通過(guò)線性規(guī)劃優(yōu)化一類(lèi)生活問(wèn)題

蘇彤

【摘 ?要】論文旨在利用線性規(guī)化方法為人們提供一個(gè)切實(shí)可行的膳食方案。在確保每天可以攝入足夠的營(yíng)養(yǎng)元素以及兼顧個(gè)人飲食偏好的情況下，使得成本降到最低，解決膳食一類(lèi)的生活問(wèn)題。

【Abstract】This paper aims to provide a feasible dietary plan for people by using linear programming method. Under the condition of ensuring that enough nutrients can be taken in every day and taking into account personal dietary preferences， the plan can minimize the cost and solve the life problems such as diet.

【關(guān)鍵詞】線性規(guī)劃;優(yōu)化算法;權(quán)重因子

【Keywords】linear programming; optimization algorithm; weight factor

【中圖分類(lèi)號(hào)】R151 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 【文章編號(hào)】1673-1069（2020）02-0133-02

1 引言

隨著經(jīng)濟(jì)水平的日益提高，現(xiàn)在人們也越來(lái)越重視生活質(zhì)量，搭配出符合人們?nèi)粘I(yíng)養(yǎng)需要的飲食計(jì)劃也變得更加重要。因此，論文對(duì)人體要攝取的必需的營(yíng)養(yǎng)元素進(jìn)行合理搭配。利用線性規(guī)劃優(yōu)化飲食結(jié)構(gòu)，同時(shí)，根據(jù)個(gè)人的身體狀況、飲食習(xí)慣、運(yùn)動(dòng)情況等因素來(lái)確定一周的合理飲食計(jì)劃[1]。

2 線性規(guī)劃問(wèn)題模型的建立

2.1 線性規(guī)劃模型

線性規(guī)劃問(wèn)題的一般數(shù)學(xué)模型如下：

max（或min）Z=c■x■+c■x■…+c■x■ （1）

s.t.a■x■+a■x■+…+a■x■≤（=，≥）b■a■x■+a■x■+…+a■x■≤（=，≥）b■ ? ? a■x■+a■x■+…+a■x■≤（=，≥）b■x■x■……x■>0 ? ? ? ?（2）

■

式（1）是目標(biāo)函數(shù)，式（2）是約束條件。

2.1.1 約束條件

模型的創(chuàng)建需要遵從下面四個(gè)約束條件：

①基本的各營(yíng)養(yǎng)元素的需求：為確保能夠汲取充足的營(yíng)養(yǎng)，存在各種差異的群體對(duì)于各種營(yíng)養(yǎng)元素的吸收量有一個(gè)合適的范疇，否則會(huì)誘發(fā)各種疾病，對(duì)人體的健康造成威脅[2]。

因此，有：

minbj≤■a■x■≤maxb■， j=1，2...，m

②食品安全問(wèn)題：有一些食物由于相互之間的作用，不宜一起進(jìn)食，所以用0～1變量yi來(lái)判定有沒(méi)有選擇第i種食品，選擇了第i種食物則為1，否則為零。

滿足yi=（xi>0）

即如果選擇了第i種食品，xi>0，則邏輯表達(dá)結(jié)果為1，即相對(duì)應(yīng)的0～1變量為1，反之為零。

yi+yj≤1，i， j=1，2...，n，i≠j

③食品種類(lèi)與數(shù)目：為使方案更加切實(shí)可行，要謹(jǐn)慎嚴(yán)肅地限定每一類(lèi)食品的數(shù)目，而且對(duì)食品總數(shù)進(jìn)行限定： ■y■≤N■

可得：

mins■≤■y■≤maxs■

④額外的約束條件：如果第i種食品的判別數(shù)yi為零，則xi一定是0，否則xi為小于無(wú)窮大的數(shù)。設(shè)m為一無(wú)窮大的數(shù)。約束條件如下所示：

xi≤myi

2.1.2 目標(biāo)函數(shù)

在經(jīng)濟(jì)支出最小化的同時(shí)，最大限度地滿足群眾或個(gè)體的喜好習(xí)慣的要求，可創(chuàng)建如下目標(biāo)函數(shù)：

min=■x■c■/max（x■）-■y■l■

其中，xi /max（xi）為歸一化xi。

2.1.3 模型的建立

本文創(chuàng)建了符合上述限制條件的如下的多目標(biāo)線性規(guī)劃模型：

min=■x■c■/max（x■）-■y■l■

s.t.minb■≤■a■x■≤maxb■， j=1，2...，my■+y■≤1，i，j=1，2，...，n，i≠jmins■≤■y■≤maxs■，k=1，2...，k■y■≤Nx■≤my■，i=1，2...，n

2.2 模型的簡(jiǎn)化

接下來(lái)，將上文中的多目標(biāo)規(guī)劃模型簡(jiǎn)化為單目標(biāo)規(guī)劃模型。

①設(shè)P1為經(jīng)濟(jì)情況的權(quán)重，P2為膳食習(xí)慣的權(quán)重。可以表現(xiàn)出群眾更傾向于經(jīng)濟(jì)情況還是更傾向于個(gè)體喜好。P1越大，P2越小，說(shuō)明食物的支出重要性越重要。

②系數(shù)P1、P2，可以使用隨機(jī)試驗(yàn)的方式來(lái)調(diào)節(jié)試驗(yàn)和優(yōu)化，選擇合適的數(shù)據(jù)。

根據(jù)這兩個(gè)權(quán)重系數(shù)P1、P2，把上文中的多目標(biāo)線性規(guī)劃模型簡(jiǎn)化為以下的單目標(biāo)線性規(guī)劃模型：

min=p■■x■c■-p■■y■l■

s.t.minb■■a■x■≤maxb■，j=1，2...，my■+y■≤1，i，j=1，2....，n，i≠jminsk≤■yi≤maxsk，k=1，2…，k■y■≤Nx■≤my■，i=1，2...，n

3 實(shí)際算例的求解

假定一個(gè)成年人每天需要攝取3000kcal的熱量、55g蛋白質(zhì)和800kg的鈣。市場(chǎng)上只有四種食品可供選擇，根據(jù)它們每kg所含的熱量和營(yíng)養(yǎng)成分以及市場(chǎng)價(jià)格，試問(wèn)如何選擇才能在滿足基本營(yíng)養(yǎng)的前提下使費(fèi)用達(dá)到最低？

3.1 問(wèn)題假設(shè)

①每個(gè)成年人的體質(zhì)和對(duì)營(yíng)養(yǎng)素的需求一致，且均為正常的健康水平;

②飲食均衡只考慮營(yíng)養(yǎng)元素?cái)z入量方面的平衡;

③該地域物產(chǎn)豐富，不存在食物短缺的可能;

④當(dāng)日的情況對(duì)后續(xù)不會(huì)產(chǎn)生影響;

⑤熱量、蛋白質(zhì)等提供足夠的能量后，剩下的部分不會(huì)再提供能量;

⑥每日獲取營(yíng)養(yǎng)的途徑僅僅是三餐;

⑦各種食物的營(yíng)養(yǎng)成分和價(jià)格保持不變。

3.2 符號(hào)說(shuō)明

Z為購(gòu)買(mǎi)食品的費(fèi)用最小量;

X1為第1種食物（豬肉）每天都購(gòu)入量;

X2為第2種食物（雞蛋）每天都購(gòu)入量;

X3為第3種食物（大米）每天都購(gòu)入量;

X4 為第4種食物（白菜）每天都購(gòu)入量。

建立配餐的線性規(guī)劃模型為：

minZ=14X1+6X2+3X3+2X4

s.t.1000X1+800X2+900X3+200X4≥3000500X1+60X2+20X3+10X4≥55400X1+200X2+300X3+500X4≥800X1≥0，X2≥0，X3≥0，X4≥0

3.3 模型求解

目標(biāo)函數(shù)為10，即最優(yōu)化方案所需要的費(fèi)用為10元。每周每種菜蔬所需要的份數(shù)X1，X2，X3，X4分別為0，0，3.333333，0，合計(jì)購(gòu)入量共3.333333份，成本最小，為10元。

3.3.1 系數(shù)價(jià)格分析

對(duì)于目標(biāo)函數(shù)X3來(lái)說(shuō)，原來(lái)費(fèi)用系數(shù)為3.0，允許增加3.75，或者允許減少3.0， 說(shuō)明它在[3-3，3+3.75）=[0，6.75）范圍變化時(shí)，最優(yōu)解不變。

3.3.2 約束中右端變化的分析

第三行約束條件中右端原來(lái)為55，當(dāng)它在[43.33333，66.66667]范圍變化時(shí)，最優(yōu)解保持不變，最優(yōu)基即使不再變化，最優(yōu)解、最優(yōu)值會(huì)產(chǎn)生變化。

4 總結(jié)與展望

針對(duì)線性規(guī)劃問(wèn)題的求解，提出了一些解決方法，并通過(guò)實(shí)例驗(yàn)證了此算法的有效性，但是對(duì)于數(shù)據(jù)量大或復(fù)雜問(wèn)題的求解，這些算法是否能在實(shí)際問(wèn)題中取得良好的效果還有待驗(yàn)證。

【參考文獻(xiàn)】

【1】陳曉杰.生產(chǎn)問(wèn)題中單純形解法的改進(jìn)[J].常熟理工學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)），2011（08）：39-42.

【2】張勁松，李紅.含自由變量LP問(wèn)題的改進(jìn)單純形法[J].運(yùn)籌與管理，2012（01）：53-56.