立體幾何平面化的研究

羅海遠(yuǎn)

1.引言：

數(shù)學(xué)上，立體幾何就是我們所熟知的三維歐氏空間的傳統(tǒng)名稱，也就是我們所生活的空間。雖然有的平面幾何定理在空間問題上不一定成立，但對(duì)于空間的每一個(gè)平面，平面幾何的結(jié)論都是成立的。因此，在解決立體幾何問題時(shí)可以選取或構(gòu)造一個(gè)恰當(dāng)?shù)钠矫?，使得問題在所選取或構(gòu)造的平面上獲得突破性進(jìn)展，為解決問題帶來方便。

2.立體幾何平面化思想的幾類問題

2.1空間圖形畫法的平面化

在我們的生活中，總會(huì)遇到多種多樣的事物，每個(gè)事物都有它們自己特有的形狀，那么，我們?cè)撊绾蚊枋鍪挛铮?zhǔn)確地將之畫出來呢？這就涉及到將立體的圖形畫在一個(gè)平面上的問題。

斜二測(cè)畫法是空間圖形最主要的畫法，此畫法將空間圖形轉(zhuǎn)化為它的直觀圖，也就是將空間圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形，為學(xué)生對(duì)空間圖形的理解帶來方便，為解題帶來便捷[1]。例如：下面兩個(gè)六面體，圖2.1.1中，陰影面是我們所看不到的背面，而圖2.1.2中，陰影面是我們所看得到的正面，正因?yàn)樘摼€不同，看上去圖形就大不一樣了。

空間圖形畫法的平面化，可以幫助我們將空間圖形平面化，還可以幫助我們對(duì)空間圖形的認(rèn)識(shí)進(jìn)一步加深，從而更好地解決有關(guān)于立體幾何的問題。

2.2空間角的平面化

空間角主要是指異面直線所成的角、直線與平面所成的角和二面角這三類角[2]。在一個(gè)問題中，如果條件或結(jié)論中有涉及空間角的概念，首先要以概念為指導(dǎo)，作出有關(guān)的空間角，然后逐步轉(zhuǎn)化為平面角去解決。對(duì)這種方法的掌握尤為重要，若能掌握并運(yùn)用之，在一定程度上可以反映研究空間問題的水平以及質(zhì)量。

2.2.1異面直線所成的角

異面直線所成的角的定義[3]：如圖2.2.1，已知兩條異面直線，，經(jīng)過空間任一點(diǎn)作直線//，//，我們把與所成的銳角（或直角）叫做異面直線與所成的角（或夾角）。

異面直線所成的角的范圍：.

從上述定義可知，兩條相交直線可以確定一個(gè)平面，所以異面直線所成的角是用平面內(nèi)兩相交直線所成角來定義的，即用平面角來定義的。所以在求異面直線所成角時(shí)，應(yīng)該先將要求的兩條直線平移到同一個(gè)平面上，之后在求解。

2.2.2直線與平面所成的角

直線與平面所成的角的定義[3，4]：

如圖2.2.2，一條直線和一個(gè)平面相交，但不和這個(gè)平面垂直，這條直線叫做這個(gè)平面的斜線，斜線和平面的交點(diǎn)叫做斜足。過斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線，過垂足和斜足的直線叫做斜線在這個(gè)平面上的射影。平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角。

直線與平面所成的角的范圍：.

從上述定義可知：在碰到求斜線與平面所成角的問題時(shí)，應(yīng)該先將要求的斜線在平面上的射影畫出來，之后通過上述方法求解，便能順利解決此類問題。

2.2.3二面角

二面角的定義[3]：如圖2.2.3，從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角。棱為、面分別為，的二面角記作二面角。

二面角的平面角[3]：如圖2.2.3，在二面角的棱上任取一點(diǎn)，以點(diǎn)為垂足，在半平面和內(nèi)分別作垂直于棱的射線和，則射線和構(gòu)成的叫做二面角的平面角。

二面角的平面角的范圍：.

從上述定義可知：我們就用二面角的平面角的大小來表示二面角的大小，即二面角的描述是通過其平面角來描述的。二面角的求解比較復(fù)雜，知道了二面角的定義之后，在計(jì)算角度的時(shí)候也應(yīng)該注意仔細(xì)求解。

2.3空間距離的平面化

空間距離包括點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平面的距離，直線與直線、直線與平面的距離以及平面與平面的距離。上述六種不同的距離，實(shí)則都可以化為平面上兩點(diǎn)的距離。一般而言，立體幾何中的所有的距離問題，都可以遵照它們的定義，轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間的距離問題，這就為空間距離的平面化打下了理論依據(jù)。

3.立體幾何平面化的幾種方法

3.1平移法

平移的定義：平移是指在同一平面內(nèi)，將某個(gè)圖形沿某個(gè)方向移動(dòng)一定的距離，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)叫做圖形的平移運(yùn)動(dòng)，簡稱平移。

直線或平面在空間平行移動(dòng)，不改變它們與其他線面所成角的大小。因此，常用平移法將分散在不同平面的有關(guān)量，納入同一平面內(nèi)進(jìn)行求解，為解題帶來了方便。

3.2射影法

作平面的一條斜線，該斜線與該平面所成的角，就是該斜線與它在這一平面內(nèi)的射影所成的角。判定該斜線與平面內(nèi)某一直線垂直的問題，就相當(dāng)于去判定該斜線在該平面內(nèi)的射影與該平面內(nèi)的一條直線垂直的問題，這就將一個(gè)本該在立體幾何中解決的問題引到一個(gè)平面上來解決。

3.3旋轉(zhuǎn)法

旋轉(zhuǎn)的定義：在平面內(nèi)，把一個(gè)圖形繞一個(gè)定點(diǎn)沿某個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)稱為旋轉(zhuǎn)。其中，點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)的角叫做旋轉(zhuǎn)角，如果圖形上的點(diǎn)經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變?yōu)辄c(diǎn)，那么這兩個(gè)點(diǎn)叫做這個(gè)旋轉(zhuǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。

旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：一、對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等;二、對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角;三、旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等。

一直線繞某定直線旋轉(zhuǎn)時(shí)，旋轉(zhuǎn)前后該直線與定直線所成角不變，且該直線上任一點(diǎn)到定直線的距離不變。因此，為了實(shí)現(xiàn)將空間問題平面化，旋轉(zhuǎn)是有效方法之一。

4.本研究的結(jié)論

此次研究課題主要的目的是為了簡化立體幾何問題，主要簡化的方法是將立體幾何平面化，也就是將空間的問題引到平面上來解決，這樣更有利于理解。為了將立體幾何平面化，本課題主要從有關(guān)于立體幾何平面化的幾類問題和立體幾何平面化的幾種常用方法來著手研究。本課題對(duì)例題的分析與解答上做得較詳盡，但本課題所討論的立體幾何平面化的方法種類較少，在將來，有望改進(jìn)。

參考文獻(xiàn)

[1] ?魏秋梅.空間問題平面化思想教學(xué)淺析[J].新課程（中旬），2013，（7）：26-29.

[2] ?曹曉華.立體圖形平面化探究[J].陜西教育，2011，（7）：38.

[3] ?劉紹學(xué).普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書（必修）數(shù)學(xué)2[M].河南：人民教育出版社，2012：40-75.