數(shù)學(xué)文化之中國(guó)古代對(duì)等差數(shù)列的研究

張國(guó)林 邵書靜

中國(guó)古代數(shù)學(xué)家對(duì)數(shù)列知識(shí)早有研究，如《周髀算經(jīng)》《九章算術(shù)》《孫子算經(jīng)》《張邱建算經(jīng)》等書中，都記載了許多有趣的數(shù)列問題.本文選取幾個(gè)古老的數(shù)列問題，編寫介紹如下，供同學(xué)們研究思考.

例1 今有金棰，長(zhǎng)五尺.斬本一尺，重四斤.斬末一尺，重二斤，問次一尺各重幾何？（選自《九章算術(shù)》）

【譯文】今有一錐狀金鞭，全長(zhǎng)5尺，截根部1尺，重4斤，截頂部1尺，重2斤.由末到本一尺一尺截取，依次各重多少？

【解析】由題可知，由末到本，每尺的重量成等差數(shù)列.設(shè)首項(xiàng)a1=2，末項(xiàng)a5=4，項(xiàng)數(shù)n=5，設(shè)公差為d.由an=a1+（n-1）d.解得d=12.所以，a2=212，a3=3，a4=312.

故頂部1尺重2斤，下1尺重2斤8兩，再下1尺重3斤，再下1尺重3斤8兩，根部1尺重4斤.

值得注意的是，魏晉時(shí)代的大數(shù)學(xué)家劉徽在其注中說：“令本末相減，余，即四差之凡數(shù)也.”這就是an=a1=（n-1）d.這在中國(guó)數(shù)學(xué)史上是一個(gè)很大的創(chuàng)造.

例2 今有女不善織，日減功遲.初日織五尺，末日織一尺，今三十日織訖，問織幾何？（選自《張丘建算經(jīng)》）

【譯文】今有女子不善織布，每天織布以同數(shù)遞減，開始每天織5尺，最后一天織1尺，共織布30天，問共織布多少？

此題是等差數(shù)列求和問題.張丘建的解法為：“并初末日織尺數(shù)，半之，余以乘織訖日數(shù)，即得.”即為Sn=n（a1+an）2.這與高斯算法有異曲同工之妙，而張丘建比高斯早了近1500年！這充分說明古代中國(guó)在數(shù)學(xué)方面的研究起步早，挖掘深，研究廣.

例3 今有良馬與駑馬發(fā)長(zhǎng)安，至齊.齊去長(zhǎng)安三千里，良馬初日行一百九十三里，日增十三里.駑馬初日行九十七里，日減半里.良馬先至齊，復(fù)還迎駑馬.問幾何日相逢及各行幾何？（選自《九章算術(shù)》）

【譯文】有良馬和劣馬各一匹，都從長(zhǎng)安出發(fā)到齊，兩地相距3000里.良馬第一日走193里，以后每天比前一天加速13里，劣馬第一天走97里，以后每天比前天減速12里.良馬先到齊后，立刻返回迎接劣馬，問良馬和劣馬幾天相遇，各走了多少里？

【解析】由題知，良馬與劣馬每日的行程均成等差數(shù)列.設(shè)良馬第一日的行程為a1=193里，公差為d1=13里;劣馬第一日的行程為b1=97里，公差為d2=-0.5里.利用公式Sn=na1+n（n-1）d2（劉徽在注解中已經(jīng)指明了這個(gè)公式）求良馬和劣馬的行程.

良馬15日行程：15×193+15×（15-1）×132=4260（里）;劣馬15日行程：15×97+15×（15-1）×（-0.5）2=1402.5（里）.不足：6000-4260-1402.5=337.5（里）.

良馬16日行程：16×193+16×（16-1）×132=4648（里）;劣馬16日行程：16×97+16×（16-1）×（-0.5）2=1492（里）.盈余：4648+1492-6000=140（里）.現(xiàn)只需求15日后兩馬相遇的時(shí)間即可，這時(shí)，兩馬的距離是337.5里，用等差數(shù)列通項(xiàng)公式an=a1+（n-1）d，可求：良馬第16日的速度是193+15×13=388（里∕日），劣馬第16日的速度是97+15×（-0.5）=89.5（里∕日）.二馬的速度和是388+89.5=477.5（里∕日）.故二馬在第16日相遇的時(shí)間337.5477.5=135191日，總計(jì)，二馬相遇時(shí)間為15135191日;良馬行程為：4260+388×135191=453446191里;劣馬的行程：1402.5+89.5×135191=1465145191里.

總之，中國(guó)古代數(shù)學(xué)家對(duì)等差數(shù)列做過廣泛、深入的研究，適當(dāng)?shù)亟o學(xué)生介紹一些數(shù)學(xué)文化知識(shí)，也符合新課程的教育理念，能有效激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情.

注：本文系2019年度河南省基礎(chǔ)教育教學(xué)研究項(xiàng)目《數(shù)學(xué)文化在高中課堂教學(xué)中的滲透案例研究》（JCJYC19030548）研究成果.