劣于德國(guó)干擾譜。

圖9 北京地鐵6號(hào)線軌距譜與其他譜的對(duì)比

由圖10可知，快速線高低譜總體上優(yōu)于120 km/h通用譜，整而言趨于美國(guó)六級(jí)譜與德國(guó)低干擾譜之間，在1～6.3 m波長(zhǎng)段要優(yōu)于上海地鐵譜,整體而言兩者差別不大。

由圖11可知，快速線軌向譜總體上優(yōu)于美國(guó)六級(jí)譜、120 km/h通用譜；略優(yōu)于上海地鐵軌向譜，位于德國(guó)低干擾譜與德國(guó)高干擾譜之間。

圖10 北京地鐵6號(hào)線高低譜與其他譜的對(duì)比

圖11 北京地鐵6號(hào)線軌向譜與其他譜的對(duì)比

綜上可以看出，北京地鐵快速線路譜優(yōu)于美國(guó)六級(jí)譜、120 km/h通用譜，劣于德國(guó)低干擾譜，與上海地鐵地下段譜特征相差不大。以上結(jié)果表明，城市軌道交通本身的線路特性使得其軌道譜與高速鐵路譜、干線譜存在差異，而與上海地鐵擬合譜相差不大，使用本文擬合譜來(lái)進(jìn)行城市軌道交通尤其是快速線路的設(shè)計(jì)與研究，更接近實(shí)際、更合理。

5 結(jié)論

(1)通過(guò)在數(shù)據(jù)預(yù)處理過(guò)程中使用多尺度小波分析方法與異常值剔除算法，對(duì)原始數(shù)據(jù)中錯(cuò)誤項(xiàng)與多尺度趨勢(shì)項(xiàng)進(jìn)行消除，獲取了可靠度較高的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)，為類似軌檢數(shù)據(jù)處理提供了參考。

(2)在趨勢(shì)項(xiàng)消除環(huán)節(jié)進(jìn)行了母小波的對(duì)比分析，表明coif5小波基可以很好地適應(yīng)城市軌道交通譜對(duì)于原始數(shù)據(jù)的平穩(wěn)隨機(jī)要求。

(3)引進(jìn)并推導(dǎo)了Burg法，并與Welch法、直接法等進(jìn)行對(duì)比分析，結(jié)果表明，Burg法在譜估計(jì)過(guò)程中，比其他兩種方法在方差性能和分辨率性能方面均有優(yōu)勢(shì)。使用信息論中的AIC準(zhǔn)則解決了Burg法確定計(jì)算階數(shù)的問(wèn)題，較好地完成了基于Burg法的譜估計(jì)。

(4)通過(guò)對(duì)大量公式的適應(yīng)性計(jì)算，得到與城市軌道交通快線特征最為契合的擬合公式，并使用Levenberg-Marquardt算法進(jìn)行了軌道譜的擬合，得到城市軌道交通快速譜擬合公式。